Función real de variable real

Una función real de variable real $f:D\to\mathbb{R}$ es una correspondencia de $D\subset\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ que asigna a todo $x\in D$ a lo más un número real $y=f(x)$.

Esta definición nos da paso a definir el dominio:
\[\mathcal{D}(f)=\{x\in D;\ \exists f(x)\in\mathbb{R} \} =Dom(f)\]
E imagen:
\[Im(f)=\{y\in \mathbb{R};\ \exists x\in D,\ f(x)=y \} \]

Como vemos, trabajamos sobre el conjunto de los números reales. Los números reales tienen estructura algebraica de cuerpo, lo que confiere ciertas propiedades (aquí las tenéis: Número real).

Una de las más interesantes es que satisface el axioma del supremo:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Con los números reales podemos crear sucesiones; es decir, una aplicación, $\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, dada mediante $\phi(i)=a_i$ donde $a_i$ es un número real. Normalmente mostraremos esta sucesión ordenada y la notaremos por $(a_n)_{n=0}^\infty$ o simplemente $(a_n)$.

Las sucesiones pueden ser de diversas formas, pero a nosotros nos interesan aquellas que siguen un determinado patrón.

Límites

Decimos que una sucesión de números reales, $(a_n)$, tiene por límite el número real $a$, y lo notaremos $\displaystyle\lim a_n=a$, si para todo número real positivo $\epsilon$ existe un número natural, $\eta$, a partir del cual la diferencia entre $a$ y el término de la sucesión es menor que $\varepsilon$; expresado de otro modo: \[ \forall\: \epsilon\in\mathbb{R}, \epsilon>0\;\exists\; \eta\in\mathbb{N}; \ \eta\leqslant n\Longrightarrow |a-a_n|\leqslant\epsilon \]

Límite de una función

Lo anterior se traslada fácilmente a una función:

Diremos que $\alpha\in\mathbb{R}$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ en un intervalo $I$, y lo notaremos mediante \[\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\alpha,\] si para todo $\epsilon\in\mathbb{R}$ existe $\delta\in\mathbb{R}$, tal que $|x-x_0|\leqslant \delta$ con $x\in I$ y $x\neq x_0$, cumple que $|f(x)-\alpha|\leqslant\epsilon$.

Acabamos de introducir el concepto más importante del cálculo. Como dice George Brinton Thomas, en su libro Cálculo una variable, «El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distingue al cálculo del álgebra y la trigonometría». En síntesis, el cálculo es el estudio de límites.

Tomemos ahora una función de una variable ${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ y un punto $x$ del dominio $D$ de esta función, aproximándose a $c$, pero tomando solo valores más grandes que él. Formalmente, estaríamos tomando los $x$ que verifican ${\displaystyle 0<x-c<\delta }$para ciertos $\delta$. Si la función tiende a un valor $L^+$, se dice que «existe el límite por derecha» y se denota así: \[\lim _{{x\to c^{+}}}f(x)=L^{+}\]

Tomando valores más pequeños, es decir, los $x$ tales que $0<-(x-c)<\delta $, el límite puede ser escrito como:\[\lim_{{x\to c^{-}}}f(x)=L^{-}\]

Si los dos límites anteriores son iguales: \[\lim_{{x\to c^{-}}}f(x)=\lim _{{x\to c^{+}}}f(x)=L\] entonces $L$ se puede referir como el límite de $f(x)$ en $c$. Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe.

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$

Límite de	Expresión
Una constante	$\lim _{x\to c}k=\,k,\,{\textrm {donde}}\ k\in \mathbb {R} \,$
La función identidad	$\lim _{x\to c}x=\,c\,$
El producto de una función y una constante	$\lim _{x\to c}kf(x)=\,k\lim _{x\to c}f(x)\,$
Una suma	$\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)\,$
Una resta	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)\,$
Un producto	$\lim _{x\to c}(f(x)g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)\,$
Un cociente	$\lim _{x\to c}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim _{x\to c}{f(x)}} \over {\lim _{x\to c}{g(x)}}}\,\ {\mbox{si }}\lim _{x\to c}g(x)\neq 0,$
Una potencia	${\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}=\,{\lim _{x\to c}f(x)^{\lim _{x\to c}g(x)}}\,\ {\mbox{si }}f(x)>0$
Un logaritmo	${\lim _{x\to c}\log f(x)}=\,\log {\lim _{x\to c}f(x)}$
El número e	${\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,{\lim _{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e$
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal	${\lim _{x\to c}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0$ .

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{x^2-x-12}$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to 2}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to 3}\frac{x^3-27}{{x^2-9}}$

Sin embargo, cuando $x$ tiende a $a$, $f(x)$ poco a poco se vuelve mayor, o menor, que cualquier número positivo, negativo, previamente determinado, por grande o pequeño que fuere; decimos que $f(x)$ tiende a $+\infty$, o $-\infty$.

Los conceptos de límite ya mencionados pueden extenderse de forma obvia al caso en que la variable tiende a $+\infty$ o $-\infty$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to +\infty}\left(2+\frac{1}{x^2}\right)$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3}{x^2+1}$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+x-2}{4x^3-1}$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to \infty}\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}$

Ejemplo: Determinar $\lim_{x\to 0}\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}$

Ejercicio: Para la función logística $ N(t) = \dfrac{5000}{1 + 49e^{-0.4t}} $, calcula el tamaño del inóculo inicial.

Para conocer y saber aplicar los límites, podemos consultarlo en la bibliografía o visitar el enlace que nos dice sus propiedades: Límites de funciones.

Ley de Charles y el cero absoluto(*)

En la escala Kelvin, el cero absoluto es la temperatura 0 K. A pesar de que se han obtenido temperaturas muy cercanas a 0 K en laboratorio, nunca se ha alcanzado el cero absoluto. De hecho, existen evidencias que sugieren la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto. ¿Cómo determinaron los científicos que 0 K es el “límite inferior” de la temperatura de la materia?

Veamos cómo lo hicieron. La determinación del cero absoluto proviene del trabajo del físico francés Jacques Charles (1746-1823), quien descubrió que el volumen de un gas a presión constante crece de manera lineal con respecto a la temperatura.
\[\begin{array}{l|cccc}
T & -40 & -20 & 0 & \\ \hline
V & 19.1482 & 20.7908 & 22.4334 \\ \hline
T & 20 & 40& 60& 80 \\ \hline
V & 24.0760 & 25.7186 & 27.3612 & 29.0038 \\ \hline
\end{array}\]

En la tabla siguiente se ilustra la relación entre volumen y temperatura. Para crear los valores que aparecen en la tabla, una mol de hidrógeno se mantiene a una presión constante de una atmósfera. El volumen V es aproximado y se mide en litros, y la temperatura T se mide en grados Celsius.

Empleando dichos puntos, se puede determinar que $T$ y $V$ se relacionan a través de la ecuación lineal \[V=0.08213T+22.4334\]
Mediante el razonamiento de que el volumen del gas puede tender a 0 (pero nunca ser igual o menor que cero), se puede concluir que la “temperatura mínima posible” se obtiene por medio de
\[\begin{align*}
\lim_{V\to 0^+}T &= \lim_{V\to 0^+}\frac{V-22.4334}{0.08213}\\
&=\frac{0-22.4334}{0.08213} \\
&\approx -273.15
\end{align*}\]

De tal manera, el cero absoluto en la escala Kelvin (0 K) es de aproximadamente -273.15° en la escala Celsius

(*) Extraído de Larson, Ron. Cálculo 1 de una variable / Ron Larson y Bruce H. Edwards. 9a ed., McGraw-Hill, 2010.

Continuidad

Diremos que una función definida en un intervalo real es continua en $x_0$ cuando los límites laterales son iguales y además coinciden con el valor de la función en el punto; es decir,
\[\lim_{x\to {x_0}^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to {x_0}^{+}}f(x)=f(x_0).\]

Ejemplo: Determinar la continuidad de $f(x)=\frac{x^3-27}{x^2-9}$ en el intervalo [0,4]

Observemos que

(%i2)

limit((x^3–27)/(x^2–9),x,3,minus);
limit((x^3–27)/(x^2–9),x,3,plus);

$\begin{matrix} (%o1) & \frac{9}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o2) & \frac{9}{2} \end{matrix}$

Sin embargo,
\[\lim_{x\to 3}\frac{x^3-27}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{0}{0}\]
no se puede calcular; es decir, $f(3)$ no está definido. Luego la función no es continua en $x=3$.

Ahora, podemos ver que
\[\lim_{x\to 3}\frac{x^3-27}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}=\lim_{x\to 3}\frac{(x^2+3x+9)}{(x+3)}=\frac{9}{2}.\]
Luego la función a trozos \[f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^3-27}{x^2-9}& x\neq 3\\ \frac{9}{2} & x=3\end{array}\right.\] es definida y continua en todo el intervalo.

Discontinuidades

Una función $f$ es discontinua en un punto $a$ si no es continua en ese punto. Para que una función sea continua en $a$, debe cumplir con tres condiciones específicas, las cuales, si al menos una no se cumple, resultan en una discontinuidad.

Criterios de Discontinuidad

Una función $f(x)$ es continua en un punto $a$ si se cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

$f(a)$ está definida: El punto $a$ debe pertenecer al dominio de la función, es decir, existe un valor real para $f(a)$.

$ \lim_{x \to a} f(x) $ existe: Los límites laterales, $ \lim_{x \to a^-} f(x) $ y $ \lim_{x \to a^+} f(x) $, deben ser iguales y finitos.

$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $: El valor del límite en $a$ debe ser igual al valor de la función en $a$.

Si una función no satisface una o más de estas condiciones en un punto $a$, se considera que tiene una discontinuidad en ese punto.

Ejemplo: Determinar la continuidad de $f(x)=\frac{x^2+x-2}{(x-1)^2}$ en el intervalo [0,2]

(%i2)

limit((x^2+x–2)/(x–1)^2,x,1,minus);
limit((x^2+x–2)/(x–1)^2,x,1,plus);

$\begin{matrix} (%o1) & - \infty \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o2) & \infty \end{matrix}$

En este caso, los límites laterales no existen, de modo que la función no podría coincidir con sus valores en ningún caso.

Tipos de Discontinuidades

1. Discontinuidad Evitable

Este tipo de discontinuidad ocurre cuando el límite de la función en el punto existe y es un número real, pero la función no está definida en ese punto, o su valor es diferente al del límite.

Se puede «evitar» la discontinuidad redefiniendo la función en el punto $a$ para que su valor sea igual al límite.

Una función presenta una discontinuidad evitable(o removible) si $ \lim_{x \to a} f(x) = L $, pero $ f(a) $ no está definida o $ f(a) \neq L $.

Ejemplo: Estudiar las discontinuidades la función $ f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} $

2. Discontinuidad de Salto

Se presenta cuando los límites laterales en el punto $a$ existen, pero tienen valores finitos diferentes. La gráfica de la función presenta un «salto finito» en el punto. Por abreviar, a las discontinuidades de salto finito las llamaremos simplemente de salto.

Una función presenta una discontinuidad de salto finito si $ \lim_{x \to a^-} f(x) = L_1 $ y $ \lim_{x \to a^+} f(x) = L_2 $, con $ L_1 \neq L_2 $.

Ejemplo: Estudiar las discontinuidades la función de Heaviside (o función escalón):
\[ H(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \]

3. Discontinuidad Infinita

Este tipo de discontinuidad de salto ocurre cuando al menos uno de los límites laterales en el punto $a$ es infinito ($ \infty $ o $ -\infty $). La gráfica de la función tiene una asíntota vertical en $x=a$.

Una función presenta una discontinuidad de salto infinita si $ \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty $ o $ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty $.

Por abreviar, a las discontinuidades de salto infinito las llamaremos simplemente de discontinuidad infinita.

Ejemplo: Estudiar las discontinuidades la función $f(x) = \frac{1}{x}$

Ejemplo: Determinar la discontinuidad de $f(x)=\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}$

Ejemplo: Determinar la continuidad de \[f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x & \mbox{si } x\leq 0\\x^2 & \mbox{si } 0<x<1\\2-x & \mbox{si } x\geq 1\\\end{array}\right.\]

Propiedades de las funciones continuas

Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en el mismo dominio; entonces
\[\begin{array}{rl}
\lambda f\pm \mu g & \mbox{es continua}, \forall \;\lambda,\mu\in\mathbb{R} \\ f\cdot g & \mbox{es continua}, \\ \dfrac{f}{g}& \mbox{es continua en cada } x\in\mathcal{D}\;|\; g(x)\neq 0 \\ \end{array}\]

Podemos ver más propiedades de las funciones continuas en la bibliografía referenciada y en el enlace Función continua.

Continuidad y el Teorema de Bolzano

En el análisis matemático, la continuidad de una función en un intervalo cerrado es una propiedad fundamental que nos permite garantizar la existencia de soluciones a diversas ecuaciones. Uno de los resultados más intuitivos e importantes derivados de la continuidad es el Teorema de Bolzano (caso particular del Teorema del Valor Intermedio).

Enunciado del Teorema de Bolzano

Sea $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $ una función real que satisface las siguientes hipótesis:

$ f $ es continua en el intervalo cerrado $ [a, b] $.

$ f(a) $ y $ f(b) $ tienen signos opuestos, es decir, $ f(a) \cdot f(b) < 0 $.

Entonces, existe al menos un punto $ c \in (a, b) $ tal que:

\[ f(c) = 0 \]

Geométricamente, esto indica que si la gráfica de una función continua pasa de estar por debajo del eje horizontal a estar por encima (o viceversa), necesariamente debe cortar al eje $ Ox $ en al menos un punto dentro del intervalo abierto $ (a, b) $.

Ejemplo: Supongamos que la tasa neta de cambio de concentración de un metabolito en un cultivo bacteriano en función del tiempo $ t $ (en horas) viene dada por la función:

\[ f(t) = t^3 + 2t – 5 \]

Demuestra que existe al menos un instante de tiempo $ t \in (1, 2) $ en el cual la tasa neta de cambio es exactamente igual a cero ($ f(t) = 0 $).

Aplicación

En el escalado de bioprocesos industriales, el modelado matemático mediante funciones continuas permite predecir el comportamiento estacionario de los cultivos, evaluar la sensibilidad de las rutas metabólicas ante inductores enzimáticos y detectar transiciones críticas en la respiración celular.

Límites de funciones de una variable real en la dinámica de biorreactores

Bibliografía

Capítulo 1 y 2 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.

Ejercicio: La tasa de consumo de oxígeno de un cultivo es \[ Q(S) = \begin{cases} aS + 1 & \text{si } 0 \le S < 3 \\ \dfrac{S^2 + 2}{S – 1} & \text{si } S \ge 3 \end{cases} \] Determina el valor de $a$ para que $Q(S)$ sea continua en $S = 3$.

La solución se mostrará más adelante.