Repaso de la inversa y pseudoinversa de una matriz
El procedimiento común para el cálculo de la inversa de una matriz(en caso de existir) puede plantearse como el algoritmo dado mediante transformaciones elementales:
\[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, A^{-1}].\]
Ejercicio: Calcula mediante operaciones elementales la inversa de la matriz \[\begin{bmatrix}3 & 0 & -1 & 1\\ -2 & 3 & 2 & 2\\ 4 & 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -3 & 0\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 1 & -1 & -i\\
0 & i & 1 & 1 \\
0 & 0 & i & -1 \\
0 & 0 & 0 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto suman los elementos de la cuarta columna de la inversa?
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1 &1
\end{bmatrix},\) calcular su pseudoinversa por la derecha.
Ejercicio: Sea \(A\)=[[1,1],[1,0],[-1,0]], y \(L\) la pseudoinversa talque \(LA=I\). ¿Cuánto suman los elementos de la segunda fila de \(L\)?
Inversa en maxima
Hemos visto cómo calcular la inversa mediante operaciones elementales, así practicamos el uso de maxima y las matrices. Sin embargo, tenemos un comando que nos lo calcula directamente:
- invert(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa.
- invert(\(M\)),detout: dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa con el determinante fuera.
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)=[[-1,1,3],[1,-2,0],[1,-2,1],[1,0,1]], estudiar si tiene pseudoinversa y determinarla en su caso
Determinantes
Recordemos que para calcular un determinante hemos dado dos procesos: bien mediante triangulación de la matriz, bien mediante la regla de Laplace.
Ejercicio: Determina el valor del determinante de la matriz [[1,1,0,0], [-1,1,-1,0], [0,1,1,1], [0,0,1,1]], consiguiendo su matriz escalonada.
El siguiente comando nos proporciona directamente este resultado:
- determinant(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su determinante.
Ejercicio: Cuál es el mayor valor de los menores principales de la matriz \[\begin{bmatrix}
1 & 4 & -1 & 1 & 2 & 1\\
8 & 9 & -2 & 2 & -3& 0\\
0 & -3 & 8 & 3 & 4 & -3\\
4 & -2 & 0 & -7 & 1 & 4\\
1 & 0 & -5 & 3 & 0& 7\\
-3 & 6 & -4 & 4 & 6 & 9
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Cuál es el valor de x para que el rango de la matriz sea 2 \[\begin{bmatrix}
5 & -5 & -6\\
-5 & 3 & -1 \\
0 & x &7
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Cuál es el rango de la matriz según el valor del parámetro \(\alpha\) \[\begin{bmatrix}
\alpha & 1 & 1 & 2 \\
2 & \alpha & \alpha^2 &1\\
2 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\]
Más comandos interesantes:
- adjoint(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su adjunta.
- minor(\(M,i,j\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve el menor (i,j), esto es, elimina la fila i y la columna j de la matriz.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
3 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 1 & 0\\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 2 & 1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R),\] y \(adj(A)=[A_{ij}]^t\) su matriz adjunta. ¿Cuántos \(A_{ij}=0\) hay?
Ejercicio: ¿Qué valores de \(x\) hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}
x & 1 & -1\\
0 & 2 & x \\
4 & 0 & -x
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: ¿Qué valores de \(x\) hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}1&3&1&3\\2&3&4&5\\3&2&x&2\\4&x&6&5\end{bmatrix}\]
Determinantes de una matriz por bloques
Ejercicio: Sea \(A\)=[ [1,6,7,0,0,0,0], [-3,-1,1,0,0,0,0], [0,4,-2,0,0,0,0],[1,1,0,5,-1,0,0], [0,3,7,-2,3,0,0], [-2,1,4,-2,-1,6,-5], [6,0,0,2,4,3,1]]. Calcular por bloques el valor de su determinante.
Factorización LU con maxima
Recordemos que las matrices L y U son únicas, si la matriz no es singular(determinante distinto de cero), en contrario pueden no ser únicas. Un ejemplo es cuando nos aparece un cero en la diagonal principal de la matriz U, en el proceso \[[I\, |\, A] \sim [L^*\, |\, U].\] En tal caso debemos permutar las filas de la matriz \(A\) para que no ocurra. Pero si lo hacemos debemos observar que ahora buscaremos una factorización de \(PA\) no de \(A\). Es decir, \[PA=LU.\]
Es posible que proceso de factorización de la matriz \(PA\) nos lleve a la aparición de otro cero en la diagonal del escalonamiento de U; en ese caso, deberemos hacer otra permutación. De este modo la matriz \(P\) puede ser el resultado de un producto de matrices permutación \(P=P_1P_2\cdots P_k\).
Recordemos que si los menores principales de \(A\) son no nulos el procedimiento nos lleva a una factorización. De este modo, podemos buscar la permutación, o producto de permutaciones, adecuada de modo que los menores principales de \(PA\) sea no nulos y nos garantice el éxito de la factorización.
Ejercicio: Dada la matriz [[1,2,3],[-3,-4,13],[2,1,-5]] determinar su factorización LU.
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1\\
2 & 4 & 6\\
-1 & 0 & 3
\end{bmatrix},\] cuánto suman todos los elementos de la primera columna de la matriz \(L\) de su factorización LU.
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 & 1\\
1 & -1 & 2 & 1\\
-1 & 3 & 2 & 1\\
-1 & 2 & 3 & 1
\end{bmatrix},\] cuánto suman todos los elementos de la matriz \(L\) de su factorización LU.
Ejercicio: Encontrar la factorización LU de la matriz \[\begin{bmatrix} 1 & 3 &-1 & 2\\ 2 & 6 &-1 & 3\\ 1 & 3 &-2 & 4\\ 3 & 7 &-2 & 4 \end{bmatrix}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}3 & 2 & -1\\ 2 & 5 & 6\\ -3 & -2 & 7 \end{bmatrix},\] determina su factorización LU.
Sistemas con LU
Uno de los usos está en la posibilidad de resolver sistemas de ecuaciones. Consideremos queremos resolver el sistema de ecuaciones \[\textbf{A}x=\textbf{b},\] donde \(\textbf{A}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\). Si conseguimos una factorización \[\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U},\] donde \(\textbf{L}\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})\), y, \(\textbf{U}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\), resultará
\[\textbf{A}x=(\textbf{L}\textbf{U})x=\textbf{L}(\textbf{U}x)=\textbf{b}.\]
Para resolver el problema podemos afrontar la estrategia de resolver primero:
\[\textbf{L}y=\textbf{b},\] para después
\[\textbf{U}x=\textbf{y}.\]
Como ambas matrices \(\textbf{L}\) y \(\textbf{U}\) son triangulares su solución es fácil mediante sustitución.
Ejercicio: Utilizar la factorización \(\textbf{LU}\) anterior para resolver el sistema que permita resolver el sistema \(Ax=\textbf{b}\) donde \[A=\begin{bmatrix}3 & 2 & -1\\ 2 & 5 & 6\\ -3 & -2 & 7 \end{bmatrix},\ \textbf{b}=\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ -2\end{bmatrix}\]
Bibliografía
- Arriaza Gómez A. J., del Águila Garrido L., Rambla Barreno F., Redondo Neble M. V., Rodríguez Galván J. R., Viglialoro G. Manual de prácticas de Matemáticas con Máxima. Cádiz: Editorial UCA; 2015.
| Ejercicio: Sea la matriz \(A\)=[[1,-1,1,2],[0,0,3,-1],[4,2,0,2],[1,0,3,-1]], ¿cuál es el mayor valor de sus menores principales? |