El pasado día vimos que para calcular los valores propios o autovalores necesitamos el polinomio característico.
Recodad que definíamos los autovectores, o vectores propios, como
Recordemos que dada una matriz, \(\mathbf{A}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), decimos que \(\vec{v} \in\mathbb{K}^n\) es un autovector, o vector propio de la matriz, si \[\mathbf{A}\vec{v}=\lambda\vec{v},\] siendo \(\lambda\in\mathbb{K}\). Al escalar \(\lambda\) se le denomina autovalor o valor propio de la matriz.
Cada valor propio tiene asociado un conjunto \(C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n\}\), que se determina resolviendo el sistema homogeneo \((\mathbf{A}-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}\), que se denomina subespacio propio de \(\lambda\). Las bases de estos subespacios serán los vectores propios de la matriz.
Así al número de veces que un autovalor \(\lambda\) se repite como raíz del polinomio característico se le llama multiplicidad algebraica y se representa por \(m_a(\lambda)\). Y al número máximo de autovectores linealmente independientes que tiene asociado un autovalor \(\lambda\), es decir la dimensión del subespacio propio \(\mathcal{C}_\lambda\), se le llama multiplicidad geométrica de \(\lambda\) y se representa por \(m_g(\lambda)\). Estos dos números están relacionados por una desigualdad: \[m_g(\lambda)\leqslant m_a(\lambda)\]
Ejercicio:Cuántos suman los coeficientes del polinomio característico de la matriz \[\left[\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1 & 0\\ -2 & 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{smallmatrix}\right].\] |
Calculemos el polinomio característico.