Si consideramos \(m_{ij}\) el menor complementario del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), decimos adjunto(cofactor) del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), y lo notamos por \(A_{ij}\), al resultado \[A_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}.\]
En algunas bibliografías también lo llaman cofactor. Así la regla de Laplace quedaría como:
\[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}\] o \[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}\]
En la bibliografía a la matriz \([A_{ij}]\) se le suele llamar matriz de cofactores.
De este modo definimos la matriz adjunta como \[adj(A)=[A_{ji}]=[A_{ij}]^t;\] es decir, la traspuesta de la matriz de cofactores.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}).\] ¿Cuánto es la traza de \(adj(A)\)?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}).\] La afirmación: "No existen dos indices \(i,j\in\{1,\ldots,4\}\) tales que \(A_{ij}=16\)" es verdadera o falsa.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0&0\\
2 & 1 & 0 & 0 & 0&0\\
3 & 2 & 1 & 0 & 0&0\\
4 & 3 & 2 & 1 & 0&0\\
5 & 4 & 3 & 2 & 1&0\\
6 & 5 & 4 & 3 & 2&1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_6(\mathbb{R}),\] y \(Adj(A)=[A_{ij}]\) su matriz adjunta. ¿Cuántos \(A_{ij}=0\) hay?
Propiedades de la matriz adjunta de una matriz \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\):
- \(adj(A^t)=adj(A)^t\)
- \(adj(AB)=adj(B)\cdot adj(A)\)
- \(adj(A^k)=adj(A)^k\)
- \(adj(I)=I\)
- \(A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=|A|\cdot I\)
- \(adj(\lambda A)=\lambda^{n-1}adj(A)\)
- \(adj(adj(A))=|A|^{n-2}A\)
- \(|A|=tr(A\cdot adj(A))/n\)
- \(|adj(A)|=|A|^{n-1}\)
Estas definiciones nos permiten usarlas para definir el rango de una matriz cualquiera, como orden del mayor de los menores distinto de cero, y dar una fórmula para calcular la inversa de una matriz, en caso de que exista:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\]
Como consecuencia de lo anterior podemos formular el siguiente resultado:
Corolario: Una matriz cuadrada es regular(inversible) si su determinante es distinto de cero.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 & 12 \\
-1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 9 & -3 \\
7 & 3 & 6 & 9
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}),\] ¿es regular?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
-\alpha & \alpha-1 & \alpha+1 \\
1 & 2 & 3 \\
2-\alpha & \alpha+3 & \alpha+7
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿para que valores de \(\alpha\) la matriz no es regular?
Ejercicio: Si el determinante de una matriz, 3×3, es \(|A|=2\), entonces \(|-2A|\) es igual a |