El concepto de divisibilidad es uno de los más importantes que veremos en Teoría de números. Con él pretendemos dar una sustitución de la división que no siempre es posible en el conjunto de los números enteros.
Decimos que un número entero \(b\) es divisible entre un entero \(a\) (distinto de cero) si existe un entero \(c\) tal que: \(b = a · c.\); es decir, dados \(a,b\in\mathbb{Z}\), \[a|b\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{Z};\ b = ac.\]
Se suele expresar de la forma \(a|b\), que se lee: \(a\) divide a \(b\), o \(a\) es un divisor de \(b\), o, también \(b\) es múltiplo de \(a\) (\(b=\dot{a}\)).
Sean \(a, b, c \in \mathbb{Z}\), es decir \(a\), \(b\) y \(c\) son números enteros. Se dan las propiedades básicas:
- Si \(a\neq 0\) entonces \(a\mid a\) [Propiedad reflexiva]
- si \(a\mid b\) y \(b\mid a\) entonces \( |a|= |b|\). [Son iguales o bien uno es el opuesto del otro]
- Cuando \(a\mid b\) y \(b\mid c\), entonces \(a\mid c\) [Propiedad transitiva].
- Si \(a\mid b\) y \(b \neq 0\), entonces \(|a|\leq |b|\).
- \(a\mid b\) y \(a\mid c\), implica \(a\mid (\beta b+ \gamma c)\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}\). [Divisor de la combinación lineal]
- \(a\mid b\) y \(a\mid c\), implica \(a\mid (\theta b^k+ \kappa c^j)\ \ \forall \ \theta, \kappa, k, j \in \mathbb{Z}\). [Divisor de la combinación lineal de potencias]
- Si \(a\mid b\) y \(a\mid (b \pm\ c)\), entonces \(a\mid c\).
- De \(a\mid b\) y \(a\neq 0\), se deduce \(\frac{b}{a}\mid b\). [Divisores conjugados]
- Para \(c\neq 0\), \(a\mid b\) si y solo si \(ac\mid bc\).
Ejercicio: ¿Es \(\sqrt{2}\) racional?
Ejercicio: Sea \(a\) y \(b\) dos números irracionales, ¿es \(a^b\) irracional?
Os enlazo unos polimedias interesantes:
- Divisibilidad –> http://youtu.be/FVTzu5p5mWY
- Divisibilidad Ejemplo 1 –> http://youtu.be/4BmqFuebG9A
- Divisibilidad Ejemplo 2 –> http://youtu.be/GXvUP-dUjww
- Divisibilidad Ejemplo 3 –> https://youtu.be/5H8hirvHQKI
- Divisibilidad Ejemplo 3b –> https://youtu.be/lHA6c0d-jCc
- Divisibilidad Ejemplo 4 –> https://youtu.be/w3ZmXWswCM8
- Divisibilidad Ejemplo 5 –> https://youtu.be/gtpXda-tPL0
- Divisibilidad Ejemplo 6 –> https://youtu.be/QZiFMtV9x_s
Inducción matemática
Veamos una herramienta que nos será muy útil: la Inducción matemática, una herramienta tremendamente ágil para ciertos ejercicios que veremos,
La inducción matemática ayuda a demostrar una proposición determinada mediante el esquema del razonamiento siguiente. Llamemos \(P_n\) a la proposición, donde \(n\) es el rango.
- Se demuestra que \(P_0\), el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
- Se demuestra que si se asume \(P_k\) como cierta y como hipótesis inductiva, entonces \(P_{k+1}\)lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural \(k\) (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que \(P_n\) es cierto para todo natural \(n\).
La inducción puede empezar por otro término que \(P_0\), digamos por \(P_{n_0}\). Entonces \(P_n\) será válido a partir del número \(n_0\), es decir, para todo natural \(n \ge n_0\).
Ejemplo: Sea \(F_n=2^{2^n}+1\), ¿en qué cifra termina \(F_{12}\)?
Ejemplo: Para todo impar \(n\in\mathbb{Z}^+\), \(8\mid (n^2-1)\)
Terminamos introduciendo un anillo que trabajaremos constantemente: (\(\mathbb{Z}_n\), +, •). Recordemos que \(\mathbb{Z}_n\) es el conjunto de las clases residuales, \(\mathbb{Z}_n=\{\bar{i};\ i\in\{1,\ldots,n-1\}\}\), donde \[\bar{i}=\{a\in\mathbb{Z};\ a-i=\dot{n}\}.\]
Ejercicio: ¿Qué afirmación no es cierta? |