Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales:
Tomemos \(\mathbb{K}\) el cuerpo \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\), y consideremos \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) una matriz y \(A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]\) (respectivamente \(A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’\)) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. Sea \(B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) la matriz tal que \(b_{ij}=a_{ij}\) salvo los elementos de la fila \(B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]\) (\(B(c_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,m}]’\)) que son \(b_{ik}=a_{ik}+\lambda a_{jk}\) para \(k=1,\ldots,n\)(\(k=1,\ldots,m\) ) y cierta fila(columna) \(j\) y \(\lambda\in\mathbb{K}\). Entonces decimos que las matrices \(A\) y \(B\) son semejantes por transformaciones elementales.
De forma abreviada, indicamos la semejanza de matrices como \(A\sim B\). Formalmente \[A\sim B\Rightarrow \exists E;\, EA=B,\] siendo \(E\) la matriz identidad, del mismo orden que filas tiene \(A\), a la que se le han aplicado operaciones elementales por fila.
Por ejemplo, restarle a la segunda fila de matriz \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), la primera fila, sería
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{f_2-f_1}{\rightarrow}\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c-a&d-b\end{bmatrix}\]
De igual modo, permutar la segunda fila por la primera de la matriz \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), sería
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{f_1\leftrightarrow f_2}{\rightarrow}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&d\\a&b\end{bmatrix}\]
Si deseamos multiplicar la segunda fila por un escalar sería
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{3f_2}{\rightarrow}3\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\ 3c&3d\end{bmatrix}\]
Si ahora unimos las dos primeras operaciones elementales, tendremos
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{\overset{f_2-f_1}{f_1\leftrightarrow f_2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c-a&d-b\\a&b\end{bmatrix}\]
Con la tercera, tendremos
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{\overset{f_2-f_1}{f_1\leftrightarrow f_2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}c-a&d-b\\a&b\end{bmatrix}\overset{3f_2}{\rightarrow}\begin{bmatrix}c-a&d-b\\ 3a&3b\end{bmatrix}\]
De este modo, la matriz \(E\), anterior es el resulta de multiplicar las matrices de cada una de las operaciones elementales realizada a la matriz identidad\[E=E_kE_{k-1}\cdots E_1.\]
Este proceso por filas se puede hacer por columnas; sin embargo, en ese caso \[AE_1E_2\cdots E_k=B.\]
Resumiendo: Si dos matrices, \(A,B\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\), son semejantes por transformaciones elementales por fila(o columna) entonces existe una matriz \(F\in \mathcal{M}_{m}(\mathbb{K})\) (\(C\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\)) tales que
\[B=FA\,(B=AC).\]
Ejercicio: Dada \(\begin{bmatrix}2 & \operatorname{-}4 & 3\\ 6 & \operatorname{-}8 & 5\\ 6 & 1 & 7\end{bmatrix}\). Encontrar una matriz triangular inferior que sea semejante por operaciones elementales.
Proposición: Dadas las matrices \(A,B\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\), tales que \(A\sim B\), se cumple que si \[[I_m|A]\sim [P|B],\] entonces \(P\in\mathcal{M}_{m}(\mathbb{K})\), verifica \(B=PA\), donde \(I_m\in\mathcal{M}_{m}(\mathbb{K})\) es la matriz identidad de orden \(m\)
Ejercicio: Dada \(\begin{bmatrix}2 & \operatorname{-}4 & 3\\ 6 & \operatorname{-}8 & 5\\ 6 & 1 & 7\end{bmatrix}\). Encontrar la matriz de paso por la izquierda tal que nos proporciona una matriz triangular inferior que sea semejante por operaciones elementales.
Ejercicio: Dadas las matrices \(A=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\\ -1&2\end{bmatrix}\) y \(B=\begin{bmatrix}0&3\\ -3&3\\ 0& 2\end{bmatrix}\). ¿Cuál es la matriz \(P\) que cumple \(B=PA\)?
Matriz escalonada
Una matriz se dice que es escalonada, escalonada por filas o que está en forma escalonada si:
- Todos los renglones cero están en la parte inferior de la matriz.
- El elemento delantero de cada renglón diferente de cero está a la derecha del elemento delantero diferente de cero del renglón anterior.
| Escalonada reducida | Escalonada | No escalonada |
| \({\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}}\) | \({\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&1&1\\0&1&3&2\\0&0&2&3\\\end{bmatrix}}}\) | \({\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&3&7&2\\0&2&0&0\\\end{bmatrix}}}\) |
| No es escalonada, ya que el número de ceros consecutivos en la tercera fila no es mayor que el de la segunda fila. |
En algunas bibliografías se requiere que el primer elemento destino de cada fila sea 1. En ese caso se le suele decir escalonada reducida.
Por defecto, consideramos matriz escalonada a lo que sería escalonada por filas. La traspuesta de una matriz escalonada por filas sería una matriz escalonada por columnas.
Proposición: Dada una matriz \(A\) siempre podemos encontrar una matriz \(P\) tal que \(PA=E\), donde \(E\) es una matriz escalonada.
Proposición: Dada una matriz \(A\) siempre podemos encontrar una matriz \(P\) tal que \[ PA\in \left\{ \begin{bmatrix}
I & X \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} I & X \end{bmatrix}\right\}\]
Ejercicio: Encontrar la matriz \(P\) que multiplicada a la matriz \(A=\begin{bmatrix}1&2&0\\ 2&i&1\\ 3&2+i&1\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) la transforma en una matriz escalonada.
Rango de una matriz
Con estas definiciones podemos definir el rango de una matriz.
Definición: Dada una matriz \(A\) definimos el rango de A, \(\textbf{rang}(A)\), como el número de filas (columnas) distintas de cero de su matriz escalonada semejante por operaciones elementales.
Propiedad: El rango de una matriz siempre es independiente de que se consideren filas o columnas.
Ejercicio: Determinar \(\textbf{rang}\begin{bmatrix}
a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\
a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_mb_1 & a_mb_2 & \cdots & a_mb_n \\
\end{bmatrix}\), para \(a_i\neq 0\forall i\in\{1,\ldots,m\}\)
Ejercicio: ¿Cuál es el rango de la matriz \(A=\begin{bmatrix}a&a&1&1\\ 1&a&a&1\\ 1&1&a&a\\ a&1&1&a\end{bmatrix}\) dependiendo del valor de \(a\)?
Ejercicio: ¿Cuál es el rango de la matriz \(\begin{bmatrix}1 & a & b & 0\\
2 & 2 a & b & 1\\
2 & 3 & b & 0\\
0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\) dependiendo de los valores de \(a\) y \(b\)?
Bibliografía
- Capítulo 1 de Álgebra lineal y sus aplicaciones. David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: Sea \(A:[[-2,3,1,-2,-2]\), [1,-3,-1,3,0], [1,-1,1,1,4], [2,-4,-4,-4,4], [-2,1,2,4,2], [4,0,2,0,2], \([-1,-2,1,2,0]]\), ¿cuál es la suma del mayor elemento y el menor del producto \(A^tA\)? |