ALG: Determinantes, factorización LU y espacios vectoriales con maxima
Posted on 19 de octubre de 2026
Repaso de la inversa y pseudoinversa de una matriz
El procedimiento común para el cálculo de la inversa de una matriz (en caso de existir) puede plantearse como el algoritmo dado mediante transformaciones elementales:
\[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, A^{-1}].\]
Ejercicio: Calcula mediante operaciones elementales la inversa de la matriz \[\begin{bmatrix}3 & 0 & -1 & 1\\ -2 & 3 & 2 & 2\\ 4 & 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -3 & 0\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 1 & -1 & -i\\
0 & i & 1 & 1 \\
0 & 0 & i & -1 \\
0 & 0 & 0 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto suman los elementos de la cuarta columna de la inversa?
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1 &1
\end{bmatrix},\) calcular su pseudoinversa por la derecha.
Ejercicio: Sea \(A\)=[[1,1],[1,0],[-1,0]], y \(L\) la pseudoinversa tal que \(LA=I\). ¿Cuánto suman los elementos de la segunda fila de \(L\)?
Inversa en maxima
Hemos visto cómo calcular la inversa mediante operaciones elementales; así practicamos el uso de maxima y las matrices. Sin embargo, tenemos un comando que nos lo calcula directamente:
invert(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa.
invert(\(M\)),detout: dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa con el determinante fuera.
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)=[[-1,1,3],[1,-2,0],[1,-2,1],[1,0,1]], estudiar si tiene pseudoinversa y determinarla en su caso
Ejercicio: Cuál es el rango de la matriz según el valor del parámetro \(\alpha\) \[\begin{bmatrix}
\alpha & 1 & 1 & 2 \\
2 & \alpha & \alpha^2 &1\\
2 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Sea \(A\)=[ [1,6,7,0,0,0,0], [-3,-1,1,0,0,0,0], [0,4,-2,0,0,0,0],[1,1,0,5,-1,0,0], [0,3,7,-2,3,0,0], [-2,1,4,-2,-1,6,-5], [6,0,0,2,4,3,1]]. Calcular por bloques el valor de su determinante.
Por tanto, el determinante será el producto de los determinantes de los bloques de la diagonal.
(%i5)
determinant(D1)·determinant(D2)·determinant(D3);
\[-33306\]
Comprobémoslo
(%i6)
determinant(A);
\[-33306\]
Factorización LU con maxima
Recordemos que las matrices L y U son únicas si la matriz no es singular (determinante distinto de cero), en contrario, pueden no ser únicas. Un ejemplo es cuando nos aparece un cero en la diagonal principal de la matriz U, en el proceso \[[I\, |\, A] \sim [L^*\, |\, U].\] En tal caso debemos permutar las filas de la matriz \(A\) para que no ocurra. Pero si lo hacemos, debemos observar que ahora buscaremos una factorización de \(PA\) no de \(A\). Es decir, \[PA=LU.\]
Es posible que proceso de factorización de la matriz \(PA\) nos lleve a la aparición de otro cero en la diagonal del escalonamiento de U; en ese caso, deberemos hacer otra permutación. De este modo, la matriz \(P\) puede ser el resultado de un producto de matrices permutación \(P=P_1P_2\cdots P_k\).
Recordemos que, si los menores principales de \(A\) son no nulos, el procedimiento nos lleva a una factorización. De este modo, podemos buscar la permutación, o producto de permutaciones, adecuada de modo que los menores principales de \(PA\) sean no nulos y nos garanticen el éxito de la factorización.
Ejercicio: Dada la matriz [[1,2,3],[-3,-4,13],[2,1,-5]] determinar su factorización LU.
Uno de los usos está en la posibilidad de resolver sistemas de ecuaciones. Consideremos queremos resolver el sistema de ecuaciones \[\textbf{A}x=\textbf{b},\] donde \(\textbf{A}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\). Si conseguimos una factorización \[\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U},\] donde \(\textbf{L}\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})\), y, \(\textbf{U}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\), resultará
\[\textbf{A}x=(\textbf{L}\textbf{U})x=\textbf{L}(\textbf{U}x)=\textbf{b}.\]
Para resolver el problema podemos afrontar la estrategia de resolver primero:
\[\textbf{L}y=\textbf{b},\] para después
\[\textbf{U}x=\textbf{y}.\]
Como ambas matrices \(\textbf{L}\) y \(\textbf{U}\) son triangulares, su solución es fácil mediante sustitución.
Ejercicio: Utilizar la factorización \(\textbf{LU}\) anterior para resolver el sistema que permita resolver el sistema \(Ax=\textbf{b}\) donde \[A=\begin{bmatrix}3 & 2 & -1\\ 2 & 5 & 6\\ -3 & -2 & 7 \end{bmatrix},\ \textbf{b}=\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ -2\end{bmatrix}\]
Estará en breve. Hoy no, mañana.
Espacios vectoriales
Compleción de un conjunto l.i. a una base
A veces, necesitamos completar un conjunto l.i. de vectores para que formen una base de todo el espacio vectorial. Para conseguirlo podemos obrar de la siguiente forma.
Consideremos \(\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_m\}\) un conjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial, \(\mathcal{V}\), y \(\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots,\textbf{e}_n\}\) una base de \(\mathcal{V}\). Sea \(A\) la matriz cuyas filas son los vectores \(\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots\), \(\textbf{v}_m\), y \(B\) la matriz de los vectores de la base, \(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots\), \(\textbf{e}_n\). Entonces realizamos operaciones elementales de forma que
\[\left[\frac{A}{B}\right] \sim \left[\frac{E}{B^\prime}\right]\] donde \(E\) es una matriz escalonada y \({B^\prime}\) una matriz escalonada siguiente a \(E\), entonces los \(n-m\) escalones no nulos de \({B^\prime}\) nos determinan los vectores que completan la base del espacio vectorial.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});a=b+c,\ d=2c\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial.
Necesitamos una base de \(s\) y para ello suficiente con observar que si \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in S\) es:\[ \begin{bmatrix}a&b \\c&d\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b+c&b\\ c&2c\end{bmatrix}= b\begin{bmatrix}1&1\\ 0&0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1&0\\ 1&2\end{bmatrix}\]
Luego \[\left\{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0\\1&2\end{bmatrix}\right\}\] es una base del subespacio. Si consideramos la base canónica de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) podemos formar la matriz
\[\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 1&0&1&2\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_2-f_1}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_3-f_1}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&-1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\]
\[\overset{f_3-f_2}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_4+f_2}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&1&2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_4+f_3}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\]
\[\overset{f_4\leftrightarrow f_5}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_5\leftrightarrow f_6}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\overset{f_4+ f_3}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&0&-2\\0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\]
Por comodidad, podríamos permutar las filas 4 y 5 y tendríamos las cuatro primeras filas linealmente independientes. Luego \[\left\{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0\\1&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\-1&-2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}\right\}\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{a+bX+cX^2+dX^3+eX^4\in\mathbb{R}_4[X];b=a-d,\ c=e-2d\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial \(\mathbb{R}_4[X]\).
Primero debemos sacar una base:
\[S=\left\{a+bX+cX^2+dX^3+eX^4\in\mathbb{R}_4[X];b=a-d,\ c=e-2d\right\}=\] \[=\left\{a+(a-d)X+(e-2d)X^2+dX^3+eX^4;a,d,e\in\mathbb{R}\right\}\]
Luego \[a+(a-d)X+(e-2d)X^2+dX^3+eX^4=a(1-X)+d(-X-2X^2+X^3)+e(X^2+X^4).\] Es decir,
\[S=\mathbf{Gen}\left\{1-X,-X-2X^2+X^3,X^2+X^4\right\}\]
Pasémoslo a sus vectores de coordenadas y realicemos el proceso de completación.
Aquí podemos parar, pues los cinco primeros vectores son l.i.; es decir, una base de \(\mathbb{R}^4\). Por tanto, para completar la base solo necesitamos los dos vectores que continúan a los que tenemos: \[\left\{1-X,-X-2X^2+X^3,X^2+X^4, X^3+2X^4, -X^4\right\}\]
La complementación que acabamos de realizar se fundamenta en el siguiente teorema:
Teorema: Sea \(S\) un subespacio vectorial de un espacio vectorial \(V\), finitamente generado (e.v.f.g). Si \(B_S\) es una base de \(S\), existen \(\{u_1,\ldots,u_r\}\subset V-B_S\), de modo que \(B_S\cap \{u_1,\ldots,u_r\}\) es una base de \(V\).
Así podemos dar la siguiente definición:
Definición: Sea \(S\) un subespacio vectorial de un espacio vectorial \(V\), e.v.f.g. Se llama subespacio vectorial suplementario de \(S\), con base \(B_S\), al subespacio generado por los vectores \(\{u_1,\ldots,u_r\}\subset V-B_S\), tales que \(B_S\cap \{u_1,\ldots,u_r\}\) es una base de \(V\).
Observar que \[S+\mathbf{Gen}\{u_1,\ldots,u_r\}=V\]
Se dice que la suma anterior es directa \[S\oplus\mathbf{Gen}\{u_1,\ldots,u_r\}=V,\] cuando para cada \(v\in V\) existen dos únicos \(s\in S\) y \(u\in \mathbf{Gen}\{u_1,\ldots,u_r\}\), tales que \[s+u=v.\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\subset\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), obtener una base para su suplementario.
Ejercicio: Dada la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X]\) dada por \[\forall p(X)\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=p(X)-\frac{d}{dX}p(X),\] y \(M_f\) su matriz asociada respecto de la base \(B=\{2+X-X^2,2X-1,1+3X^2\}\). ¿Cuál es el valor de \(\mathbf{tr}(M_fM_f^t)\) ?
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C).
Como \[\forall p(X)\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=p(X)-\frac{d}{dX}p(X),\]
aplicamos cada uno de los polinomios de \(B=\{p=2+X-X^2,q=2X-1,r=1+3X^2\}\) tendremos
\[f(p)=-{{X}^{2}}+3 X+1\operatorname{,}f(q)=2 X-3\operatorname{,}f(r)=3 {{X}^{2}}-6 X+1 \]
Ahora solo tenemos que colocar las coordenadas en columnas:
\[M_f\begin{bmatrix}1 & -3 & 1\\
3 & 2 & -6\\
-1 & 0 & 3\end{bmatrix}\]
Resolvemos el ejercicio
\[\begin{bmatrix}1 & -3 & 1\\
3 & 2 & -6\\
-1 & 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 & -1\\
-3 & 2 & 0\\
1 & -6 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 & -9 & 2\\
-9 & 49 & -21\\
2 & -21 & 10\end{bmatrix}\]
Así la traza es 70.