Hemos visto que para encontrar primitivas y resolver integrales definidas hemos utilizado:
- integrate(Función,Variable): Si es factible mostrará la primitiva; en otro caso el resultado aparece expresado en forma simbólica.
- integrate(Función,Variable,Inicio, Fin): calcula la integral definida entre los extremos indicados.
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{\cos x}\sin x\ dx\)?
Ejercicio: ¿Cuál es el área de la región entre la curva \(y=x^2-x\) y el eje x desde 0 a 2?
Ejercicio: ¿Cuál es el área de la región comprendida entre las curvas \(y=x^2-x\) y \(y=\sqrt{x}\)
Ejercicio: ¿Cuál es el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva \(y=\sqrt{x}\) respecto del eje x desde 0 a 1?
Ejercicio: ¿Cuál es el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región comprendida entre \(y=x^3\), \(y=8\) y \(x=0\) respecto del eje y?
Estos volúmenes los calculamos como sólidos en revolución; es decir, un sólido que se genera por la revolución sobre el eje OX de una curva \(y=f(x)\), y su fórmula es \[V= \pi \int_a^b f(x)^2\,dx\]
Si embargo, si revoluciona respecto del eje OY, el volumen será
\[V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx.\]
Ejercicio: ¿Cuál es el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje \(y\) la región delimitada por \(y=2x^2-x^3\) y \(y=0\)?
Ejercicio: ¿Cuál es la superficie de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva \(y=2x^2-x^3\) respecto del eje x desde 0 a 2?
Ejemplo: ¿Cuál es la longitud de arco de la curva \(y=x^2-x\) entre x=0 y x=2?
Ejercicio: ¿Cuál es el volumen de un casquete esférico, si el radio de la esfera es \(r=1\) y la altura del casquete \(h=0.2\)?
Regla del trapecio
Muchas veces calcular la primitiva de una función resulta tremendamente difícil, cuando no imposible. En esos casos lo que hacemos en encontrar una aproximación mediante métodos de integración numérica.
La idea es aproximar la integral por trapecios. La más sencilla es la regla del trapecio simple, pero la que se utiliza es la compuesta, pues da una aproximación mejor. Sea \(f\) una función real definida en \([a,b]\), entonces \[\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{2} \left[ f(a) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k h\right) \right]-\frac{(b-a)h^2}{12}f^{(2)}(\xi),\, \xi\in (a,b)\]
Reglas simples de Simpson
\[\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx =\frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2))-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_2) \] \[\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx =\frac{3h}{8}(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3))-\frac{3h^5}{80}f^{(4)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_3) \] \[\int_{x_0}^{x_4} f(x) dx =\frac{2h}{45}(7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4))-\frac{8h^7}{945}f^{(6)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_4) \}\]
Regla de Simpson compuesta
\[\int_a^b f(x) \, dx=\frac{h}{3}\left[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)\right]-(b-a)\,\frac{h^4}{180}\,f^{(4)}(\xi),\,\xi\in (a,b)\]
Ejemplo: ¿Cuál es la longitud del arco aproximada de la función \(f(x)=x\ \sin(x^2)\) en el intervalo \([0,\sqrt{\pi}]\)?
En días anteriores hemos resuelto algunos problemas de integración, propondremos algunos ejemplos más:
Ejemplo: Calcular el área encerrada por la curva \(f(x)=x^3-x^2+2x+1\) en el intervalo [-2,2]
Ejemplo: Calcular el volumen al revolucionar \(f(x)=x^3-x^2+2x+1\) en el intervalo [-2,2] alrededero del eje \(x\).
Ejemplo: Calcula el volumen del sólido al revolucionar la función \(f(x)=x\,e^{-x/2}\) alrededero el eje \(x\) positivo.
Ejemplo: ¿Cuál es el valor de la integral doble \(\iint_{R}\,(y\,\sin(xy)) dA\) donde R es la región acotada \(x\in[0,2]\) y \(y\in[0,\pi]\)?
Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de la región acotada por los planos \(x+2y+z=2\), \(x=2y\), \(x=0\) y \(z=0\)?
Ejemplo: Sea \(V=\int_{1}^{2}\int_{0}^{2z}\int_{0}^{\ln(x)} (x\,e^{-y})dy\,dx\,dz\), ¿cuál es el valor de \(V\)?
EDO con maxima
El siguiente paso en nuestro estudio del calculo integral es abordar las ecuaciones diferenciales.
Un Problema de valor inicial es una ecuación diferencial \(y^{\prime}(x)=f(x,y(x))\) con \(f\colon \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\), donde \(\Omega\) es un conjunto abierto de \(\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\), junto con un punto en el dominio de \(f\), \((x_{0},y_{0})\in \Omega\) llamada la condición inicial. Una solución a un problema de valor inicial es una función \(y\) que es una solución a la ecuación diferencial y satisface \(y(x_{0})=y_{0}\).
En ciencias aplicadas, es muy común que el modelado de un sistema utilice el problema de valor inicial para la resolución; en este contexto, la ecuación diferencial es una ecuación que evoluciona especificando cómo el sistema evoluciona con el tiempo, dadas las condiciones iniciales.
Nosotros veremos dos tipos, dependiendo de si afrontamos el problema de una ecuación diferencial de primer orden:
\[\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0,\end{array}\right. \]
Ejercicio: Supongamos que una función real verifica \(\frac{dy}{dt}=t^2y+y\) con \(y(0)=1\) ¿cuál es el valor de \(y(1)\)?
O bien, una de segundo orden:
\[\left\{\begin{array}{l}y^{\prime\prime}=f(x,y,y^{\prime})\\ y(x_0)=y_0,\\ y^{\prime}(x_0)=y_1.\end{array}\right.\]
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: ¿Cuál es el límite de la solución del problema con valor inicial \(x^2y^{\prime}+xy=1\), con \(x>0\) e \(y(1)=2\), cuando \(x\to\infty\)?
Ejemplo: ¿Para qué valores de \(k\) la función \(y=\cos(kt)\) satisface la ecuación diferencial \(4y^{\prime\prime}=-25y\)?
Ejercicio: Sea \(R:\{(x,y,z)|\, 0\leq y \leq 1,\) \(y\leq x \leq 1,\) \( 0\leq z \leq xy\}\), ¿cuál es el valor de \(\iiint_{R}e^{z/y}dV\)? |