Recordemos que un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), y \(U\subset V\) no vacío, \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si:
- \(\forall \mathbf {v},\mathbf {u} \in U\), \(\mathbf {v}+\mathbf {u} \in U\)
- \(\forall \mathbf {u}\in U\), \(\forall a\in \mathbb{K}\), \(a\mathbf {u}\in U\)
Un resultado práctico que nos ayudará a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:
Si \(V\) es un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío \(S\) de \(V\) es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores \(\vec{v}, \vec{w}\in S\) y cualesquiera escalares \(\lambda,\mu\in\mathbb{K}\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \(\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}\in S\).
Operaciones con subespacios
Sea \({\displaystyle (V,+,\mathbb{K},*)}\) un espacio vectorial; \({\displaystyle (S,+,\mathbb{K},*)}\) y \({\displaystyle (W,+,\mathbb{K},*)}\) subespacios vectoriales de \({\displaystyle V}\), se definen las siguientes operaciones:
\(\bullet\)Unión
\[{\displaystyle S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V| \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}\]
En general, la unión de subespacios no es un subespacio; solo lo será si uno está contenido en el otro (\(S\subseteq W\) ó \(W\subseteq S\)).
\(\bullet\)Intersección
\[{\displaystyle S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V| \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}\]
La intersección de dos subespacios es un subespacio.
\(\bullet\)Suma
\[{\displaystyle S+W=\left\{\mathbf {v} \in V| \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}}\]
La suma de dos subespacios es un subespacio de \(V\).
\(\bullet\)Suma directa
Si la intersección entre \(S\) y \(W\) es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama «suma directa». Es decir que si
\[{\displaystyle S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W}\]
Esto significa que todo vector de \(S+W\), se escribe de manera única como la suma de un vector de \(S\) y otro de \(W\).
\(\bullet\)Subespacios suplementarios
Se dice que los subespacios \(S\) y \(W\) son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial \(V\):
\[{\displaystyle S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}}\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\) y \(T=\left\{\begin{bmatrix}c+3d&2c+d\\ d&2c-d\end{bmatrix};c,d\in\mathbb{R}\right\}\), determinar una base del subespacio vectorial \(S+T\).
Ejercicio: Dado el ejercicio anterior deducir quién es \(S\cap T\)
Ejercicio: Sea \(S=\mathbf{Gen}\left\{(1,1,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\right\}\), y \(T=\mathbf{Gen}\left\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\right\}\) determinar una base del subespacio vectorial \(S+T\).
Ejercicio: Sea \(S=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x-y+t=0\right\}\), y \(T=\mathbf{Gen}\left\{(1,0,-1,0),(0,1,1,0)\right\}\) determinar una base de los subespacios vectoriales \(S+T\) y \(S\cap T\).
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&a\\ b&c\end{bmatrix}\in\mathbb{C}\right\}\), y \(T=\left\{\begin{bmatrix}a&-a\\ b& 0\end{bmatrix}\in\mathbb{C}\right\}\) determinar una base de los subespacios vectoriales \(S+T\) y \(S\cap T\).
Con lo que hemos visto podemos concluir:
Sean \(S\) y \(W\) dos subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial. Y sean \(B_S\) y \(B_W\) dos bases respectivas de los subespacios vectoriales. Construyamos la matriz cuyas filas son las coordenadas de los vectores de cada base: \[M=\begin{bmatrix}B_S\\ B_W\end{bmatrix}.\]
Entonces, los vectores l.i. de \(M\) constituyen una base de \(S+W\), y los vectores l.d. una base de \(S\cap W\).
Fórmula de Grassmann
Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera, sean \(S\) y \(W\) dos conjuntos que determinan subespacios. La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de \(S\) y \(W\) de la siguiente manera
\[\mathbf{dim}(S)\, +\, \mathbf{dim}(W)=\mathbf{dim}(S+W)\,+\, \mathbf{dim}(S\cap W).\]
Bibliografía
- Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a+2 c-b & a-b+c\\ b-a+3 c & a+b-c\end{bmatrix}|\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\}\). ¿Cuál de las siguientes matrices pertenece a \(S\)? |