Hoy veremos cómo utilizamos maxima para tratar espacios vectoriales. Por ejemplo, podemos determinar la relación lineal de un conjunto de vectores haciendo transformaciones elementales.
Sabemos que un conjunto de vectores \(\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\) son linealmente independientes si \(rank([\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n])=n\), luego \(\textbf{u}\in Gen\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}\) si \(rank([\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n,\textbf{u}])=n\).
De este modo, si consideramos \(A\in\mathcal{M}_{(n+1)\times m}\) la matriz cuyas filas son \([\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n,\textbf{u}]\) y mediante transformaciones elementales obtenemos \[[I_{n+1}\, |\, A] \sim [P\, |\, E],\] donde \(E\) es una matriz con la última fila todo ceros, entonces, si \(P=[p_{ij}]\), \[p_{(n+1)1}\textbf{v}_1+p_{(n+1)2}\textbf{v}_2+\ldots+p_{(n+1)n}\textbf{v}_n=-\textbf{u}.\]
Este procedimiento es ampliable a un conjunto \(\textbf{u}_i\in Gen\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}\), \(i\in I=\{1,\ldots,k\}\): si \[[I_{n+k}\, |\, A] \sim [P\, |\, E],\] donde \(E\) es una matriz con las filas \(i>n\) todas ceros, entonces, \[-\textbf{u}_i=\sum_{j=1}^{n}p_{(n+i)j}\textbf{v}_j.\]
Ejercicio: Sea \(\textbf{u}=[7,11,20,-9]\in Gen\{[-1,-3,0,1],[3,5,8,-3],[0,-1,2,1]\}\), ¿cuál es la suma de las coordenadas de \(\textbf{u}\) respecto de los vectores del espacio generador al que pertenece?.
Compleción de un conjunto l.i. a una base
A veces, necesitamos completar un conjunto l.i. de vectores para que formen una base de todo el espacio vectorial. Para conseguirlo podemos obrar de la siguiente forma.
Consideremos \(\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_m\}\) un conjunto linealmente independiente de vectores de una espacio vectorial, \(\mathcal{V}\), y \(\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots,\textbf{e}_n\}\) una base de \(\mathcal{V}\). Sea la \(A\) la matriz cuyas filas son los vectores \(\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots\), \(\textbf{v}_m\), y \(B\) la matriz de los vectores de la base, \(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots\), \(\textbf{e}_n\). Entonces realizamos operaciones elementales de forma que
\[\left[\frac{A}{B}\right] \sim \left[\frac{E}{B^\prime}\right]\] donde \(E\) es una matriz escalonada y \({B^\prime}\) una matriz escalonada siguiente a \(E\), entonces los \(n-m\) escalones no nulos de \({B^\prime}\) nos determinan los vectores que completan la base del espacio vectorial.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});a=b+d,\ c=2d\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{a+bX+cX^2+dX^3+eX^4\in\mathbb{R}_4[X];b=a-d,\ c=e-2d\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial \(\mathbb{R}_4[X]\).
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial.
Ejercicio: Cuál es la dimensión del subespacio \(S\) generado por los vectores (1, −1, 0, 2, 1), (2, 1, −2, 0, 0), (0, −3, 2, 4, 2), (2, 4, 1, 0, 1), (3, 3, −4, −2, −1), (5, 7, −3, −2, 0) |