Recordemos que, dado un espacio euclídeo, \((\mathcal{E},\bullet)\), dos vectores se dicen ortogonales si
\[\vec{x}\perp \vec{y} \Leftrightarrow \vec{x}\bullet \vec{y}=0\]
Con esta definición, decimos que \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\) es un conjunto ortogonal si dos a dos sus vectores son ortogonales; es decir, \(\vec{v}_i\bullet\vec{v}_j=0\forall i\neq j\)
Nuestro propósito será, a partir de un conjunto de vectores, de un subespacio de un espacio euclídeo, \((\mathcal{E},\bullet)\), obtener otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. Este proceso se denomina ortonormalización de Gram-Schmidt.
El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt nos dice que si \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\), los vectores
forman una base ortogonal del subespacio. De este modo, el siguiente conjunto es una base ortonormal del subespacio \[\left\{\frac{\vec{u}_1}{||\vec{u}_1||},\frac{\vec{u}_2}{||\vec{u}_2||},\ldots,\frac{\vec{u}_n}{||\vec{u}_n||}\right\}\]
Ejemplo: Dada la base de \(\mathbb{R}^2\)
\[ B = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \} = \left\{ (1, -2), (1, 1) \right\} \]
construya una base ortonormal \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \}\) para \(\mathbb{R}^2\) mediante el proceso de Gram-Schmidt.
## 1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}\)
### Paso 1: Definir el primer vector ortogonal \(\mathbf{u}_1\)
El primer vector de la base ortogonal es el primer vector de la base original:
\[
\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, -2)
\]
### Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal \(\mathbf{u}_2\)
El vector \(\mathbf{u}_2\) se calcula restando a \(\mathbf{v}_2\) su proyección sobre \(\mathbf{u}_1\).
Ejemplo: Dada la base de \(\mathbb{R}^3\)
\[ B = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} = \left\{ (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 2, -1) \right\} \]
construya una base ortonormal \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}\) para \(\mathbb{R}^3\) mediante el proceso de Gram-Schmidt.
## 1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}\)
### Paso 1: Definir el primer vector ortogonal \(\mathbf{u}_1\)
Tomamos el primer vector de la base original:
\[
\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, 0, 1)
\]
Calculamos su norma cuadrada:
\[
\| \mathbf{u}_1 \|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2
\]
### Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal \(\mathbf{u}_2\)
Restamos a \(\mathbf{v}_2\) su proyección sobre \(\mathbf{u}_1\):
\[
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 – \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|^2} \mathbf{u}_1
\]
## 3. Conclusión: Base Ortonormal para \(\mathbb{R}^3\)
La base **ortonormal** de $\mathbb{R}^3$, \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}\), es la siguiente.
\[
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, -1), \frac{1}{\sqrt{3}} (-1, 1, 1) \right\}
\]
Ejemplo: Dada la base de un subesapcio vectorial de \(S \subseteq\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)
\[ B = \{ \mathbf{V}_1, \mathbf{V}_2, \mathbf{V}_3 \} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\} \]
construya una base ortonormal \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}\) para \(S\) mediante el proceso de Gram-Schmidt.
Usaremos el producto interno de la traza: $\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^t B)= \text{tr}(B^t A)$.
## 1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}\)
### Paso 1: Definir la primera matriz ortogonal \(\mathbf{U}_1\)
**Resultado de $\mathbf{U}_2$:**
Puesto que $\langle \mathbf{V}_2, \mathbf{U}_1 \rangle = 0$, la proyección es nula. Esto significa que $\mathbf{V}_1$ y $\mathbf{V}_2$ ya eran **ortogonales** por casualidad.
\[
\mathbf{U}_2 = \mathbf{V}_2 – \frac{0}{6} \mathbf{U}_1 = \mathbf{V}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]