Denominamos esta parte autovectores y autovalores, también conocidos como vectores y valores propios de una matriz. Su definición es simple:
Dada una matriz, \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), real porque es el principal cuerpo que trataremos, decimos que \(\vec{v} \in\mathbb{R}^n\) es un autovector, o vector propio de la matriz, si \[A\vec{v}=\lambda\vec{v},\] siendo \(\lambda\in\mathbb{R}\). Al real \(\lambda\) se le denomina autovalor o valor propio de la matriz.
Nuestro principal propósito es saber determinar los autovectores y autovalores de una matriz real cuadrada.
Para conseguir nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante \[det(A-\lambda\, I),\] siendo \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matriz cuadrada y \(I\) la indentidad en \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
El polinomio \(p(\lambda) = det(A -\lambda\,I)\) es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico (soluciones de la ecuación característica).
Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]
Tenemos que determinar
\[\begin{align*}\mathbf{det}(A-\lambda I_3)&=\begin{vmatrix}-\lambda+5 & 0 & 4\\
4 & -\lambda-1 & 4\\
-8 & 0 & -7-\lambda\end{vmatrix}\\ &=-\lambda^3-3\lambda^2+\lambda+3\\ &=(\lambda+3)(\lambda+1)(\lambda-1)\end{align*}\]
Por tanto, los autovalores son \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=-1\) y \(\lambda_3=1\).
Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 2\\ -3 & -2 & -1\end{bmatrix}\]
Cada valor propio tiene asociado un conjunto \(C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^n\}\), que se determina resolviendo el sistema homogeneo \((A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}\). Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz, que veremos más adelante.
Ejercicio: Determinar los autovectores del autovalor \(\lambda=-3\) de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]
Para calcular los autovectores del autovalor \(\lambda=-3\), planteamos el sistema
Luego, \(x=-\frac{1}{2}\mu\), \(y=-\mu\) y \(z=\mu\), por tanto el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=-3\) es \(\mathcal{C}_{-3}=\mathbf{Gen}\{[-1,-2,2]\}\)
Ejercicio: Determinar los autovectores del autovalor \(\lambda=-1\) de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]
Para calcular los autovectores del autovalor \(\lambda=-1\), planteamos el sistema
El único autovalor real es \(\lambda=-1\), luego el autovector será la base del subespacio dado por \[\begin{bmatrix}5 & 0 & -3\\ 3 & 0 & 3\\ 6 & 0 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]
Mediante operaciones elementales, el sistema anterior es equivalente a \[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]
Luego, \(x=0\) y \(z=0\), por tanto el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=-1\) es \(\mathcal{C}_{-1}=\mathbf{Gen}\{[0,1,0]\}\)
Ejercicio: Dados los autovectores de la matriz \[\begin{bmatrix}-4 & 0 & -3\\
3 & -1 & 3\\
6 & 0 & 5\end{bmatrix}\] del mayor autovalor real, ¿cuál es el producto escalar de [1,1,1] por uno de dichos vectores unitarios?.
El autovalor real mayor es \(\lambda=2\), luego los autovectores serán la base del subespacio dado por \[\begin{bmatrix}-6 & 0 & -3\\ 3 & -3 & 3\\ 6 & 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]
Mediante operaciones elementales, el sistema anterior es equivalente a \[\begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & -1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]
Luego, \(x=\mu\frac{-1}{2}\), \(y=\mu\frac{1}{2}\) y \(z=\mu\), por tanto, el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=2\) es \(\mathcal{C}_{2}=\mathbf{Gen}\{[-1,1,2]\}\)
Ahora solo tenemos que calcular \[\frac{1}{\|[-1,1,2]\|}([1,1,1]\bullet[-1,1,2])=\frac{\sqrt{6}}{3}\]
A continuación, un documento con el planteamiento de un problema aplicado a la biotecnología (Dinámica Poblacional en Fotobiorreactores), donde buscamos predecir la densidad poblacional total tras \(k = 5\) días de cultivo de una población de microalgas, junto con su solución detallada paso a paso: