Recordemos que, dado un espacio euclídeo, \((\mathcal{E},\bullet)\), dos vectores se dicen ortogonales si
Nuestro propósito será, a partir de un conjunto de vectores, de un subespacio de un espacio euclídeo, \((\mathcal{E},\bullet)\), obtener otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. Este proceso se denomina ortonormalización de Gram-Schmidt .
El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt nos dice que si \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\), los vectores
\(\vec{u}_1=\vec{v}_1\)
\(\vec{u}_2=\vec{v}_2-\displaystyle{\frac{\vec{u}_1\bullet \vec{v}_2}{||\vec{u}_1||^2}\vec{u}_1}\)
\(\vec{u}_3=\vec{v}_3-\displaystyle{\frac{\vec{u}_1\bullet \vec{v}_3}{||\vec{u}_1||^2}\vec{u}_1}-\displaystyle{\frac{\vec{u}_2\bullet \vec{v}_3}{||\vec{u}_2||^2}\vec{u}_2}\)
\(\vec{u}_k=\vec{v}_k-\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\vec{u}_i\bullet \vec{v}_k}{||\vec{u}_i||^2}\vec{u}_i\)
Forman una base ortogonal del subespacio. De este modo, el siguiente conjunto es una base ortonormal del subespacio \[\left\{\frac{\vec{u}_1}{||\vec{u}_1||},\frac{\vec{u}_2}{||\vec{u}_2||},\ldots,\frac{\vec{u}_n}{||\vec{u}_n||}\right\}\]
Ejemplo: Dada la base de \(\mathbb{R}^2\)
Solución:
1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}\)
Paso 1: Definir el primer vector ortogonal \(\mathbf{u}_1\)
El primer vector de la base ortogonal es el primer vector de la base original:
\[
Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal \(\mathbf{u}_2\)
El vector \(\mathbf{u}_2\) se calcula restando a \(\mathbf{v}_2\) su proyección sobre \(\mathbf{u}_1\).
Fórmula de Gram-Schmidt:
Cálculo del producto escalar \(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1\):
\[
Cálculo de la norma cuadrada de \(\mathbf{u}_1\):
\[
Cálculo de \(\mathbf{u}_2\):
Sustituimos los valores:
\[
\[
La base ortogonal obtenida es:
2. Normalización de la Base Ortogonal
Dividimos cada vector ortogonal por su norma para obtener una longitud de 1.
Paso 3: Normalizar \(\mathbf{u}_1\) (obteniendo \(\mathbf{e}_1\))
Cálculo de la norma de \(\mathbf{u}_1\):
Cálculo de \(\mathbf{e}_1\):
Paso 4: Normalizar \(\mathbf{u}_2\) (obteniendo \(\mathbf{e}_2\))
Cálculo de la norma de \(\mathbf{u}_2\):
\[
Cálculo de \(\mathbf{e}_2\):
\[
\[
\[Alternativamente, y sin racionalizar el denominador:
3. Conclusión
La base ortonormal de \(\mathbb{R}^2\) obtenida mediante el proceso de Gram-Schmidt es:
\[
Ejemplo: Dada la base de \(\mathbb{R}^3\)
Solución:
1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}\)
Paso 1: Definir el primer vector ortogonal \(\mathbf{u}_1\)
Tomamos el primer vector de la base original:
Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal \(\mathbf{u}_2\)
Restamos a \(\mathbf{v}_2\) su proyección sobre \(\mathbf{u}_1\):
Cálculos auxiliares:
Sustitución:
Paso 3: Calcular el tercer vector ortogonal \(\mathbf{u}_3\)
Usaremos el nuevo vector $\mathbf{v}_3 = (0, 2, -1)$ y la fórmula:
Cálculos de Productos Escalares con el nuevo \(\mathbf{v}_3\):
1. Producto escalar \(\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1\):
2. Producto escalar \(\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2\):
Cálculo de los Coeficientes de Proyección:
* Proyección sobre \(\mathbf{u}_1\): \(\frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|^2} = \frac{-1}{2}\)
Sustitución y Cálculo de \(\mathbf{u}_3\):
\[\begin{split}
2. Normalización de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}\)
Paso 4: Normalizar \(\mathbf{u}_1\) (obteniendo \(\mathbf{e}_1\))
Cálculo de la norma de \(\mathbf{u}_1\): Cálculo de \(\mathbf{e}_1\):
Paso 5: Normalizar \(\mathbf{u}_2\) (obteniendo \(\mathbf{e}_2\))
Cálculo de la norma de \(\mathbf{u}_2\): Cálculo de \(\mathbf{e}_2\):
Paso 6: Normalizar \(\mathbf{u}_3\) (obteniendo \(\mathbf{e}_3\))
Primero, calculamos la norma cuadrada de \(\mathbf{u}_3\):
Cálculo de la norma de \(\mathbf{u}_3\):
Cálculo de \(\mathbf{e}_3\): (Alternativamente, sin racionalizar, podemos ver que $\mathbf{e}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} (-1, 1, 1)$)
3. Conclusión: Base Ortonormal para \(\mathbb{R}^3\)
La base ortonormal de $\mathbb{R}^3$, \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}\), es la siguiente.
Ejemplo: Dada la base de un susubespacio vectorial de \(S \subseteq\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)
Solución:
Usaremos el producto interno de la traza: $\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^t B)= \text{tr}(B^t A)$.
1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}\)
Paso 1: Definir la primera matriz ortogonal \(\mathbf{U}_1\)
\[
Paso 2: Calcular la segunda matriz ortogonal \(\mathbf{U}_2\)
Fórmula: $\mathbf{U}_2 = \mathbf{V}_2 – \frac{\langle \mathbf{V}_2, \mathbf{U}_1 \rangle}{\| \mathbf{U}_1 \|^2} \mathbf{U}_1$
Cálculos auxiliares:
Resultado de $\mathbf{U}_2$:
Calculamos la norma cuadrada de $\mathbf{U}_2$:
### Paso 3: Calcular la tercera matriz ortogonal \(\mathbf{U}_3\)
Fórmula: $\mathbf{U}_3 = \mathbf{V}_3 – \frac{\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_1 \rangle}{\| \mathbf{U}_1 \|^2} \mathbf{U}_1 – \frac{\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_2 \rangle}{\| \mathbf{U}_2 \|^2} \mathbf{U}_2$
Cálculos de Productos Escalares:
Cálculo de los Coeficientes de Proyección:
Sustitución y Cálculo de \(\mathbf{U}_3\):
La base ortogonal obtenida es:
2. Normalización de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}\)
Dividimos cada matriz ortogonal por su norma: $\mathbf{E}_i = \frac{\mathbf{U}_i}{\| \mathbf{U}_i \|}$
Paso 4: Normalizar \(\mathbf{U}_1\) (obteniendo \(\mathbf{E}_1\))
\[
Paso 5: Normalizar \(\mathbf{U}_2\) (obteniendo \(\mathbf{E}_2\))
\[
Paso 6: Normalizar \(\mathbf{U}_3\) (obteniendo \(\mathbf{E}_3\))
\[
3. Conclusión
La base ortonormal de las tres matrices de $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ es:
\[
Ejemplo: Dada la base de \(\mathbb{R}_2[X]\)
Solución:
Consideremos el espacio vectorial \(\mathcal{R}_2[X]\) de los polinomios de grado menor o igual a 2, dotado del producto escalar definido por la integral definida en el intervalo \([0,1]\):
\[\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(X) q(X) \, dX\]
Calculamos su norma al cuadrado mediante la integral:
\[\langle u_1, u_1 \rangle = \int_0^1 (1 – X^2)^2 dX = \int_0^1 (1 – 2X^2 + X^4) dX\]
La norma es \(\Vert{}u_1\Vert{} = \sqrt{\frac{8}{15}}\). Normalizamos \(u_1(X)\) para obtener el primer vector ortonormal:
\[e_1(X) = \frac{u_1(X)}{\Vert{}u_1\Vert{}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}} (1 – X^2) = \frac{\sqrt{30}}{4} (1 – X^2)\]
Paso 2: Ortogonalización y normalización del segundo vector \(e_2(X)\)
Para el vector \(v_2(X) = X + 1\), restamos su proyección ortogonal sobre \(u_1(X)\):
\[u_2(X) = v_2(X) – \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(X)\]
Calculamos el producto escalar \(\langle v_2, u_1 \rangle\):
\[\langle v_2, u_1 \rangle = \int_0^1 (X+1)(1-X^2) dX = \int_0^1 (1 + X – X^2 – X^3) dX\]
El coeficiente de proyección resulta:
\[c_{21} = \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} = \frac{11/12}{8/15} = \frac{55}{32}\]
Sustituyendo para hallar el vector ortogonal \(u_2(X)\):
\[u_2(X) = (X+1) – \frac{55}{32}(1 – X^2) = \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32}\]
Calculamos la norma al cuadrado de \(u_2(X)\):
\[\langle u_2, u_2 \rangle = \int_0^1 \left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right)^2 dX = \frac{97}{128}\]
Normalizamos para obtener el segundo vector ortonormal \(e_2(X)\):
\[e_2(X) = \frac{u_2(X)}{\Vert{}u_2\Vert{}} = \frac{16}{\sqrt{194}} \left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right) = \frac{55X^2 + 32X – 23}{2\sqrt{194}}\]
Paso 3: Evaluación del tercer vector \(v_3(X) = X + X^2\)
Restamos a \(v_3(X)\) sus proyecciones sobre \(u_1(X)\) y \(u_2(X)\):
\[u_3(X) = v_3(X) – \frac{\langle v_3, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(X) – \frac{\langle v_3, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2(X)\]
Calculando los productos escalares correspondientes:
\[\langle v_3, u_1 \rangle = \int_0^1 (X+X^2)(1-X^2) dX = \int_0^1 (X + X^2 – X^3 – X^4) dX = \frac{23}{60} \implies c_{31} = \frac{23/60}{8/15} = \frac{23}{32}\]
Sustituyendo en la expresión de \(u_3(X)\):
\[u_3(X) = (X+X^2) – \frac{23}{32}(1-X^2) – 1 \cdot \left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right) = 0\]
El algoritmo devuelve el vector nulo \(u_3(X) = 0\), confirmando matemáticamente que el conjunto original no formaba una base completa para \(\mathbb{R}_2[X]\).
Aplicando la ortogonalización de Gram-Schmidt sobre \(w_3(X) = X^2\):
\[u_3(X) = X^2 – \frac{\langle X^2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(X) – \frac{\langle X^2, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2(X)\]
Integrando los coeficientes de proyección:
\[\langle X^2, u_1 \rangle = \int_0^1 X^2(1-X^2) dX = \frac{2}{15} \implies c_{31}’ = \frac{2/15}{8/15} = \frac{1}{4}\]
Obtenemos el tercer vector ortogonal:
\[u_3(X) = X^2 – \frac{1}{4}(1-X^2) – \frac{68}{291}\left(\frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32}\right) = \frac{247}{291}X^2 – \frac{68}{291}X – \frac{25}{291}\]
Normalizando mediante su norma \(\Vert{}u_3\Vert{} = \sqrt{\langle u_3, u_3 \rangle}\), se obtiene la base ortonormal completa \(\mathcal{B} = \{e_1(X), e_2(X), e_3(X)\}\) para \(\mathbb{R}_2[X]\).
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de \(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\)
Solución:
El producto escalar de matrices mediante la traza (producto de Frobenius) para dos matrices reales $A$ y $B$ se define como:
$$A \bullet B = \text{tr}(A^T B)$$
Para calcular el valor de $\begin{bmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$, se siguen estos pasos:
Paso 1: Obtener la traspuesta de la primera matriz $A^T$
Dada la matriz $A = \begin{bmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{bmatrix}$, se intercambian sus filas por columnas:
$$A^T = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2 & -1\end{bmatrix}$$
Paso 2: Calcular el producto matricial $A^T B$
Multiplicando la matriz traspuesta $A^T$ por la matriz $B = \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$:
$$A^T B = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$$
Se realiza el producto fila por columna para cada elemento:
Elemento (1,1): $(1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 = 0$
Elemento (1,2): $(1)(-1) + (0)(3) = -1 + 0 = -1$
Elemento (2,1): $(2)(0) + (-1)(1) = 0 – 1 = -1$
Elemento (2,2): $(2)(-1) + (-1)(3) = -2 – 3 = -5$
La matriz resultante es:
Paso 3: Calcular la traza del producto
La traza $\text{tr}(A^T B)$ es la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz $A^T B$:
$$\text{tr}(A^T B) = 0 + (-5) = -5$$
El resultado final del producto escalar es:
$$\begin{bmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix} = -5$$