MathBio: Aplicaciones de las derivadas parciales

Hoy vamos a ver aplicaciones importantes de las derivadas parciales:

Derivación implícita

Consideremos una ecuación que define a \(y\) en forma implícita; es decir, \(F(x, y)=0\) es una función implícita en cierta región de \(\mathbb{R}^2\) entre las variables \(x\) e \(y\). Es fácilmente derivable utilizando la derivación implícita: \[\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0,\] si \(\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0\), tendremos \[\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial_x F}{\partial_y F },\]
con siempre que \(\partial_y F\neq 0\).

Ejemplo: Sea \(x^2-xy+2y^3=0\), ¿cuál es el valor de \(y^\prime(x_0)\) en (1,-1)?

Solución:

Ejemplo: Sea \(f(x,y)=\frac{x}{(x+y)^2}\). ¿Cuánto vale \(\frac{dy}{dx}(1,0)\)?

Solución:

En el caso \(F(x, y, f(x, y)) = 0\) si \(z = f(x, y)\) define una función implícita para \(z\) en términos de \(x\), \(y\) entonces podemos calcular sus derivadas parciales de la siguiente manera, usando la regla de la cadena
\[\frac{\partial F}{\partial x }\ \frac{\partial x}{\partial x }+
\frac{\partial F}{\partial y }\ \frac{\partial y}{\partial x }+
\frac{\partial F}{\partial z }\ \frac{\partial z}{\partial x }=0\Rightarrow \]
\[\frac{\partial F}{\partial x }\ \frac{\partial x}{\partial x }+
\frac{\partial F}{\partial z }\ \frac{\partial z}{\partial x }=0\]
ya que \(\frac{\partial y}{\partial x }=0\). Luego
\[\frac{\partial z}{\partial x }= -\frac{\partial_x F}{\partial_z F },\]
siempre que \(\partial_z F\neq 0\).

Ejemplo: Sea \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3\), ¿cuál es el valor de \(\frac{\partial z}{\partial y}(1,1,1)\) ?

Solución:

Recta tangente a una curva en \(\mathbb {R} ^{2}\)

Atendiendo lo que hemos visto anteriormente, si \(F(x,y)=0\) representa una curva diferenciable en \(\mathbb {R} ^{2}\), la recta tangente en un punto \((x_0,y_0)\in\mathbb {R} ^{2}\) de la curva vendrá dada por
\[[\partial_xF(x_0,y_0)\ \partial_yF(x_0,y_0)]\begin{bmatrix} x-x_0\\ y-y_0 \end{bmatrix}=0\]
que es lo mismo que \[ \left ( y-y_0 \right )=-\left ( \frac{{\partial_x F(x_0,y_0)}}{\partial_y F(x_0,y_0)} \right )\left ( x-x_0 \right ).\]

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva \(xy-y^2-2y^3=0\), en el punto (1,-1)

Solución:

Observar que si \(y=f(x)\); es decir, \(F(x,y)=F(x,f(x))=0\), es una función explícita, entonces la expresión anterior es la misma que la conocida \[ \left ( y-y_0 \right )=-\left ( \frac{{d f}}{dx}(x_0) \right )\left ( x-x_0 \right ).\]

Ejemplo: Sea \(\mathbf{T}(x)\) la recta tangente a \(x^{1/2} +y^{1/2} = 4\) en (4, 4), ¿cuánto es \(\mathbf{T}(-1)\)?

Solución:

Ejemplo: Sea \(\mathbf{T}(x)\) la recta tangente a \(x^2 +3xy+y^2 = 5\) en (1, 1), ¿cuánto es \(\mathbf{T}(-1)\)?

Solución:

Ejemplo: Cuántos puntos de la curva \(x^2y^2+xy=2\) cumplen que la pendiente de la recta tangente es -1.

Solución:

Ejemplo: En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje \(y\) y una sombra creada por la región elíptica \(x^2+4y^2\leq 5\). Si el punto (-5, 0) está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje \(x\) está colocada la lámpara?

Solución:

Diferencial Total

La diferencial total es un concepto central del cálculo multivariable que extiende la noción de diferencial de una función de una sola variable al caso de funciones de dos o más variables independientes.

El propósito fundamental de la diferencial total es estimar o aproximar la variación global que experimenta una función $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ cuando todas sus variables independientes sufren cambios muy pequeños simultáneamente.

En el contexto de la Biotecnología, la diferencial total es una herramienta clave para:

• Análisis de propagación de errores: Determinar cómo las imprecisiones o errores de medición en variables de entrada (temperatura, pH, concentración de sustrato, caudal) afectan la incertidumbre final en un parámetro calculado (como la tasa de producción de biomasa o el rendimiento enzimático).
• Aproximación lineal: Reemplazar localmente una función multivariable no lineal y compleja por una función lineal simple (el plano tangente), facilitando cálculos rápidos del cambio relativo.

Para definir y calcular la diferencial total empleamos las siguientes herramientas:

1. Derivadas Parciales: Miden la sensibilidad o tasa de cambio de la función con respecto a una sola variable mientras las demás permanecen constantes ($\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$).
2. Diferenciales de las Variables Independientes ($dx, dy, dz$): Representan los cambios o incrementos infinitamente pequeños (o pequeñas variaciones experimentales $\Delta x, \Delta y$) en cada variable de entrada.
3. Criterio de Diferenciabilidad: Garantiza que la función sea lo suficientemente «suave» (habitualmente exigiendo que sus derivadas parciales existan y sean continuas) para que la aproximación lineal sea válida.

Formulación Matemática

Para una función de dos variables $z = f(x, y)$, la diferencial total $dz$ se expresa como:

$$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$

Para una función de tres variables $w = f(x, y, z)$, se extiende linealmente:

$$dw = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz$$

Ejemplo Ilustrativo

Consideremos un biorreactor cilíndrico donde el volumen de cultivo líquido está dado por $V(r, h) = \pi r^2 h$, siendo $r$ el radio del tanque e $h$ la altura del líquido.

Si al tomar lecturas del sensor cometemos pequeños errores de medición $dr$ en el radio y $dh$ en la altura, podemos estimar el error en el cálculo del volumen mediante la diferencial total:

$$dV = \frac{\partial V}{\partial r} dr + \frac{\partial V}{\partial h} dh$$

Calculando las derivadas parciales de $V$:

* $\frac{\partial V}{\partial r} = 2\pi r h$
* $\frac{\partial V}{\partial h} = \pi r^2$

Sustituyendo, obtenemos la diferencial total del volumen:

$$dV = (2\pi r h) dr + (\pi r^2) dh$$

Propagación de errores

La propagación de errores mediante el uso de derivadas parciales y diferenciales es una herramienta fundamental en biotecnología. Nos permite evaluar cómo las incertidumbres de medición en variables independientes (como dimensiones de biorreactores, temperatura, tiempo o concentraciones) afectan al resultado final de un parámetro calculado.

Si una magnitud de interés $Y$ depende de varias variables independientes $x_1, x_2, \dots, x_n$ mediante una función diferenciable $Y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, la cota superior del error absoluto estimado $\Delta Y$ se calcula mediante la estimación lineal del diferencial total:

$$\Delta Y \approx \left\vert{} \frac{\partial f}{\partial x_1} \right\vert{} \Delta x_1 + \left\vert{} \frac{\partial f}{\partial x_2} \right\vert{} \Delta x_2 + \dots + \left\vert{} \frac{\partial f}{\partial x_n} \right\vert{} \Delta x_n$$

donde $\Delta x_i$ representa la incertidumbre absoluta asociada a la medición directa de la variable $x_i.$

El error relativo estimado se define como:

$$\text{Error relativo} = \frac{\Delta Y}{Y}$$

Ejemplo: En un biorreactor cilíndrico de cultivo discontinuo (batch), se desea estimar la masa total de biomasa $M$ (en gramos, $\text{g}$) presente al término del proceso. La masa está dada por la ecuación:

$$M(C, r, h) = C \cdot \pi r^2 h$$

donde:

• $C$: concentración de biomasa ($\text{g/L}$).
• $r$: radio interno del recipiente cilíndrico ($\text{dm}$).
• $h$: altura de la columna de medio líquido ($\text{dm}$).

(Recordatorio: $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$, por lo que el volumen $V = \pi r^2 h$ resulta expresado en litros).

Las mediciones experimentales en laboratorio arrojaron los siguientes valores e incertidumbres absolutas:

• Concentración: $C = 15.0 \text{ g/L}$ con $\Delta C = 0.3 \text{ g/L}$.
• Radio: $r = 2.0 \text{ dm}$ con $\Delta r = 0.05 \text{ dm}$.
• Altura del líquido: $h = 5.0 \text{ dm}$ con $\Delta h = 0.1 \text{ dm}$.

Determinar:

1. El valor nominal calculable para la masa total de biomasa $M$.
2. El error absoluto máximo estimado $\Delta M$.
3. El error relativo y el porcentaje de incertidumbre en el cálculo de la masa.

Solución:

Bibliografía

• Capítulo 14 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.

Solución: