Día: 26 de noviembre de 2025

Volumen por secciones

El pasado día vimos que definimos la integral \(\displaystyle\int_{a}^bf(x)\ dx\) como el área entre una función, el eje OX y las rectas \(x=a\) y \(x=b\). Recordemos que debemos tener en cuenta que la función siempre sea positiva en dicho intervalo.

El siguiente paso es determinar volúmenes, como la suma de infinitas secciones transversales perpendiculares al eje \(x\):
\[V=\int_a^bA(x)\ dx.\]
En este caso la dificultad estriba en determinar la función que me da el área de la sección transversal.

Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva \(y=\sqrt{x}\) respecto del eje x desde 0 a 1?

Solución:

Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región comprendida entre \(y=x^3\), \(y=8\) y \(x=0\) respecto del eje y?

Solución:

Volumen de sólidos en revolución

Estos volúmenes los calculamos como sólidos en revolución; es decir, un sólido que se genera por la revolución sobre el eje OX de una curva \(y=f(x)\), y su fórmula es \[V= \pi \int_a^b f(x)^2\,dx\]

Si embargo, si revoluciona respecto del eje OY, el volumen será

\[V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx.\]

Ejemplo: ¿Cuál es el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje \(y\) la región delimitada por \(y=2x^2-x^3\) y \(y=0\)?

Solución:

Superficie de sólidos en revolución

El cálculo de la superficie de este solido de revolución(sobre el eje OX) viene dado por: \[A=2\pi\int_a^b f(x) \sqrt{1+\left[f^\prime(x)\right]^2} \, dx \]

Longitud de arco de una curva

Por último, el cálculo de la longitud de arco de una curva en un intervalo dado es:\[s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f^\prime \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx \]

El gran problema del cálculo de superficies y longitud de arco es que implica encontrar una primitiva, que en muchos casos, es tremendamente complecada. En estos casos es más práctico encontrar una aproximación mediante la integración numérica.

Reglas simples de Simpson

\[\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx =\frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2))-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_2) \] \[\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx =\frac{3h}{8}(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3))-\frac{3h^5}{80}f^{(4)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_3) \]

Ejemplo: ¿Cuál es la longitud de arco de la curva \(y=x^2-x\) entre x=0 y x=2?

Solución:

Ejemplo: ¿Cuál es la superficie de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva \(y=2x^2-x^3\) respecto del eje x desde 0 a 2?

Solución:

Integración Impropia

¿Qué ocurre cuando queremos calcular una integral de un función en un intervalo no acotado?, o cuando uno de los extremos es una discontinuidad de la función. Estas integrales son las que hemos resuelto hoy.

Este tipo de integrales se catalogan en

• de Primera especie, cuando el intervalo es de la forma (-∞,b] o [a,∞) o (-∞,∞)
• de Segunda especie, (a,b] o [a,b) o (a,b)
• de Tercera especie, una mezcla de los anteriores, como (a,∞)

Para afrontar este tipo de integración procederemos como:

• Integrando discontinuo
  • Si \(f(x)\) es continua en el intervalo \([a, b)\), pero es discontinua en \(x=b\), \[\int_a^b f(x)dx=\lim_{h\to 0^+}\int_a^{b-h}f(x)dx\]

  Ejercicio: \(\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{2-x}}dx\)

  Solución:

  \[\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{2-x}}dx=\lim_{b\to 2^-}\int_1^b \frac{1}{\sqrt{2-x}}dx=\lim_{b\to 2^-}\left[-2\sqrt{2-x}\right|_1^b=\]\[=\lim_{b\to 2^-}\left(-2\sqrt{2-b}+2\sqrt{2-1}\right)=2\]

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  • Si \(f(x)\) es continua en el intervalo \((a, b]\), pero es discontinua en \(x=a\), \[\int_a^b f(x)dx=\lim_{h\to 0^+}\int_{a+h}^bf(x)dx\]

  Ejercicio: \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^{\tfrac{2}{3}}}\)

  Solución:

  \[\int_0^1 \frac{dx}{x^{\tfrac{2}{3}}}=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1 \frac{dx}{x^{\tfrac{2}{3}}}=\lim_{a\to 0^+}\left[3x^{\tfrac{1}{3}}\right|_a^1=\]\[=\lim_{a\to 0^+}\left(3-3a^{\tfrac{1}{3}}\right)=3\]

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  • Si \(f(x)\) es continua en el intervalo \([a, b]\), excepto para \(x=c\in (a,b)\), \[\int_a^b f(x)dx=\lim_{h\to 0^+}+\int_a^{c-h}f(x)dx+\lim_{h\to 0^+}\int_{c+h}^b f(x)dx\]

  Ejercicio: \(\displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}\)

  Solución:

  \[\int_0^2 \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=\int_0^1 \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}+\int_1^2 \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=\]\[= \lim_{b\to 1^-}\int_0^b \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}+\lim_{a\to 1^+}\int_a^2 \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=\]\[= \lim_{b\to 1^-}\left[3(x-1)^{1/3}\right|_0^b+\lim_{a\to 1^+}\left[3(x-1)^{1/3}\right|_a^2=\]\[= \lim_{b\to 1^-}\left(3(b-1)^{1/3}-3(0-1)^{1/3}\right)+\lim_{a\to 1^+}\left(3(2-1)^{1/3}-3(a-1)^{1/3}\right)=6\]

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• Límites de integración infinitos
  • Si \(f(x)\) es continua en el intervalo \([a, \infty)\), \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{b\to \infty}\int_a^{b}f(x)dx\]

  Ejercicio: \(\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}dx\)

  Solución:

  \[\int_0^\infty e^{-x}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^be^{-x}=\lim_{b\to\infty}\left[-e^{-x}\right|_0^b=\lim_{b\to\infty}\left(-e^{-b}+1\right)=1\]

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  • Si \(f(x)\) es continua en el intervalo \((-\infty, b]\), \[\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{a\to -\infty}\int_a^{b}f(x)dx\]

  Ejercicio: \(\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^{2x}dx\)

  Solución:

  \[\int_{-\infty}^0 e^{2x}dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^0e^{2x}=\lim_{a\to-\infty}\left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right|_a^0=\tfrac{1}{2}\lim_{a\to-\infty}\left(1-e^{2a}\right)=\frac{1}{2}\]

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  • Si \(f(x)\) es continua para todo \(c\in [a, b]\), \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\lim_{a\to -\infty}\int_a^{c}f(x)dx+\lim_{b\to \infty}\int_c^{b}f(x)dx\]

  Ejercicio: \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx\)

  Solución:

  Elegimos un punto \(c=0\) donde es continua y aplicamos
  \[\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx=\int_{-\infty}^0 \tfrac{1}{1+x^2}dx+\int_0^\infty \tfrac{1}{1+x^2}dx=\]\[=\lim_{a\to-\infty}\int_a^0\tfrac{1}{1+x^2}dx+\lim_{b\to\infty}\int_0^b\tfrac{1}{1+x^2}dx\]
  Ahora es suficiente con recordar que \[\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\]

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En todos los casos siempre que exista el límite.

Bibliografía

• Capítulo 6 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.

Solución:

La integral definida surge de la necesidad de calcular un área mediante el límite de una suma infinita de rectángulos en los que se divide el área buscada. Esta idea, la formalizó…