El objetivo fundamental de la optimización matemática es hallar los extremos absolutos y relativos (máximos o mínimos) de una función real $f(x)$ definida sobre un dominio determinado.
En el grado de Biotecnología, la optimización es una herramienta clave para modelar y tomar decisiones eficientes en procesos biológicos e industriales. Por ejemplo:
Maximización: Determinar las condiciones ideales (temperatura, concentración de oxígeno, pH) para maximizar la producción de biomasa o el rendimiento de una proteína recombinante en un fermentador.
Minimización: Reducir al mínimo los costos de reactivos en un medio de cultivo o el tiempo necesario para completar una reacción enzimática.
Herramientas matemáticas utilizadas
Para resolver un problema de optimización de una variable de forma rigurosa, empleamos las herramientas del cálculo diferencial:
A. La Primera Derivada y los Puntos Críticos
La primera derivada $f'(x)$ representa la tasa instantánea de cambio o pendiente de la recta tangente a la función en un punto. Los candidatos a extremos se encuentran evaluando los puntos críticos, los cuales ocurren donde la derivada es nula o no existe:
$$f'(c) = 0 \quad \text{o} \quad f'(c) \text{ no existe}$$
B. Criterios para la clasificación de extremos locales
Una vez identificados los puntos críticos, debemos determinar si corresponden a un máximo o a un mínimo local:
1. Criterio de la primera derivada:
Si $f'(x)$ pasa de ser positiva a negativa en $c$, la función alcanza un máximo local en $c$.
Si $f'(x)$ pasa de ser negativa a positiva en $c$, la función alcanza un mínimo local en $c$.
2. Criterio de la segunda derivada:
Si $f'(c) = 0$ y la segunda derivada ${f}’'(x)$ es continua alrededor de $c$:
Si ${f}’'(c) < 0$, la función es cóncava hacia abajo y presenta un máximo local en $c$.
Si ${f}’'(c) > 0$, la función es cóncava hacia arriba y presenta un mínimo local en $c$.
C. Teorema del Valor Extremo (Optimización en un intervalo cerrado)
Si la función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, el Teorema del Valor Extremo garantiza la existencia de un máximo y un mínimo absolutos. Para hallarlos, se evalúa $f(x)$ en:
1. Todos los puntos críticos dentro de $(a, b)$.
2. Los extremos del intervalo, $a$ y $b$.
Ejemplo: Supongamos que la concentración celular $N(t)$ de un cultivo bacteriano (en millones de células/mL) en un biorreactor evoluciona durante un periodo de 5 horas ($t \in [0, 5]$) según el modelo:
\[N(t) = -2t^2 + 12t + 50\]
¿Cuándo alcanza la densidad celular su máximo?
Paso 1: Cálculo de la primera derivada e identificación de puntos críticos.
$$N'(t) = -4t + 12$$
Igualamos a cero para hallar los puntos críticos:
$$-4t + 12 = 0 \implies t = 3 \text{ horas}$$
Paso 2: Clasificación mediante la segunda derivada.
$$N’'(t) = -4$$
Como $N’'(3) = -4 < 0$, la concavidad es negativa, confirmando que en $t = 3$ existe un máximo local.
Paso 3: Evaluación en el intervalo cerrado $[0, 5]$.
Conclusión: La densidad celular alcanza su máximo absoluto de $68$ millones de células/mL a las $3$ horas de iniciado el proceso.
Ejemplo: El dueño de una piscifactoría ha determinado que si compra \(x\) peces (en millares), entonces, al cabo de un mes tendrá
\[f(x) = \frac{9x}{2x+4}\] peces. ¿Qué número de peces debe comprar para conseguir que la ganancia, \(f(x) – x\), sea máxima?
La cantidad óptima de peces que debe comprar será la que produzca el mayor valor de \(f(x) – x\), es decir, la que produzca el máximo absoluto en el intervalo \([0, +\infty)\), ya que el número de peces a comprar no puede ser negativo (en principio, cabe la posibilidad de que la máxima ganancia se produzca no comprando ninguno).
Luego, el problema a resolver es
\[\begin{align*}
\text{Maximizar} \quad g(x) &= f(x) – x = \frac{9x}{2x+4} – x = \frac{5x-2x^2}{2x+4} \\
\text{para} \quad x &\in [0, +\infty).
\end{align*}\]
\(g\) es continua y derivable en \((0, +\infty)\).
Veamos los puntos críticos de \(g\):
\[g'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -4x^2 – 16x + 20 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 4x – 5 = 0\]
Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos \(x = -5\) y \(x = 1\). El valor \(x = -5\) no interesa, ya que está fuera del intervalo admisible. Por tanto, el único punto crítico de \(f\) en \((0, +\infty)\) es \(x = 1\).
Conocidas sus raíces, \(g'(x)\) se puede escribir \(g'(x) = -4(x+5)(x-1)\); puesto que \((2x+4)^2 > 0\) en \((0, +\infty)\), es evidente que
\[g'(x) \begin{cases}
> 0 & \text{en} \ (0, 1) \\
< 0 & \text{en} \ (1, +\infty)
\end{cases}
\]
y, en consecuencia, \(g\) tiene un máximo local en \(x = 1\), que también es máximo absoluto de \(g\) en \([0, +\infty)\).
Por tanto, el número óptimo de peces es 1 millar.
Ejemplo: La población de una especie sigue la siguiente función
\[
P(t) = a + \frac{t}{e^{t/2}}, \quad t \geq 0,
\]
donde \(P(t)\) es el número de individuos de la población (medidos en miles) y \(t\) el tiempo (medido en meses) y \(\alpha\) es una constante positiva.
a) Calcular \(\alpha\) sabiendo que inicialmente había 3000 individuos.
b) ¿En qué momento la población alcanza el máximo? ¿Cuánto es el valor de dicho máximo?
c) ¿A qué tiende la población en el futuro?
d) Si se sabe que una población está en peligro de extinción cuando el número de individuos es menor que 1000, ¿tiene esta población peligro de extinción?
a) Tenemos que ver para qué valor de \(\alpha\) se tiene
\[
P(0) = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 3.
\]
b) El máximo absoluto de \(P(t) = 3 + \frac{t}{e^{t/2}} = 3 + t e^{-t/2}\) en el intervalo \([0, +\infty)\) solo puede ser un máximo relativo o el punto \(t = 0\).
Veamos si \(P\) tiene algún máximo relativo:
\[
P'(t) = e^{-t/2} – \frac{t}{2} e^{-t/2} = e^{-t/2} \left(1 – \frac{t}{2} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2.
\]
Claramente se tiene, puesto que \(e^{-t/2} > 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}\), que
\[
P'(t) \begin{cases}
> 0 & \text{en} \ (0, 2) \Rightarrow P \text{ es creciente en} \ (0, 2) \\
< 0 & \text{en} \ (2, +\infty) \Rightarrow P \text{ es decreciente en} \ (2, +\infty)
\end{cases}
\]
Luego \(P\) tiene un máximo relativo en \(t = 2\), que claramente es también máximo absoluto en \([0, +\infty)\).
El máximo absoluto de \(P\) en \([0, +\infty)\) se alcanza en \(t = 2\) y \(P(2) \approx 3.736\) (3736 individuos).
c) Para ver a qué tiende la población tenemos que calcular
\[
\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \left( 3 + \frac{t}{e^{t/2}} \right) = 3 + \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^{t/2}} = 3
\]
lo que significa que la población tiende a estabilizarse en 3000 individuos.
d) Obviamente, no hay peligro de extinción:
\(P(0) = 3\), y \(P\) es creciente entre \(t = 0\) y \(t = 2\).
\(P\) es decreciente en \((2, +\infty)\), pero no desciende del valor 3, al que tiende asintóticamente.
Es decir, la población no desciende de 3000 individuos.
Ejemplo: La población de una especie sigue la siguiente función:
\[ P(t) = 1 + \frac{(t-\alpha)^2}{1+(t-\alpha)^2}, \quad t \geq 0, \alpha > 0,\]
donde \(P(t)\) es el número de individuos de la población (medido en miles) y \(t\) el tiempo (medido en meses).
(a) Calcula \(\alpha\) sabiendo que inicialmente había 1700 individuos, esto es \(P(0) = 1.7\).
(b) ¿En qué momento la población aumenta? ¿Cuándo disminuye? ¿Cuándo alcanza un mínimo?
(c) ¿A qué tiende la población en el futuro?
(a) Para encontrar el valor de \(\alpha\), sustituimos \(t = 0\) en la ecuación, \(P(0)=1.7\), y resolvemos para \(\alpha\):
\[
1.7 = 1 + \frac{a^2}{1+a^2}
\]
Resolviendo esta ecuación, obtenemos \(\alpha \approx 1.53\).
(b) Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la población, calculamos la derivada de \(P(t)\) respecto a \(t\):
\[
P'(t) = \frac{2(t-a)}{(1+(t-a)^2)^2}
\]
Analizando el signo de \(P'(t)\), podemos concluir que:
La población decrece cuando \(0 \leq t < \alpha\).
La población crece cuando \(t > \alpha\).
Por lo tanto, en \(t = \alpha\) la población alcanza un mínimo.
(c) Para determinar el comportamiento a largo plazo, calculamos el límite de \(P(t)\) cuando \(t\) tiende a infinito:
\[
\lim_{t \to +\infty} P(t) = 1 + \lim_{t \to +\infty} \frac{(t-\alpha)^2}{1+(t-\alpha)^2} = 1 + 1 = 2
\]
Esto significa que la población se estabiliza en 1000 individuos a largo plazo.
Ejemplo: Divida el número 120 en dos partes, tales que el producto \(P\) de una parte y el cuadrado de la otra constituya un máximo.
Sea \(x\) una parte y \(120-x\) la otra. Entonces, \(P = (120-x)x^2\) y \(0<x<120\). Como \(dP/dx = 3x(80-x)\), los puntos críticos son 0 y 80. \(P(0) = 0\), \(P(80) = 256000\) y \(P(120) = 0\). Por tanto, el valor máximo ocurre cuando \(x = 80\), y las partes requeridas son 80 y 40.
Regla de L’Hôpital
Terminamos con una última aplicación de las derivadas al cálculo de límites:
Regla de L’Hôpital: Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) continuas en un intervalo de \(x_0\) salvo en el mismo, donde \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\), y \(g'(x)\neq 0\) para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), entonces \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]
Del mismo modo, si \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\) \[\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]
Capítulo 4 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
Ejercicio: El costo total de producir \(x\) compuestos omega-3 por día es \((\frac{1}{4} x^2 + 35x + 25)\)€ y el precio por unidad para la venta es \((80-2x)\)€. ¿Cuál debería ser la producción diaria para obtener una rentabilidad total máxima?
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1. Planteamiento del problema
Dado un proceso de producción diaria de \(x\) unidades de omega-3: