Denominamos esta parte autovectores y autovalores, también conocidos como vectores y valores propios de una matriz. Su definición es simple:
Dada una matriz, \(A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})\), real o compleja, cuerpos que trataremos, decimos que \(\vec{v} \in\mathbb{K}^n\) es un autovector, o vector propio de la matriz, si \[A\vec{v}=\lambda\vec{v},\] siendo \(\lambda\in\mathbb{K}\). Al real \(\lambda\) se le denomina autovalor o valor propio de la matriz.
Nuestro principal propósito es saber determinar los autovectores y autovalores de una matriz.
Para conseguir nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante \[det(A-\lambda\, I),\] siendo \(A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})\) la matriz cuadrada y \(I\) la indentidad en \(\mathcal{C}_n(\mathbb{K})\).
El polinomio \(p(\lambda) = det(A – \lambda I)\) es el polinomio característico de A: los autovalores, o valores propios, de una matriz son los ceros de su polinomio característico (soluciones de la ecuación característica).
Las raíces de esta ecuación, \(p(\lambda) =0\), dependerán del grado de la matriz y el cuerpo donde se resuelva. Recordemos que en el cuerpo de los complejos una ecuación de grado \(n\) tiene \(n\) soluciones complejas, pero en los reales no tiene porqué.
El siguiente resultado es muy práctico para encontrar las raíces enteras
Si \(p(x)=p_0+p_1X+\ldots+p_nX^n\in\mathbb{Z}[X]\) tiene una raíz entera \(a\), entonces \(a\) divide a \(p_0\).
Nosotros nos dedicaremos a estudiar, sobre todo, las raíces reales. De este modo, puede ocurrir:
- Un polinomio de grado 2 tendrá:
- Dos raíces reales iguales
- Dos raíces reales distintas
- Dos raíces complejas distintas
- Un polinomio de grado 3 tendrá:
- tres raíces reales distintas
- tres raíces reales iguales
- dos raíces reales iguales y una distinta
- una raíz real y dos complejas distintas
Podéis ver más ejemplos en Linear Algebra/Eigenvalues and Eigenvectors.
Ejercicio:¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? |