En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.
Nosotros trabajaremos con el plano, \(\mathbb{R}^2=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}\), y el espacio euclídeo, \(\mathbb{R}^3=\{(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb{R}\}\). En el plano podemos definir \[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2),\quad \forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2\] y \[\lambda\cdot(x_1,x_2)=(\lambda x_1,\lambda x_2)\in\mathbb{R}^2,\quad \forall \lambda\in\mathbb{R},(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2.\]
Para abreviar la notación se suele poner \(\mathbf{x}=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\).
Esta definición es extensible a tres o más dimensiones. Así se puede verificar que
- \((\mathbb{R}^n,+)\) es un grupo conmutativo:
- \(+\) es asociativa:\(\forall \mathbf {v},\mathbf {u},\mathbf {w}\in \mathbb{R}^n;\ (\mathbf {v}+\mathbf {u})+c=\mathbf {v}+(\mathbf {u}+\mathbf {w})\)
- Existe \(e\in \mathbb{R}^n\), tal que para todo \(\mathbf {v}\in \mathbb{R}^n\), es \(e+ \mathbf {v}=\mathbf {v}+ e=\mathbf {v}\)
- Para todo \(\mathbf {v}\in \mathbb{R}^n\), existe \(\mathbf {u}\in \mathbb{R}^n\) tal que \(\mathbf {u}+\mathbf {v}=\mathbf {v}+\mathbf {u}=e\)
- Existe una aplicación, \(\cdot\,:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\),(denominada producto por escalar) que cumple
- \( a\cdot (b\cdot \mathbf {v} )=(ab)\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in \mathbb{R}\;\forall \mathbf {v} \in \mathbb{R}^n\)
- Si 1 es el elemento neutro para la multiplicación en \(\mathbb{R}\), entonces, \(1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in \mathbb{R}^n\)
- \(a\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(a\cdot \mathbf {v} )+(a\cdot \mathbf {w} )\quad \forall a\in \mathbb{R}\;\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbb{R}^n\)
- \((a+b)\cdot \mathbf {v} =(a\cdot \mathbf {v} )+(b\cdot \mathbf {v} )\quad \forall a,b\in \mathbb{R}\;\forall \mathbf {v} \in \mathbb{R}^n\)
Ejemplo: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[2,-1,5,0]\), \(\mathbf{v}=[4,3,1,-1]\) y \(\mathbf{w}=[-6,2,0,3]\). Si \(\mathbf{x}+\mathbf{v}+3\mathbf{w}=2\mathbf{u}\), ¿cuánto suman las coordenadas de \(\mathbf{x}\)?
Una vez que sabemos sumar y multiplicar por un escalar en un espacio vectorial (recordad que para nosotros \(\mathbb{R}^n\) hará referencia a \(\mathbb{R}^2\) ó \(\mathbb{R}^3\)), definiremos el producto escalar dos vectores de \(\mathbb{R}^n\) como \[\mathbf {x}\bullet\mathbf {y}=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n.\]
El producto escalar nos da pie a definir la norma de un vector como la raíz cuadrada de el producto escalar de un vector por si mismo: \[||\mathbf {v}||=\sqrt{\mathbf {v}\bullet\mathbf {v}}\]
Es decir, \[||\mathbf{v}||=||(v_1,v_2,\ldots,v_n)||=\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\ldots + v_n^2}\]
Utilizando el producto escalar podemos definir el coseno de dos vectores: \(\vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^n\), donde \(n\in\{2,3\}\), como \[\textbf{cos}(\mathbf {v},\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||\cdot ||\mathbf{u}||}\]
Ejemplo: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[-1,-1]\), \(\mathbf{v}=[-2,-1]\), ¿cuál es el ángulo entre los dos vectores?
Otro vector que podemos definir es la proyección de un vector sobre otro, como \[\textbf{proy}_\mathbf{v}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||^2}\mathbf{v}\]
La componen de \(\mathbf{u}\) en la dirección de \(\mathbf{v}\), vendrá dada por \[\textbf{comp}_\mathbf{v}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||}\]
Bibliografía
- Capítulo 4 y 6 de Álgebra lineal y sus aplicaciones, 5º edición. David C. Lay. Pearson. 2016.
Ejercicio: Sea \(x\)=(3,0,-1), ¿cuál de los siguientes vectores cumple que su componente sobre \(x\) es 1/√10? |