Ayer abordamos la ecuación de congruencias \(aX\equiv b \pmod{n}\). Observemos que esta ecuación es equivalente a
\[aX\equiv b \pmod{n}\Leftrightarrow aX-b=kn,\] para algún \(k\in\mathbb{Z}\). Es decir, las soluciones de \(aX\equiv b \pmod{n}\), están relacionadas con las soluciones de la ecuación lineal \[ax+ny=b.\] Esta última ecuación plantea una ecuación diofántica.
Llamamos ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\); es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.
Nosotros solo trataremos las ecuaciones diofántica lineal; es decir, la ecuación \[a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = C,\] y, en concreto, solo de dos o tres variables.
Hemos visto el teorema que nos afirma que
\[a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = C,\]
tiene solución sii \(d=\mathbf{mcd}(a_1,a_2,…,a_n)\) divide a \(C\).
Primero tratamos la ecuación diofántica de dos variables, \[ax+by=c\] aprendiendo a resolverla en el caso de que pueda resolverse. Recordad que para ello necesitamos que \(\mathbf{mcd}(a,b)|c\). Nos apoyamos en el hecho de que la existencia de una solución particular, \[ax_0+by_0=\mathbf{mcd}(a,b),\] dada por el Teorema de Bezout, permitirá encontrar las infinitas soluciones.
Ejercicio: Resolver la ecuación de diofántica \(4x+22y=46\).
Determinamos: \(\mathbf{mcd}(4,22)=2\). Como 2|46, la ecuación tiene solución. Para resolverla necesitamos una solución de \(4x_0+22y_0=2\), por ejemplo \((6,-1)\) (si la solución no se aprecia de forma sencilla, podemos utilizar la solución de Bézout). Ahora estamos en condiciones de aplicar el Teorema:
\[\begin{align*}
x&=6\cdot\frac{46}{2}+\frac{22}{2}k=138+11k \\
y&=-1\cdot\frac{46}{2}-\frac{4}{2}k=-23-2k
\end{align*}\]
Ejercicio: Resolver la ecuación de diofántica \(6x+15y=36\).
Determinamos: \(\mathbf{mcd}(6,15)=3\). Como 3|36, la ecuación tiene solución. Para resolverla necesitamos una solución de \(6x_0+15y_0=3\), por ejemplo \((-2,1)\). Ahora estamos en condiciones de aplicar el Teorema:
\[\begin{align*}
x&=-2\cdot\frac{36}{3}+\frac{15}{3}k=-24+5k \\
y&=1\cdot\frac{36}{3}-\frac{6}{3}k=12-2k
\end{align*}\]
Observemos el siguiente detalle, si hacemos el cambio \(k=n+5\) será
\[\begin{align*}
x&=-24+5k=-24+5(n+5)=1+5n \\
y&=12-2k= 12-2(n+5)=2-2n
\end{align*}\]
Ejercicio: Sea \(v\) la menor de las soluciones positivas de 34x-56y=4, ¿cuál es el valor de [3,-4].v?
Primero vemos que \[34x-56y=4\Leftrightarrow 34x+56(-y)=4\Leftrightarrow 34x+56z=4 \] donde \(z=-y\). Resolvamos, ahora, \[34x+56z=4\] Determinamos: \(\mathbf{mcd}(34,56)=2\). Como 2|4, la ecuación tiene solución. Para resolverla necesitamos una solución de \(34x_0+56z_0=2\), por ejemplo \((5,-3)\). Ahora estamos en condiciones de aplicar el Teorema:
\[\begin{align*}
x&=5\cdot\frac{4}{2}+\frac{56}{2}k=10+28k \\
z&=-3\cdot\frac{4}{2}-\frac{34}{2}k=-6-17k
\end{align*}\]
Como \(z=-y\) será \(y=-z\), luego
\[\begin{align*}
x&=10+28k \\
y&=6+17k
\end{align*}\]
Obviamente, la primera solución positiva será para \(k=0\), luego \(v=[10,6]\). Por tanto la respuesta es: \[[3,-4].[10,6]=6\]
Veamos otra forma de afrontar cuando uno de los coeficientes \(a\) o \(b\), de la ecuación \(ax+by=c\) es negativo:
Ejercicio: Sea v\(:(x_m,y_m)\) la solución de 48x-27y=129, tal que \(y_m=\mathbf{max}\{y_s<0;\ 48x_s-27y_s=129\}\). ¿Cuál es el valor de [1,-2].v?
Calculemos el máximo común divisor:
cociente
-1
-2
1
2
2
48
-27
21
15
6
3
resto
21
15
6
3
0
Observemos que \(\text{mcd}(48,-27)=3\), y \((4)48+(7)(-27)=3\), luego \(x_0=4\), \(y_0=7\)
\[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}x=4\cdot \frac{129}{3}+\frac{(-27)}{3} k\\ y=7\cdot \frac{129}{3}-\frac{48}{3} k\end{array}& \to & \begin{array}{l}x=172+(-9) k \\ y=301-16 k\end{array} \end{array}\]
Como buscamos la solución cuya \(y_s\) negativa sea más próxima a cero, elegimos \(k=\left \lfloor \frac{301}{16}\right \rfloor=18\)
\[\begin{array}{c|c|c|c}
k & 18 & 19 & 20 \\ \hline
x & 10 & 1 & -8 \\
y & 13 & -3 & -19
\end{array}\]
Luego, concluimos que [1,-3].[1,-2]=7.
Ejercicio: Sea \(0<X<141\), la mayor de las soluciones de \(93X\equiv 9 {\pmod {141}}\). ¿Cuánto suman sus dígitos?