Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal \(f : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) definida por \[f(x, y,z) = [x-2*y+z,x+y-3*z].\] Sea \(\mathbf{u}\) el vector unitario director del \(\mathbf{ker}(f)\). ¿Cuál es el valor de \([2,-1,3].\mathbf{u}\)?
Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal \(f : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) definida por \[f(x, y,z) = [x-2*y+z,x+y-3*z].\] Obtener una base de \(\mathbf{Im}(f)\).
Como el rango es 2 solo necesitamos dos filas de la matriz \(A\) linealmente independientes para constituir una base de \(\mathbf{Im}(f)\)
Ejemplo: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[f(x,y,z)=
\begin{bmatrix}x-y&y-z\\ z-x&x-y\end{bmatrix}.\] ¿Cuánto es \(\mathbf{dim}\,\mathbf{Ker}(f)+3\,\mathbf{dim}\,\mathbf{Im}(f)\)?
Recordemos que podemos establecer un isomorfismo \(\Phi :\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4\) dado por \[\Phi\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=[a,b,c,d].\]
Por tanto, podemos usar este isomorfismo para trabajar con vectores en vez de matrices.
Como el rango es 2, nos dice que \(\mathbf{Im}(f)=2\). Si recordamos que \[dim\,\mathbf{Ker}(f) + dim\,\mathbf{Im}(f)=dim\,\mathbb{R}^3 \] tendremos que \(\mathbf{Ker}(f)=1\), luego \[\mathbf{dim}\,\mathbf{Ker}(f)+3\,\mathbf{dim}\,\mathbf{Im}(f)=1+3\cdot 2=7\]
Para terminar, Observemos que una base del conjunto imagen lo obtenemos con dos filas linealmente independientes de \(A\). Si consideramos las dos últimas, la matriz es escalonada, luego son l.i. Así la base la obtendríamos usando el isomorfismo \(\Phi ^{-1}\); es decir, transformando las filas en matrices:
\[\left\{
\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
\right\}\]
Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}_{3}[X]\) dada por \[f(a,b,c)=a+(b-a)X+(c-a)X^2+(2a-b)X^3,\] y \(g:\mathbb{R}_3[X]\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[g(p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3)= \begin{bmatrix}p_0&p_2-p_1\\ p_1-p_2&p_3\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor del determinante de \((g\circ f)(-1,3,1)\)?
Recordad que para trabajar con mayor comodidad trabajaremos con los isomorfismos \(\Phi:\mathbb{R}_{3}[X]\to\mathbb{R}^4\), dado por \(\Phi(p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3)=[p_0,p_1,p_2,p_3]\), y el \(\Psi:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4\), dado por \(\Psi\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=[a,b,c,d]\)
Ahora solo tenemos que multiplicarlo por el vector:
(%i12)
Mg.Mf.transpose(matrix([−1,3,1]));
\[\begin{bmatrix}-1\\-2\\2\\-5\end{bmatrix}\]
Estas son las coordenadas de la matriz resultados. Si lo pasamos a matriz, tendremos
(%i13)
s:matrix([−1,−2],[2,−5]);
\[\begin{bmatrix}-1 & -2\\2 & -5\end{bmatrix}\]
Para resolver el ejercicio, calculamos su determinante:
(%i14)
determinant(s);
\[9\]
El plano afín \(\mathbb{R}^2\)
En la pasada clase definimos el plano, veamos cómo expresamos las variedades que contienen dichos espacios mediante sus ecuaciones implícitas y paramétricas.
Vimos que las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\lambda(v_1,v_2),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Ejemplo: Determinar si los puntos P(4,1), Q(3,-4) y R(2,-1) son colineales.
Un resultado más práctico nos dice que la ecuación implícita de la recta en el plano afín que pasa por los puntos \(P(p_1,p_2)\) y \(Q(q_1,q_2)\) vendrá dada por el determinante:
\[\begin{vmatrix} x & y & 1\\ p_1 & p_2 & 1\\ q_1 & q_2 & 1 \end{vmatrix}=0\]
Ejemplo: ¿Cuánto suman los coeficientes que multiplican a \(x\) e \(y\) en la ecuación implícita de la recta del plano afín que pasa por los puntos P(4,1) y Q(7,-4)?
El espacio afín \(\mathbb{R}^3\)
En el espacio afín una recta que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Ejemplo: Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)
Ejemplo: Determinar las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)
(%i2)
P:[4,1,2]$ Q:[3,–4,0]$
Dados estos dos puntos la recta vendrá dada por uno de ellos, por ejemplo P, y el vector director obtenido de la resta de ambos, \(\overrightarrow{PQ}\)
(%i3)
r:Q–P$
Así, las ecuaciones implícitas las determinaran las equaciones que impliquen rango igual a 1 en la matriz:
(%i4)
A:transpose(matrix(r,[x,y,z]–P));
Para conseguir estas ecuaciones, consideremas un menor de orden 1 distinto de cero y consigamos escalonar la matriz en base a dicho menor:
Las ecuaciones que buscamos se corresponde con las ecuaciones que hacen cero las dos lineas por debajo del menor escogido:
(%i8)
rat(A[2,2])=0; rat(A[3,2])=0;
También podemos utilizar el resultado que nos dice que la ecuación implícita del plano en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por los vectores \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), vendrá determinado por el determinante \[\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=0\]
Ejemplo: Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(4,1,2) y tiene por vectores directores \(\vec{v}(1,5,3)\) y \(\vec{u}(3,-2,1)\)
Ejemplo: Sea S(\(x\),4,-3), ¿existe algún valor de \(x\) que hace a S coplanario con P(0,-2,1), Q(1,-2,-3) y R(1,-3,1)?