Sistemas de ecuaciones
En pasados días vimos cómo resolvíamos sistemas de ecuaciones y, en particular, el problema de mínimos cuadrados mediante matrices. Hoy abordaremos estos problemas utilizando maxima.
- linsolve(\([eq_1, …, eq_m], [x_1, …, x_n]\)): Solves the list of simultaneous linear equations for the list of variables. The expressions must each be polynomials in the variables and may be equations.
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}2x+y-z=1 \\x-3y+2z=1 \\ -x+2y-4z=2\end{matrix}\]
El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}3x-y-z+t=2 \\ x+y-2z-5t=1 \end{matrix}\]
Mínimos cuadrados
La determinación del cero absoluto proviene del trabajo del físico francés Jacques Charles (1746-1823), quien descubrió que el volumen de un gas a presión constante crece de manera lineal con respecto a la temperatura.
\[\begin{array}{l|cccc}
T & -40 & -20 & 0 & \\ \hline
V & 19.1482 & 20.7908 & 22.4334 \\ \hline
T & 20 & 40& 60& 80 \\ \hline
V & 24.0760 & 25.7186 & 27.3612 & 29.0038 \\ \hline
\end{array}\]
En la tabla se observa la relación entre volumen y temperatura. Para crear los valores que aparecen en la tabla, una mol de hidrógeno se mantiene a una presión constante de una atmósfera. El volumen V es aproximado y se mide en litros, y la temperatura T se mide en grados Celsius.
Empleando dichos puntos, se puede determinar que \(T\) y \(V\) se relacionan a través de la ecuación lineal. Veamos cómo lo hizo.
Tratamos de buscar una relación \(V=aT+b\) y para ello consideramos el sistema:
\[\begin{align*}
-40a+b&= 19.1482 \\
-20a+b&= 20.7908\\
0a+b&= 22.4334\\
20a+b&= 24.0760\\
40a+b&= 25.7186\\
60a+b&= 27.3612\\
80a+b&= 29.0038
\end{align*}\]
Es fácil observar que el sistema no tiene solución, pero podemos encontrar la solución por mínimos cuadrados, que sería la más cercana a una posible solución.
Te toca: ¿cómo la calcularías?
Una vez calculada la función lineal, solo resta saber cuánto nos equivocamos con nuestra solución aproximada por mínimos cuadrados. De nuevo, te toca resolverlo.
Autovectores y autovalores
Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 2\\ -3 & -2 & -1\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 3 & 0\\
-6 & -5 & 0\\ 3 & 3 & 1\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Determinar los autovectores de la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 0 & -3\\
3 & -1 & 3\\
6 & 0 & 5\end{bmatrix}\] correspondientes a su autovalor real.
Ejercicio: Dados los autovectores de la matriz \[\begin{bmatrix}-4 & 0 & -3\\
3 & -1 & 3\\
6 & 0 & 5\end{bmatrix}\] del mayor autovalor real, ¿cuál es el producto escalar de [1,1,1] por uno de dichos vectores unitarios?.
Ejercicio: Sea \(v\) el autovector de mayor norma de los autovectores de los autovalores reales de la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2\\ -3 & -2 & -1\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor de \([1,5,6].v/\| v\|\)?
Funciones
Una función ordinaria es aquella que ha sido construida mediante cualquiera de los métodos define o := y que es invocada utilizando paréntesis.
Ejemplo: Determina la suma de los valores de la función \(f(x)=x\,e^{1-x^2}\) para \(x_i=\frac{i}{4}\) para \(i\in\{1,\ldots,5\}\)
- define(\(f(x_1,\ldots, x_n)\), expr): Define una función de nombre \(f\) con argumentos \(x_1,\ldots, x_n\) y cuerpo expr. define evalúa siempre su segundo argumento, a menos que se indique lo contrario con el operador de comilla simple.
Esta función la utilizaremos más adelante.
Gráfica de una función
- wxplot2d(expresión, [variable,mínimo,máximo],opciones): La función wxplot2d representa uno o más gráficos en dos dimensiones. Las expresiones o nombres de funciones que se utilicen para definir curvas deben depender todas ellas de una única variable var, siendo obligatorio utilizar x_range para nombrar la variable y darle sus valores mínimo y máximo usando la siguiente sintaxis: [variable, min, max].
Ejemplo: Dibuja la función \(f(x)=x\,e^{1-x^2}\) para \(x\in[-3,3]\)
