Definimos la inversa de una matriz cuadrada \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})\) como la matriz \(B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})\) tal que \[AB=BA=I_n.\]
El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea \(A\) la matriz, y consideremos la matriz formada por \([A\, |\, I_n]\). Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que
\[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],\]
entonces \(B\) es la inversa de \(A\).
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R),\] y \(B=[b_{ij}]\) su matriz inversa. ¿Cuánto es la traza de \(B\)?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
3 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 1 & 0\\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 2 & 1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R),\] y \(B=[b_{ij}]\) su matriz inversa. ¿Cuántos \(b_{ij}=0\) hay?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 1 & -1 & i\\
0 & i & 1 & 1 \\
0 & 0 & i & -1 \\
0 & 0 & 0 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto es la traza de la inversa?
Propiedades de la inversa. Asumamos que existe la inversa de \(A\) y \(B\), dos matrices cuadradas del mismo orden,
- \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
- \((A\,B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\)
Ejercicio: Para todo \(p\in\mathbb{Z}^+\) y \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) un matriz regular; entonces, la inversa de \(A^p\) es \(\left(A^{-1}\right)^p\). ¿Verdadero o falso?
pseudoinversa
No siempre podemos conseguir la inversa, bien por que la matriz no sea cuadrada o por que no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\), talque
\[AR=I_m\] o \[LA=I_n.\]
En caso de existir, denominamos a \(R\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})\), matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz \(A\); y a \[L\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R}),\] matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz \(A\).
Un resultado que utilizaremos:
Una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\) tiene pseudoinversa por la derecha(izquierda) si, y sólo si, \(rang(A)=m\) (\(rang(A)=n\))
En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante \[R=A^t(AA^t)^{-1},\]
o
\[L=(A^tA)^{-1}A^t.\]
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \\ -1&1
\end{bmatrix},\) si \(B=[b_{ij}]\) es su pseudoinversa por la izquierda ¿cuánto es \(\sum b_{ii}\)?
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1 &1
\end{bmatrix},\) si \(B=[b_{ij}]\) es su pseudoinversa por la derecha ¿cuánto es \(\sum b_{ii}\)?
Ejercicio: Sea \(A=\left[\begin{smallmatrix}1&3&-2&0&2&0\\ 2&6&-5&-2&4&-3\\ 0&0&5&10&0&15\\2&6&0&8&4&8\end{smallmatrix}\right]\), el rango de la matriz es |