Comenzamos con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial las herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o variedades.
Objetivos
- Conocer y saber determinar un producto escalar y sus propiedades.
- Saber calcular la matriz de Gram o métrica de un producto escalar
- Conocer y saber determinar la norma de un vector y sus propiedades.
- Conocer y determinar vectores ortogonales y ortonormales y sus propiedades.
- Calcular bases ortonormales.
- Conocer el espacio vectorial euclídeo canónico Rn
- Conocer y determinar una proyección ortogonal de un vector.
- Saber calcular el complemento ortogonal de un subespacio y sus propiedades.
- Conocer y saber calcular transformaciones y matrices ortogonales y sus propiedades
Para ello comenzamos con la definición del producto escalar en un espacio vectorial, la norma de un vector, distancia entre dos vectores y el ángulo de dos vectores.
Un producto escalar entre dos vectores de un \(V,\, \mathbb{K}\)-e.v., es una aplicación \(\bullet:V\times V\to\mathbb{K}\) que verifica:
- \(\forall\ u,v\in V,\ u\bullet v=v\bullet u\)
- \(\forall\ u,v,w\in V,\ \forall\ \lambda,\mu\in \mathbb{K},\ (\lambda u+\mu v)\bullet w=\lambda(u\bullet w)+\mu(v\bullet w)\)
- \(\forall\ u\in V,\ u\neq 0_V, u\bullet u > 0\)
- \(\forall\ u\in V,\ u\bullet u = 0\Leftrightarrow u= 0_V\)
Ejemplo: Sea \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) con un producto \[\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=a_{11}b_{11}+ a_{22}b_{22}\] Discutir si es un producto escalar.
Ejemplo: Estudiar para qué valores de \(\alpha\in\mathbb{R}\) la matriz \(\begin{bmatrix}2&\alpha\\ 2&3\end{bmatrix}\) define un producto escalar en \(\mathbb{R}^2.\)
Un \(\mathbb{K}\) espacio vectorial dotado con un producto escalar se denomina espacio euclídeo, y solemos notarlo como \((\mathcal{E},\bullet)\). Habitualmente trabajaremos con \(\mathbb{R}\) espacios vectoriales euclídeos.
Ejemplos de espacio vectorial euclídeo con los que trabajaremos:
- \(\mathbb{R}^n\), podemos definir el producto escalar euclídeo: \(u\bullet v=\sum_{i=1}^nu_iv_i\)
- \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), definimos: \(A\bullet B=\text{tr}(B^tA)\)
- \(\mathbb{R}_n[x]\), definimos: \(p(x)\bullet q(x)=\int_0^1p(x)q(x)\,dx\)
Ejemplo: Consideremos en \([a_{ij}],[b_{ij}]\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\), entonces \[[a_{ij}]\bullet[b_{ij}]=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot b_{ij}\] es un producto escalar
Ejemplo: Calcular \(\begin{bmatrix}1&2&3\\ -1&-2&-3\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}-4 &-5& -6\\ 4&5&6&\end{bmatrix}\).
En un \(\mathbb{K}\) espacio vectorial euclídeo, \((\mathcal{E},\bullet)\), podemos definir la norma de un vector \(v\in\mathcal{E}\), \(||v||\), como \[||v||=\sqrt{v\bullet v}.\]
Ejemplo: Dado el producto escalar habitual en \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), cuánto es \[\left\|\begin{bmatrix}-1&1\\ 2&1\end{bmatrix}\right\|\]
Propiedades: La norma cumple las siguientes propiedades:
- \({\displaystyle \|x\|\geq 0\quad \forall x\in V}\). Además, \({\displaystyle \|x\|=0\Leftrightarrow x=0}\)
- \({\displaystyle \|kx\|=|k|\cdot \|x\|\quad \forall x\in V,\forall k\in \mathbb {K} }\)
- \({\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall x,y\in V}\)
Esta definición, a su vez, nos permite definir la distancia entre dos vectores \(u,v\in\mathcal{E}\), \(\mathbf{dist}(u,v),\) como \[\mathbf{dist}(u,v)=||u-v||.\]
Ejemplo: Dado el producto escalar habitual en \(\mathbb{R}_2[x]\), ¿cuál es \(\mathbf{dist}\left(x^2+2x+1,x+1\right)\)?
Una última, nos permite definir el coseno entre dos vectores \(u,v\in\mathcal{E}\), \(cos(u,v)\), como \[cos(u,v)=\frac{u\bullet v}{\|u\|\cdot\|v\|}.\]
Ejemplo: Dado el producto escalar habitual en \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), cuánto es \[\cos\left(\begin{bmatrix}1&1\\ 0&-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&-1\\ 2&2\end{bmatrix}\right)\]
Ortogonalidad
Esto nos da pie a definir cuándo dos vectores son ortogonales: cuando se que \(\vec{x}\bullet \vec{y}=0\)
Así pondremos que \[\vec{x}\perp \vec{y} \Leftrightarrow \vec{x}\bullet \vec{y}=0\]
Ejemplo: Sean las matrices \(\begin{bmatrix}1 & 2\\ -1 & 1\end{bmatrix}\) y \(\begin{bmatrix}0 & b\\ 1 & -2\end{bmatrix}\), ¿cuál es el valor de \(b\) para que sean ortogonales?
Con esta definición, decimos que \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\) es un conjunto ortogonal si dos a dos sus vectores son ortogonales; es decir, \(\vec{v}_i\bullet\vec{v}_j=0\forall i\neq j\)
Matriz de Gram
El producto escalar y la norma de un espacio euclídeo nos permiten definir una métrica; esta puede ser expresada mediante la matriz de Gram. Sea \((E,\bullet)\) el espacio vectorial euclídeo y \(B=\{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n\}\) una base de \(E\). Llamamos matriz de Gram, respecto de la base \(B\), a la matriz \(G=[g_{ij}=\vec{u}_i\bullet \vec{u}_j]\). Notar que la matriz \(G\) siempre es simétrica.
De este modo, dados \(\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\), \(\vec{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in E\), será \[\vec{x}\bullet \vec{y}=\textbf{x}^t\, G\, \textbf{y}=[x_1\,x_2\,\ldots\,x_n]G\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}\]
Ejemplo: Sea \(B:\{[1,0,-1], [1,2,0], [0,1,-1]\}\subset\mathbb{R}^3\) una base, en la que se define el producto escalar como \[\vec{x}\bullet\vec{y}=x_1y_1+3x_2y_2+x_3y_3.\] ¿Cuánto vale la traza de su matriz de Gram?
Ejemplo: Sea \(B:\{1-X,1-X+X^2,1-X^2\}\subset\mathbb{R}_2[X]\) una base, en la que se define el producto escalar habitual entre polinomios. ¿Cuánto vale el determinante de su matriz de Gram?
| Ejercicio: Sean \(S=\left\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5; -z-y+3x+t-1=0,\, 2y+x+u-t=0\right\}\) y \(T=\left\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;-2z+y-x-u=0,\, 3z+2t-1=0,\, -z+y+4x+u-4=0\right\}\). ¿Cuál es su posición relativa? |
La solución se mostrará más adelante.