Hoy abordaremos los sistemas de ecuaciones, bien de congruencias o de ecuaciones diofánticas.
Sistemas de ecuaciones diofánticas
Consideremos que tenemos un sistema de dos ecuaciones diofánticas de tres variables Con lo que hemos visto cada ecuación define una plano, que puede o no tener soluciones enteras, así el sistema dado por dos planos es una recta. Resolverlo es afrontar la ecuación diofántica de dos variables resultado de simplificar el sistema.
Por ejemplo: sea el sistema\[\left\{\begin{array}{ll} a_1x+b_1y+c_1z=n_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=n_2 \end{array}\right.\]
Podemos simplificar la variable \(x\), multiplicando la primera por \(a_2\), la segunda por \(-a_1\) y sumando ambas igualdades:\[\left\{\begin{array}{ll} a_2a_1x+a_2b_1y+a_2c_1z=a_2n_1 \\ -a_1a_2x-a_1b_2y-a_1c_2z=-a_1n_2 \end{array}\right. \to (a_2b_1-a_1b_2)y+(a_2c_1-a_1c_2)z=a_2n_1-a_1n_2\] El resultado es una ecuación diofántica de dos variables. Notar que convendría la elección de una variable a simplificar que facilite la ecuación resultante.
Ejercicio: Resolver el sistema 3x+5y-z=12, 2x-3y+4z=3
Planteemos las ecuaciones y simplifiquemos para dejar solo dos variables
Los sistemas de congruencias atienden al Teorema chino del resto:
Supongamos que n1, n2, …, nk son enteros coprimos dos a dos. Entonces, para enteros dados a1,a2, …, ak, existe un entero x que resuelve el sistema de congruencias simultáneas
Más aún, todas las soluciones x de este sistema son congruentes módulo el producto N = n1n2…nk. La demostración y el método deductivo mediante el que se calcula la solución la tenéis en Teorema chino del resto.
Ejercicio: Resolver el sistema \[\begin{align*}
3X &\equiv 2\pmod{8} \\ 2X&\equiv 1\pmod{5} \end{align*}\]
Ahora vamos a resolverlo con maxima:
Tenemos las ecuaciones de congruencia 3X\(\equiv\)2(mod 8) y 2X\(\equiv\)1(mod 5):
(%i4)
eq:[[3,2,8],[2,1,5]]$
Resolvamos la ecuaciones de congruencia de forma individual
Ejercicio: Sea \(15x-21y+35z=14\), y \((x_s,y_{s},z_s)\) la solución talque \(2<y_{s}<10\) y \(z_{s}\) es el mayor valor talque \(z_{s}<10\). ¿Cuánto suman \(y_{s}+z_{s}\)?
Tenemos las ecuaciones de congruencia 3X\(\equiv\)2(mod 8) y 2X\(\equiv\)1(mod 5):