Como vemos, k=-2 es el número que marca el cambio de signo en la variable x, y en este caso tambien en la y. Por tanto, la solución que buscamos es
(%i12)
sol(–2).[3,4];
Hoy nos centramos en la ecuación \[ax+by+cz=n.\] Como comentamos el día anterior, esta ecuación tiene solución si \(m.c.d(a,b,c)|n\). En caso de tener solución podemos calcularla dependiendo de dos casos. El más sencillo es el que plantea cuando dos de los coeficientes de la ecuación son coprimos. En tal caso, la ecuación plantea una solución parámetrica cuyo parámetro es la variable del coeficiente no coprimo. Es decir, si \(m.c.d(a,b)=1\), planteamos la ecuación\[ax+by=n-c\lambda,\] donde designamos \(z=\lambda\), la resolvemos como ya conocemos.
Ahora nos enfrentamos al problemas de no hayan dos coeficientes coprimos; es decir, \(m.c.d(a_i,a_j)=1\) \(\forall i\neq j\), \(i,j=\{1,2,3\}\) con \[a_1 x_1+a_2x_2+a_3x_3=n \]
En tal caso, elegimos dos coeficientes y determinamos \(m.c.d(a_i,b_j)=d\) y planteamos la ecuación: \[du+a_kx_k=n,\]
con una nueva variable \(u\) y donde \(j\neq k\neq i\).
Esta ecuación tendrá solución al tener la de partida. Una vez resulta solo tendremos que afrontar la solución paramétrica de \[a_ix_i+a_jx_j=du\]
Ejercicio: Resolver la ecuación \(5x+12y+3z=11\)
Utilicemos el algoritmo de Euclides para determinar el mcd
como el mcd es 1 la ecuación tendrá solución. Ahora elegimos dos coeficientes coprimos: veíamos que el 5 y el 12 los son. Resolvemos, por tanto, la ecuación 5x+12y=11-3k, considerando z=k
Vemos que tiene solución, además los coficientes son coprimos; por tanto, podemos elegir cualquier para de coeficientes para buscar la solución. Sin embargo, en este caso nos piden una solución que cumpla min{x>0} y min{y>0}, entonces nos interesa que x dependa de un único parámetro. Es decir, resolvamos la ecuación -2y+9z=10-7k, considerando x=k:
Como la solución [3,1,-1] no es positiva, la respuesta a la pregunta sería la solución [1,3,1].
Ejercicio: Sea v\(:[x_s,y_s,z_s]\) la solución de la ecuación 5x-15y+22z=32, que cumple min{0<\(y_s\)<5} y max{0<\(z_s\)<10}, ¿cuál es el producto de v.[-2,3,4]
Observemos que si considerásemos como parámetro la variable z, tendríamos la ecuación 5x-15y=32-22z, y mcd(5,15)=5 no nos garantiza que 5|(32-22z) para cualquier z. Sin embargo, si ocurre en el caso de 22z=32(mod 5); es decir, 2z=2(mod 5), z=1+5k
El resultado anterior no implican que no existan soluciones con \(z\neq 1+5k\), de hecho hemos visto que [-9,1,5] o [13,1,-2] son soluciones. Sin embargo, no podemos llegar a dichas soluciones siguiendo el procedimiento de considerar la variable \(z\) como parámetro.
Por las indicaciones del ejercicios, supongamos que \(z\)=6<10, entonces se plantea la ecuación 5x-15y=-100
Ejercicio: Sea \(48x-27y=129\), y \((x_m,y_m)\) la solución talque \(y_m\) es el menor positivo de todas las soluciones. ¿Cuánto suman \(x_m+y_m\)?
12
18
23
C.)
Utilicemos el algoritmo extendido de Euclides para determinar el mcd y la solución de Bézout:
(%i2)
d:eucl_ext(48,27);
Observemos que la Solución de Bezout nos dice: 48*4+27*(-7)=3, pero podemos reescribirla como: 48*4-27*7=3, que se ajusta a los coeficientes de la ecuación diofántica de partida. Luego
(%i3)
d:[4,7,3]$
Veamos si verifica las condiciones y, en su caso, sustiyamos en la fórmula:
Utilicemos el algoritmo extendido de Euclides para determinar el mcd y la solución de Bézout: