ALG: El espacio afín euclídeo con maxima

Repasemos un poco lo visto:

Ejemplo: ¿Cuánto suman los coeficientes que multiplican a $x$ e $y$ en la ecuación implícita de la recta del plano afín que pasa por los puntos P(4,1) y Q(7,-4)?

Ejemplo: Determinar si los puntos P(4,1), Q(3,-4) y R(2,-1) son colineales.

Ejemplo: Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)

Ejemplo: Determinar las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)

(%i2)

P:[4,1,2]$
Q:[3,–4,0]$

Dados estos dos puntos la recta vendrá dada por uno de ellos, por ejemplo P, y el vector director obtenido de la resta de ambos, $\overrightarrow{PQ}$

(%i3)

r:Q–P$

Así, las ecuaciones implícitas las determinaran las ecuaciones que impliquen rango igual a 1 en la matriz:

(%i4)

A:transpose(matrix(r,[x,y,z]–P));

$\begin{matrix} (A) & (\begin{matrix} - 1 & x - 4 \\ - 5 & y - 1 \\ - 2 & z - 2 \end{matrix}) \end{matrix}$

Para conseguir estas ecuaciones, consideremas un menor de orden 1 distinto de cero y consigamos escalonar la matriz en base a dicho menor:

(%i6)

A:rowop(A,2,1,A[2,1]/A[1,1])$
A:rowop(A,3,1,A[3,1]/A[1,1]);

$\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}$ $\begin{matrix} (A) & (\begin{matrix} - 1 & x - 4 \\ 0 & y - 5 (x - 4) - 1 \\ 0 & z - 2 (x - 4) - 2 \end{matrix}) \end{matrix}$

Las ecuaciones que buscamos se corresponde con las ecuaciones que hacen cero las dos lineas por debajo del menor escogido:

(%i8)

rat(A[2,2])=0;
rat(A[3,2])=0;

$\begin{matrix} (%o7)/R/ & y - 5 x + 19 = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o8)/R/ & z - 2 x + 6 = 0 \end{matrix}$

Ejemplo: Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(4,1,2) y tiene por vectores directores $\vec{v}(1,5,3)$ y $\vec{u}(3,-2,1)$

Ejemplo: Sea S($x$,4,-3), ¿existe algún valor de $x$ que hace a S coplanario con P(0,-2,1), Q(1,-2,-3) y R(1,-3,1)?

(%i9)

S:[x,4,–3]$P:[0,–2,1]$Q:[1,–2,–3]$R:[1,–3,1]$
pq:Q–P$
pr:R–P$
ps:S–P$
eq:rat(determinant(matrix(pq,pr,ps)));
solve(eq,x);

$\begin{matrix} (eq) & - 4 x - 20 \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o9) & [x = - 5] \end{matrix}$

El espacio euclídeo

En este tema nos proponemos proveer de una métrica a los espacios afines de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$. Esta métrica nos permitirá definir distancias, el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad.

Definimos el producto escalar de dos vectores $\mathbf{v},\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$, siendo $\mathbf{v}=[v_1,\ldots,v_n]$ y $\mathbf{u}=[u_1,\ldots,u_n]$ como \[\mathbf{v}\bullet \mathbf{u}=\sum{i=1}^nv_iu_i\in\mathbb{R}\]

Propiedades: El producto escalar verifica que para todo vector, $\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n$ es

$\mathbf{v}\bullet \mathbf{u}=\mathbf{a}\bullet \mathbf{v}$

$\mathbf{v}\bullet (\lambda\mathbf{u})=\lambda(\mathbf{v}\bullet \mathbf{u}) \forall \lambda\in\mathbb{R}$

$\mathbf{v}\bullet (\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{w})=\lambda\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}\bullet\mathbf{w} \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

El producto escalar nos da pie a definir la norma de un vector como la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por si mismo: \[||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\bullet\vec{v}}\]

En el caso de $\mathbb{R}^n$: \[||(v_1,v_2,\ldots,v_n)||=\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\ldots + v_n^2}\]

Ejemplo: Determina un vector en la dirección del subespacio $U=\mbox{Gen}\{(2,0,1)\}$ de longitud 6.

Además, definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que más tarde utilizaremos. Por último, hemos definido el producto mixto de tres vectores de $\mathbb{R}^3$.

Además, hemos aprendido a expresar de una nueva forma un plano afín en $\mathbb{R}^3$. Si $\pi:\{P+\lambda\vec{v}+\mu\vec{u}|P\in\mathbb{R}^3, \vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^3,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}$, llamamos forma general a \[(x-p_1,y-p_2,z-p_3)\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0.\]

El símbolo $\times$ hace referencia al producto vectorial, que calculamos mediante:
\[\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k}\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}\]

Ejemplo: Sean $\vec{v}=(1,-2,3)$ y $\vec{u}=(2,1,-1)$, calcular $\vec{v}\times\vec{u}$.

Este resultado junto con el anterior nos permite deducir la forma general del plano $(x-p_1,y-p_2,z-p_3)\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0,$ como
\[\begin{vmatrix}x-p_1 & y-p_2 &z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}=0\]

El producto vectorial solo hace referencia a vectores en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$, y cumple:

$ (\vec{v} \times \vec{u} )\times \vec {w} \neq \vec {v} \times (\vec {u} \times \vec {w} )$; el producto vectorial no es asociativo
${\vec{v}}\times {\vec{u}}=-({\vec{u}}\times {\vec{v}})$; anticonmutatividad
$ \vec{v}\bullet (\vec{v}\times \vec{u})=0$; cancelación por ortogonalidad.
Si ${\vec{v}}\times {\vec{u}}={\vec{0}}$ con $\vec{v}\neq \vec{0}$ y $ \vec{u}\neq \vec{0}$, $\Rightarrow \vec{v}\|\vec{u}$; la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
$({\vec{v}}+{\vec{u}})\times {\vec{w}}={\vec{v}}\times {\vec{w}}+{\vec{u}}\times {\vec{w}}$; distributividad por derecha e izquierda
${\vec{v}}\times ({\vec{u}}\times {\vec{w}})={\vec{u}}({\vec{v}}\bullet {\vec{w}})-{\vec{w}}({\vec{v}}\bullet {\vec{u}})$; conocida como regla de la expulsión.
$ \left\|\vec{v}\times \vec{u}\right\|=\left\|\vec{v}\right\|\left\|\vec{u}\right\|\left|\sin \theta \right|$. En la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores $ \vec{v}$ y $ \vec{u}$, siendo $\theta$ el ángulo menor entre los vectores $ \vec{v}$ y $ \vec{u}$; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
$\lambda (\vec{v}\times \vec{u})=(\lambda \vec{v})\times \vec{u}=\vec{v}\times (\lambda \vec{u})$; el producto vectorial es bihomogéneo
El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el producto vectorial: $\|\vec{v}\times \vec{u}\|=\left(\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}-(\vec{v}\bullet \vec{u})^{2}\right)^{1/2}$
El vector unitario $ {\hat {\mathbf {n} }}=\frac{\vec{v}\times \vec{u}}{\|\vec{v}\times \vec{u}\|}$ es normal al plano que contiene a los vectores $ \vec{v}$ y $ \vec{u}$.

Ejemplo: ¿Cuál es la norma del vector perpendicular al subespacio generado por $\vec{v}:(1,-1,5)$ y $\vec{u}:(2,3,-1)$?

Lo que buscamos es $\|\vec{v}\times\vec{u}\|$.

(%i6)

fpprintprec:6$
v:[1,–1,5]$
u:[2,3,–1]$
vu:rat(determinant(matrix([i,j,k],v,u)),k,j,i);
vu:[coeff(vu,i),coeff(vu,j),coeff(vu,k)]$
print(«La norma de «,vu,«es»,float(sqrt(vu.vu)))$

$\begin{matrix} (vu) & - 14 i + 11 j + 5 k \\ La norma de [- 14, 11, 5] es 18.4932 \end{matrix}$

Ejercicio: ¿Cuál es, en valor absoluto, el producto escalar del vector $[1,2,4]$ por el vector normal unitario de la recta definida por las ecuaciones $\pi_1:-6z+9y+x-1=0$ y $\pi_2:15z-18y-4x-5=0$?

Utilizando el producto escalar, podemos definir el coseno de dos vectores: $\vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^n$, donde $n\in\{2,3\}$, como \[\textbf{cos}(\vec{v},\vec{u})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{v}||\cdot ||\vec{u}||}\]

Ejemplo: Sean $\vec{v}=(1,-2,3)$ y $\vec{u}=(2,1,-1)$, ¿cuál es la segunda cifra decimal del $\cos(\vec{v},\vec{u})$?

(%i5)

fpprintprec:6$
v:[1,–2,3]$
u:[2,1,–1]$
cos:v.u/(sqrt(v.v)*sqrt(u.u))$
print(«El coseno es «,float(cos))$

$\begin{matrix} El coseno es - 0.327327 \end{matrix}$

Otro vector que podemos definir es la proyección de un vector sobre otro, como \[\textbf{proy}_\vec{v}(\vec{u})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\]

Ejemplo: ¿Cuál es el producto escalar del vector [1,-1,1] por la proyección de $\vec{u}=(2,1,-1)$ sobre $\vec{v}=(1,-2,3)$?

(%i5)

fpprintprec:6$
v:[1,–2,3]$
u:[2,1,–1]$
proy:(v.u/(v.v))*v$
[1,–1,1].proy,numer;

$\begin{matrix} (%o5) & - 1.28571 \end{matrix}$

La componente de $\mathbf{u}$ en la dirección de $\mathbf{v}$, vendrá dada por \[\textbf{comp}_\mathbf{v}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||}\]

Ejemplo: Determinar la componente del vector $[3,2,1]$ en la dirección del vector $[2,-1,0]$

Con la norma podemos definir la distancia entre dos puntos $P$ y $Q\in \mathbb{R}^3$ como: \[d(P,Q)=||\vec{QP}||=\sqrt{(q_1-p_1)^2 +(q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}\]

Ejemplo: ¿Cuál es la distancia entre los puntos $P(1,-1,2)$ y $Q(0,2,-2)$?

Del mismo modo definimos la distancia de una recta $r=\{P+\mathbf{Gen}\{\vec{v}\}\}\in \mathbb{R}^3$ a un punto $Q$ como:\[d(Q,r)=\frac{||\vec{PQ}\times\vec{v}||}{||\vec{v}||}\]

Ejemplo: ¿Cuál es la distancia del punto $Q(0,2,-2)$ a la recta $r:\{(1,-1,2)+\mathbf{Gen}\{(3,2,-1)\}\}\in \mathbb{R}^3$ ?

Sin embargo, si queremos calcular la distancia entre un punto $P$ y el plano $\pi:ax+by+cz+d=0$, que no lo contiene, lo haremos mediante: \[d(P,\pi)=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

Ejemplo: ¿Cuál es la distancia del punto $Q(0,2,-2)$ al plano $\pi:\{(1,-1,2)+\mathbf{Gen}\{(3,2,-1),(0,1,1)\}\}\in \mathbb{R}^3$ ?

Ecuación normalizada

Para algunos ejercicios utilizaremos la siguiente definición:

Definición: Sea $ax+by+cz+d=0$ una ecuación de un plano en el espacio afín. Llamaremos ecuación normalizada a la ecuación resultado de
\[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}}(ax+by+cz+d=0)\]

Ejemplo: Sea $ax+by+cz+d=0$ la ecuación del plano afín, normalizada, que pasa por el punto P(0,1,-3) y tiene por vectores directores $\textbf{v}=[2,-1,1]$ y $\textbf{u}=[1, 2, 3]$ . ¿Cuál es el resultado, en valor absoluto, de evaluar $[x,y,z]$ por [1,1,-1]?

Ejemplo: Cuál es el producto escalar del vector [1,2,3] por el vector normal unitario del plano que pasa por los puntos $P(4,-2,3)$, $Q(2,-1,1)$ y $R(0,2,5)$?

(%i9)

P:[4,–2,3]$Q:[2,–1,1]$R:[0,2,5]$
eq:rat(determinant(matrix([x,y,z]–P,Q–P,R–P)))$
print(«Ecuación del plano 0=»,eq)$
n:[coeff(eq,x),coeff(eq,y),coeff(eq,x)]$
print(«Vector normal del plano: «,n)$
print(«Producto escalar»)$
print([1,2,3],«.»,n/sqrt(n.n),«=»,[1,2,3].n/sqrt(n.n))$

$\begin{matrix} Ecuación del plano 0= - 4 z + 12 y + 10 x - 4 \\ Vector normal del plano: [10, 12, -4] \\ Producto escalar \\ [1, 2, 3] . [\frac{5}{\sqrt{65}}, \frac{6}{\sqrt{65}}, \frac{-2}{\sqrt{65}}] = \frac{11}{\sqrt{65}} \end{matrix}$

Ejercicio: ¿Cuál es, en valor absoluto, el producto escalar del vector $[1,-1,1]$ por el vector normal unitario de la recta definida por las ecuaciones $\pi_1:-6z+9y+x-1=0$ y $\pi_2:15z-18y-4x-5=0$?

El vector normal de la recta definida por las ecuaciones $\pi_1:-6z+9y+x-1=0$ y $\pi_2:15z-18y-4x-5=0$ vendrá dado por el producto vectorial de los vectores normales de cada plano:

(%i4)

p1:[1,9,–6]$
p2:[–4,–18,15]$
eq:determinant(matrix([i,j,k],p1,p2));
vn:[coeff(eq,i),coeff(eq,j),coeff(eq,k)];

$\begin{matrix} (eq) & 18 k + 9 j + 27 i \end{matrix}$ $\begin{matrix} (vn) & [27, 9, 18] \end{matrix}$

Ahora normalizamos el vector:

(%i5)

(1/sqrt(vn.vn)).vn;

$\begin{matrix} (%o5) & [\frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}] \end{matrix}$

Por último, multiplicamos según el enunciado:

(%i6)

abs([1,–1,1].%);

$\begin{matrix} (%o6) & \frac{4}{\sqrt{14}} \end{matrix}$

Sistemas de ecuaciones

Hoy abordamos la solución de sistemas, que es el paso de las ecuaciones implícitas a ecuaciones paramétricas. Veámoslo con los siguientes ejemplos.

linsolve($[eq_1, …, eq_m], [x_1, …, x_n]$): Solves the list of simultaneous linear equations for the list of variables. The expressions must each be polynomials in the variables and may be equations.

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}2x+y-z=1 \\x-3y+2z=1 \\ -x+2y-4z=2\end{matrix}\]

El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:

Ejemplo: Cuánto suman, en valor absoluto, las coordenadas del vector director unitario de la recta afín definida por las ecuaciones implícitas\[\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ x+y-2z=1\end{matrix}\]

Ejemplo: Sea $\pi:2x-3y+z=5\in\mathbb{R}^3$ y $(a,3,1)$ perteneciente al subespacio director de $\pi$, ¿cuál es el valor de $a$?

Si el sistema no tiene solución linsolve devuelve una lista vacía. Veamos más ejemplos de su utilización.

Ejercicio: Determinar la suma de $a+b$ para que la solución sistema \[\begin{array}{l}8x-2y-z=1 \\ 9x-4y+bz=-2 \\ 2x+y+az=2\end{array}\] sea (1/3,1,-1/3)

Ejemplo: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la variedad $\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;x-2=y+3=z-1=t+2u\}$?

El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}3x-y-z+t=2 \\ x+y-2z-5t=1 \end{matrix}\]

Ejemplo: Sea $\pi:3x-y-z+t=2\in\mathbb{R}^4$ y $(a,3,2,1)$ perteneciente al subespacio director de $\pi$, ¿cuál es el valor de $a$?

Si el sistema no tiene solución linsolve devuelve una lista vacía.

Ejemplo: Determinar el núcleo de la aplicación $f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, dada por \[f(a,b,c)=\begin{bmatrix}-2c+b+a& -c-b\\ b+c & c-2b-a\end{bmatrix}\]

Área de un paralelogramo

Veamos una aplicación del determinante en el caso de un paralelogramo en el plano. Consideremos el paralelogramo dado por los puntos $P$, $Q$ y $R$, del plano afín:

Paralelogramo PQR con vectores u y v

Observemos que si $P(1,3)$, $Q(5,3)$ y $R(0,5)$, los vectores $\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = (4,0)$, y
$\vec{v} = \overrightarrow{PR} = (-1,2)$. Entonces el área del paralelogramo $PQR$ vendrá dada por
\[
\begin{vmatrix}
\vec{u}& \vec{v}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
4& -1 \\ 0 & 2
\end{vmatrix}=8.
\]

Recordad que, siempre, en valor absoluto.

Veámoslo dicho de otra forma:

Proposición: El área del paralelogramo dado por los puntos $P(p_1,p_2)$, $Q(q_1,q_2)$ y $R(r_1,r_2)$ viene dada por
\[
\mathbf{abs}\left(\begin{vmatrix}
p_1 & p_2 & 1 \\
q_1 & q_2 & 1 \\
r_1 & r_2 & 1
\end{vmatrix}\right)
\]

Corolario: El área del triángulo dado por los puntos $P(p_1,p_2)$, $Q(q_1,q_2)$ y $R(r_1,r_2)$ viene dada por
\[
\frac{1}{2}\mathbf{abs}\left(\begin{vmatrix}
p_1 & p_2 & 1 \\
q_1 & q_2 & 1 \\
r_1 & r_2 & 1
\end{vmatrix}\right)
\]

Producto mixto

Definición: El producto mixto de los vectores ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}} $, denotado por
${\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}]}$, está definido como ${\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}]={\vec {u}}\bullet ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}$

Teorema: \[{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}]={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}}\]

Interpretación geométrica: Si ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}$ son vectores tridimensionales, entonces ${\displaystyle |{\vec {u}}\bullet ({\vec {v}}\times {\vec {w}})|}$ es igual al volumen del paralelepípedo definido por ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}.}$

Ejemplo: Sean los puntos de coordenadas $O$(-1,1,3), $R$(2,-1,1), $S$(5,2,-3) y $T$(4, -1,2). ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{OR}$, $\vec{OS}$ y $\vec{OT}$

Ejercicio: Sea $f:\mathbb{R}^4\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, dada por \[f(a,b,c,d)=\begin{bmatrix}a+b-2d& a-3d\\ b+2c-2d & -d+2c-b-a\end{bmatrix}\] y $\vec{v}\in\mathbf{Ker}\,f$, entonces la suma, en valor absoluto, de las coordenadas de dicho vector normalizado es

La solución se mostrará más adelante.

L	M	X	J	V	S	D
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31