El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo.
Un espacio vectorial, \(V\), sobre un cuerpo \(\mathbb{K}\), será una terna, \((V,+,\cdot)\), que verifica:
- \((V,+)\) es un grupo conmutativo:
- \(+\) es asociativa: \(\forall a,b,c\in V;\ (a+b)+c=a+(b+c)\)
- Exite \(e\in V\), tal que para todo \(a\in V\), es \(e+ a=a+ e=a\)
- Para todo \(a\in V\), existe \(b\in V\) tal que \(b+a=a+ b=e\)
- Existe una aplicación, \(\cdot\,:\mathbb{K}\times V\to V\) (denominada producto por escalar), que cumple
- \( a\cdot (b\cdot \mathbf {v} )=(ab)\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} \in V\)
- Si 1 es el elemento neutro para la multiplicación en \(\mathbb{K}\), entonces \(1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V\)
- \(a\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(a\cdot \mathbf {v} )+(a\cdot \mathbf {w} )\quad \forall a\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V\)
- \((a+b)\cdot \mathbf {v} =(a\cdot \mathbf {v} )+(b\cdot \mathbf {v} )\quad \forall a,b\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} \in V\)
Como ejemplo de los espacios vectoriales con los que trabajaremos, serán los \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial(\(\mathbb{R}\)-e.v.):
- \(\mathbb{R}^n\), el espacio vectorial de los vectores de \(n\) componentes.
- \(\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})\), el espacio vectorial de las matrices reales de orden \(n\times m\).
- \(\mathbb{R}[X]\), el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y variable \(X\).
Nos manejaremos con más asiduidad con los subespacios vectoriales.
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), y \(U\subset V\) no vacío; \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si:
- \(\forall \mathbf {v},\mathbf {u} \in U\), \(\mathbf {v}+\mathbf {u} \in U\)
- \(\forall \mathbf {u}\in U\), \(\forall a\in \mathbb{K}\), \(a\mathbf {u}\in U\)
Como ejemplo de subespacios vectoriales con los que trabajaremos, serán los \(\mathbb{R}\)-sube.v.:
- \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), el subespacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden \(n\).
- \(\mathbb{R}_n[X]\), el subespacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y variable \(X\) de grado menor o igual a \(n\).
También haremos hincapié en:
- Sistema generador
- Combinación lineal
- Dependencia lineal
- Base
Subespacio generador
El conjunto \[\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>=\mbox{Gen}\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}=\{\lambda_1\vec{v}_1+\ldots+\lambda_n \vec{v}_n;\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{K}\},\] lo denominamos sistema generador y es un subespacio vectorial.
Ejercicio: Sea \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) el conjunto de las matrices de orden 2, determinar un sistema generador.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\), determinar un sistema generador.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});a=b,\ c=d\right\}\), determinar un sistema generador.
Combinación lineal
Nos planteamos si un vector cualquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjunto de vectores del sistema.
Cualquier vector perteneciente a un sistema generador, \(\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>\) decimos que es combinación lineal de los vectores del sistema. En general, un vector \(\vec{v}\) decimos que es combinación lineal de un conjunto de vectores \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\), si \[\vec{v}\in \mbox{Gen}\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}\]
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V\), decimos que es libre si ningún vector es combinación vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los únicos escalares, \(k_1,k_2,…,k_n\in\mathbb{K}\), tales que justifican,\[k_1\vec{v}_1+\cdots +k_n \vec{v}_n=\vec{0},\] son \(k_1=k_2=\ldots=k_n=0\).
Indistintamente decimos sistema libre o vectores linealmente independientes. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos linealmente dependiente(l.i.); es decir, algún vector es combinación lineal de los otros.
Ejercicio: Determinar si las matrices \(\begin{bmatrix}1&2\\-2&1\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0&-3\\ 1&1\end{bmatrix}\) y \(\begin{bmatrix}1&0\\ -1&2\end{bmatrix}\), son l.i.
Bases
Dentro de los espacios vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos; los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que además son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos base de un espacio vectorial: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es
- sistema generador, y
- linealmente independiente
Al número de vectores de una base lo denominamos dimensión del espacio vectorial. Recordemos que siempre estamos tratando con \(\mathbb{K}\)-e.v finitamente generados.
Uno de los principales resultados es que en todo \(\mathbb{K}\)-e.v finitamente generado podemos encontrar una base. Así, pues, en un \(\mathbb{K}\)-e.v finitamente generado de dimensión \(n\) un conjunto de \(n\) vectores linealmente independientes siempre es base. Además, la base no tiene por qué ser única.
Como ejemplo pondremos las bases canónicas de los sube.v. con lo que trabajaremos.
Ejercicio: Sea \(\mathbb{R}_3[X]\) el conjunto de los polinomios reales de grado 3 o menos; determinar una base de este espacio vectorial.
Coordenadas de un vector
En adelante, trabajaremos con espacios vectoriales finitamente generados; es decir, tienen una base con un número de vectores finito.
Si \(B\) es una base de \(\mathcal{V}\) e.v.f.g. diremos \(\mathbf{dim}(\mathcal{V})=|B|\).
Como base, cualquier vector del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal de manera única respecto de los vectores de la base.
Si \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\) es una base de \(\mathcal{V}\) e.v.f.g., para cualquier vector \(\vec{v}\in\mathcal{V}\), \(\vec{v}\) se puede poner como combinación lineal de manera única respecto de los vectores de \[\vec{v}=\lambda_1\vec{v}_1+\lambda_2\vec{v}_2+\ldots+\lambda_n\vec{v}_n.\] A los escalares \(\lambda_1,\ \lambda_2,\ldots,\ \lambda_n\) se les denomina coordenadas de \(\vec{v}\) respecto de la base \(B\).
Proposición: Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V\), el número de vectores linealmente independientes es el mismo que el rango de la matriz formada por las coordenadas de dichos vectores respecto de una base del espacio vectorial.
Ejercicio: Sean \(p(X)=1-X-X^2\), \( q(X)=3-2X+5X^3\), \( r(X)=X^2-3X^3\in\mathbb{R}_3[X]\). Determinar si \(r(X)\) es combinación lineal de \(p(X)\) y \(q(X)\).
Corolario: Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V\), y \(M\), la matriz que tiene por filas los vectores \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\), y sea \(E\) la matriz escalonada mediante operaciones elementales, \(M\sim E\), entonces los vectores correspondientes a las filas no nulas de \(E\) son linealmente independientes, y las filas nulas de \(E\) se corresponden con los vectores linealmente dependientes.
Ejercicio: Sean las matrices \(\begin{bmatrix}1&2\\-2&1\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0&-3\\ 1&1\end{bmatrix}\) y \(\begin{bmatrix}1&0\\ -1&2\end{bmatrix}\). ¿Cuál de las siguientes matrices es combinación lineal de ellas?
\[A:\begin{bmatrix}5&-7\\ 8&7\end{bmatrix}\ B:\begin{bmatrix}5&7\\ -8&7\end{bmatrix}\ C:\begin{bmatrix}5&7\\ 8&-7\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Sean los vectores \(\mathbb{R}_3[X]\), \(4+x-x^2+x^3\), \(-1+x-x^2+2x^3\) y \(x-x^3\). ¿Son linealmente independientes?
Bibliografía
- Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son falsas? (Nota, pueden haber varias). Consideremos el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden dos, \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). |