Ayer comenzamos con las ecuación diofánticas de tres variables, abordando la solución cuando se da el Caso 1, hoy nos centraremos en las del Caso 2. Recordemos, si tenemos la ecuación \[ax+by+cz=n,\] tal que \(\text{mcd}(a,b,c)|n\) y no hay dos coeficientes coprimos, entonces elegimos dos de los coeficientes y consideramos una variable nueva: \[\text{mcd}(a,b)=d,\] ahora planteamos la ecuación \[du+cz=n.\]
Esta ecuación tiene solución y cuando la obtengamos solo tendremos que despejar la variable \(u\) en \[ax+by=du=d\left(u_0+\frac{c}{\text{mcd}(d,c)}k\right).\]
Ejercicio: Sea v\(:[x_m,y_m,z_m]\) la solución de 15x-21y+35z=14, tal que \(y_m=\mathbf{max}\{y_s<0\}\) y \(z_m=\mathbf{min}\{z_s>0\}\). ¿Cuál es el valor de [1,-3,5].v?
Planteemos que \(15x+35z=\mathbf{mcd}(15,35)u\), luego resolvemos primero \[\mathbf{mcd}(15,35)u-21y=14\]
La solución es:
\[\begin{align*}
u&=-56-21k\\
y&=-14-5k
\end{align*}\]
Ahora sustituimos la variable \(u\) en la primera ecuación:\[15x+35z=\mathbf{mcd}(15,35)u\to 15x+35z=5(-56-21k)\]
La solución es:
\[\begin{align*}
x&=112+7l+42k \\
y&=-14-5k \\
z&=-56-3l-21k
\end{align*}\]
Si \(y_m=\mathbf{max}\{y_s<0\}\) resulta \(y_m=-4\), y, haciendo que \(z\) se acerque a cero, tendremos las soluciones \[[[-14,-4,4],[-7,-4,1],[0,-4,-2],[7,-4,-5]]\] La que buscamos es [-7,-4,1]. Ahora \[[-7,-4,1].[1,-3,5]=10\]
Veamos otra forma:
La solución es:
\[\begin{align*}
x&=504-105k+7l \\
y&=336-70k+5l \\
z&=-14+3k
\end{align*}\]
Vemos que no tenemos valores de la z=0, sí z=1:\[[[0,1,1],[-7,-4,1],[-14,-9,1]]\] Como vemos, nos lleva a la misma solución.
Ejercicio: Sea v\(:[x_m,y_m,z_m]\) la solución de 6x+12y-15z=-24, tal que \(y_m=\mathbf{max}\{y_s<0\}\) y \(z_m=\mathbf{min}\{z_s>0\}\). ¿Cuál es el valor de [1,-3,5].v?
Planteemos que \(6x+12y=\mathbf{mcd}(6,12)u\), luego resolvemos primero \[\mathbf{mcd}(6,12)u-15z=-24\]
La solución es:
\[\begin{align*}
u&=-5k-24\\
z&=-2k-8
\end{align*}\]
Ahora sustituimos la variable \(u\) en la primera ecuación:\[6x+12y=\mathbf{mcd}(6,12)u\to 6x+12y=6(-5k-24)\]
La solución es:
\[\begin{align*}
x&=2l-5k-24 \\
y&=-l \\
z&=-2k-8
\end{align*}\]
Por la solución podemos ver que \(y=-1\), pero \(z\neq 1\), ya que si \(z=1\) será \(6x+12y=-9\) y \(\mathbf{mcd}(6,12)|9\). Luego será \(z=2\), que es factible, siendo la solución buscada [3,-1,2]. Así pues, las respuesta al problema es \[[3,-1,2].[1,-3,5]=16\]
Ejercicio: Sea \(5x-y+3z=4\), y \((x_s,y_{s},z_s)\) la solución talque \(-1<x_{s}<2\), \(0<y_{s},z_{s}\) y \(\min\{0<y_{s}z_{s}\}\) con \(\min\{\min\{0<y_{s}\},\min\{0<z_{s}\}\}\) ¿Cuál es su producto escalar por el vector [1,3,4]?