En la clase de hoy trataremos los números primos. Llamaremos número primo a todo número entero \(p\in\mathbb{Z}\), \(p>1\), que no tiene divisores más que el 1 y el mismo.
El siguiente resultado es muy importante:
Teorema: Si \(p\in\mathbb{Z}\) es primo y \(p|(a\,b)\), entonces, ó \(p|a\) ó \(p|b\)
Para determinar los primos podemos utilizar la criba de Eratóstenes.
Ejercicio: ¿Cuántos números primos hay menores de 50?
Como vemos al utilizar la criba de Eratóstenes observamos que los números primos aparecen constantemente; en efecto, el teorema siguiente lo justifica.
Teorema: El conjunto de los números primos es infinito
Terminamos con el Teorema fundamental de la aritmética:
Teorema: Todo entero positivo se puede representar de forma única, salvo el orden, como producto de factores primos.
Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy prácticas:
Teorema: Sean \(n,m\in \mathbb{Z}-\{-1,0,1\}\), con \(n=p_1p_2\cdots p_r\) y \(m=q_1q_2\cdots q_s\), sus descomposiciones en factores primos, y \(u_j\in\{-1,1\}\forall j\in\mathbb{N}\). Entonces \[n|m\Leftrightarrow \forall i\in\{1,\ldots, r\}\exists j\in\{1,\ldots, r\}\,|\, p_i=q_ju_j\]
Como hemos visto, la criba de Eratóstenes nos proporciona un método para obtener los números primos menores de cierto valor. Así, si queremos conocer si un número, \(n\), es primo o compuesto basta con dividirlo con los primos menores a \(n\), aunque no tenemos porque dividirlo por todos los \(p<n\):
Teorema: Si un entero positivo es compuesto, entonces existe un primo \(p<\sqrt{n}\) que lo divide.
Ejercicio: Determinar el siguiente número primo a 512.
Ejercicio: ¿Cuántos números primos hay entre 512 y 535?
Además podemos obtener las siguientes propiedades:
Teorema: Sean \(n\in \mathbb{Z}^+\), con \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}\) la descomposición en factores primos con \(p_i\neq p_j\forall j\neq i,\alpha_i\in\mathbb{N}\forall i\in\{1,\ldots, r\}\). Entonces
- (Divisores de un número compuesto) los divisores de \(n\) son los términos del producto \[(1+p_1+p_1^2+\ldots+p_1^{\alpha_1})\cdots(1+p_r+p_r^2+\ldots+p_r^{\alpha_r})\]
- (Número de divisores de un número compuesto) \[(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_r+1)\]
- (Suma de los divisores de un número compuesto) \[\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\,\frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_r^{\alpha_r+1}-1}{p_r-1}\]
- (Producto de los divisores de un número compuesto) el producto de los divisores de \(n\) es \(\sqrt{n^k}\) siendo \(k\) el número de divisores de \(n\).
Ejercicio: ¿Cuántos divisores que terminen en 7 tiene el número 2541?
Ejercicio: ¿Cuántos divisores que contengan el 7 tiene el número 9537?
Ejercicio: ¿Cuántos divisores tiene el número 11106?
Veamos algunas página sobre números primos interesantes:
Ejercicio: ¿Cuál es el primer decimal de la norma de la solución de Bezout de \(mcd(2233,1124)\)? |