Recordemos es dada una aplicación lineal, \(T\), se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de \(T:V\to W\) como:

\(\mathbf{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}\)

\(\mathbf{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}\)

Es decir, que el núcleo de una aplicación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda aplicación lineal es un subespacio vectorial del dominio.

Así, si \(M_f\) es la matriz asociada a la aplicación lineal \(f:V\to W\), entonces el sistema dado por \[M_f\,\textbf{X}=\textbf{0},\] \(\textbf{X}\) la matriz columna de incógnitas y \(\textbf{0}\) la matriz columna de coordenadas de \(0_W\), nos proporciona los elementos del núcleo de \(f\) que buscamos.

Para obtener \(\mathbf{Im}(f)\), es suficiente con ver que dada una base \(B=\{v_1\,\ldots,v_r\}\subset V \), la imagen de los vectores de la base forman un sistema generador de \(\mathbf{Im}(f)\); es decir, \(\mathbf{Im}(f)=\mathbf{Gen}\{f(v_1)\,\ldots,f(v_r)\}\). Así pues, solo necesitamos los vectores l.i. de \(\{f(v_1)\,\ldots,f(v_r)\}\).

Otra forma bastaría con determinar el rango de la matriz asociada y elegir un número igual al rango, de vectores columna de la matriz, linealmente independientes. Dicho subconjunto formará una base de \(\mathbf{Im}(f)\)

Ejercicio: Sea \(f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) la aplicación lineal definida por \(f(x, y) = (−x + 2y, x, 2x − y)\). Encontrar su núcleo y su imagen.

Solución:

Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X]\) dada por \[\forall p(X)\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=p(X)-\frac{d}{dX}p(X).\] Determinar el núcleo de la aplicación.

Solución:

Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X]\) dada por \[\forall p(X)=p_0+p_1X+p_2X^2\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=(p_0+p_1+p_2)+(p_0+p_1)X+p_2X^2.\] Determinar el núcleo de la aplicación.

Solución:

Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_3[X]\to\mathbb{R}_2[X]\) dada por \[\forall p(X)=p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3\in\mathbb{R}_3[X];\ f(p(X))=(p_0+p_1+p_2)+(p_0-p_3)X^2.\] ¿Cuál es la dimensión de su núcleo más tres veces la dimensión de su imagen? Es decir, ¿\(\mathbf{dim}\,\mathbf{Ker}(f)+3\,\mathbf{dim}\,\mathbf{Im}(f)\)?.

Solución:

Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2\) dada por \[f\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=(a-b,c-d).\] Determinar el núcleo de la aplicación.

Solución:

Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[f(x,y,z)=
\begin{bmatrix}x-y&y-z\\ z-x&x-y\end{bmatrix}.\] ¿Cuál \(\mathbf{dim}\,\mathbf{Im}(f)\)?

Solución:

Corolario: Sea \(\mathbf{Im}(f)=\mathbf{Gen}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r\}\), vectores linealmente independientes. Entonces \(\vec{u}\in\mathbf{Im}(f)\Leftrightarrow \mathbf{rank}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r,\vec{u})=r \)

Definición: Llamamos rango de una aplicación lineal \(f\), \(\mathbf{rank}\ (f)\), al rango de su matriz asociada.

Proposición: \(\mathbf{rank}\ (f)=\mathbf{dim}\,\mathbf{Im}(f)\)

Un resultado importante nos dice que si \(f:V\to W\), es lineal entre dos espacios vectoriales finitos sobre el mismo cuerpo, entonces

\[dim\,\mathbf{Ker}(f) + dim\,\mathbf{Im}(f)=dim\, V\]

Propiedades de la matriz asociada a una aplicación

Hemos visto que si \(M_f\) es la matriz asociada a la aplicación lineal \(f:V\to W\), entonces
\[f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.\]

Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas.

Llamamos rango de una aplicación lineal \(f\) al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si \(f:V\to W\) es lineal

1. \(f\) es inyectiva si, y sólo si, \(\mathbf{rank}\, f=\mathbf{dim}(V)\)
2. \(f\) es sobreyectiva si, y sólo si, \(\mathbf{rank}\, f=\mathbf{dim}(W)\)
3. \(\mathbf{dim}(\mathbf{Im}\,f)=\mathbf{rank}\, f\)

Otra aplicación es en la composición:

Dadas dos aplicaciones lineales \(f:V\to V’\) y \(g:V’\to W\) se define la aplicación lineal \(f\) compuesto con \(g\), \((g\circ f):V\to W\), como \[(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v})),\quad \forall\vec{v}\in V.\]

De este modo la composición de aplicaciones se puede realizar mediante multiplicación de matrices

\[(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v}))\Leftrightarrow M_g(M_f\vec{v})\Leftrightarrow (M_g\cdot M_f)\vec{v}\]

Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4\) dada por \[f(x,y,z)=(x+2y,y-z,x-z,2z-x-y),\] y \(g:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) dada por \[g(x,y,z,t)=(x-3y,2t-5z).\] ¿cuál es la \(\sum a_{ii}\) de la matriz asociada a \(g\circ f\)?

Solución:

Si consideremos lo que hemos visto, al hecho de que podemos establecer un isomorfismo entre un \(\mathbb{R}\)-espacios vectoriales \(V\), de dimensión \(n\), y \(\mathbb{R}^n\), resultará que podremos tratar los elementos del \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial como si fuesen vectores de \(\mathbb{R}^n\). Esto nos ayudará a resolver problemas diversos; por ejemplo, determinar la independencia lineal de un conjunto de polinomios mediante su matriz como vectores en \(\mathbb{R}^n\).

Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}_{2}[X]\to\mathbb{R}^2\) dada por \[f(p_0+p_1X+p_2X^2)=(p_0-p_2,p_1-p_2),\] y \(g:\mathbb{R}^2\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[g(x,y)=\begin{bmatrix}x&x-y\\ y-x&y\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor del determinante de \((g\circ f)(1-2X)\)?

Solución:

Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}_{3}[X]\) dada por \[f(a,b,c)=a+(b-a)X+(c-a)X^2+(2a-b)X^3,\] y \(g:\mathbb{R}_3[X]\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[g(p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3)= \begin{bmatrix}p_0&p_2-p_1\\ p_1-p_2&p_3\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor del determinante de \((g\circ f)(-1,3,1)\)?

Solución:

Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_{2}[X]\) dada por \[f(p(X))=\frac{d}{dX}p(X),\] y \(g:\mathbb{R}_2[X]\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[g(p_0+p_1X+p_2X^2)= \begin{bmatrix}p_0&p_1\\ p_2&p_0\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor del determinante de \((g\circ f)(1-X+X^2)\)?

Solución:

Imagen recíproca

Para terminar tratamos la imagen recíproca de un vector.

Si tenemos una aplicación lineal \(f:V\to W\), entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, y consideramos un vector fijo \(\vec{w}\in W\), llamamos conjunto imagen recíproca al conjunto \[f^{-1}(\vec{w})=\{\vec{v}\in V;\,f(\vec{v})=\vec{w}\}\subset V.\]
Para este conjunto puede ocurrirle dos propiedades interesantes

1. Si \(\vec{w}\notin \operatorname{Im}(f)\), entonces \(f^{-1}(\vec{w})=\varnothing\)
2. Si \(\vec{w}\in \operatorname{Im}(f)\); es decir, existe algún \(\vec{v}_0\in V\) tal que \(f(\vec{v}_0)=\vec{w}\), entonces \(f^{-1}(\vec{w})\) es la variedad lineal dada por \[f^{-1}(\vec{w})=\vec{v}_0+\operatorname{ker}(f)\]

Veamos cómo aplicamos esto. Consideremos la aplicación \(f(x,y,z)=(2x-y,-x+z)\). La imagen recíproca del vector \((1,3)\in\mathbb{R}^2\) está formada por los vectores de \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) tales que
\[\left.\begin{array}{r}
2x-y=1 \\ -x+z=3
\end{array}\right\}
\]
Si resolvemos el sistema tendremos
\[\left\{\begin{array}{l}
x=k \\ y=-1+2k \\z=3+k
\end{array}\right.\]
Por tanto, la imagen recíproca la podremos poner como

\[f^{-1}(1,3)=\{(k,-1+2k,3+k);k\in\mathbb{R}\}=(0,1,3)+\{(k,2k,k);k\in\mathbb{R}\},\]
donde \[\operatorname{ker}(f)=\{(k,2k,k);k\in\mathbb{R}\}.\]

Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) dada por \[f(x,y,z)=(2x-y+z,3x-2y+z,2x+2y-2z),\] determinar la imagen recíproca de (-5,-9,-8).

Solución:

Ejercicio: Dada la aplicación lineal \(f\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}=a+(b-c)X+dX^2\), ¿Cuál de las matrices dadas pertenece a la imagen recíproca del vector \(5+X-X^2\in\mathbb{R}_2[X]\)?
\[A:\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix},\,B:\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & -1\end{bmatrix},\, C:\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \]

Solución:

Solución: