Muchos procesos biológicos ocurren continuamente a través del tiempo. Algunos ejemplos son el cambio de concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo de un paciente, o el crecimiento de la masa de organismos individuales. Incluso la dinámica de la población de muchas especies, desde el tamaño de colonias de bacterias del tamaño de la población humana, a veces son mejor modeladas por suponiendo que la cantidad de interés (el tamaño de la población, en este caso) cambia continuamente a través del tiempo. Las ecuaciones proporcionan una forma conveniente y natural de construir tales modelos.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivados. Tales ecuaciones surgen en una variedad de situaciones, pero una de las más común es en los modelos de crecimiento de la población.
Entre los modelos de crecimiento de la población encontramos el más sencillo Modelo de Malthus o exponencial:
La velocidad de crecimiento con respecto a la población crece en progresión geométrica, es decir, la tasa de crecimiento es constante.
Lo que nos plantea el problema de valor inicial
\[\left\{\begin{matrix} p'(t)=ap(t)\\ p(t_0)=p_0\end{matrix}\right.,\]
que nos plantea la solución \(p(t)=p_0e^{at}\). Para cualquier valor de a, podemos garantizar la positividad de la solución, es decir, \(p(t)\) mayor que 0 para todo \(t\) mayor o igual que cero. Además, si \(a\) es mayor que 0, \(p(t)\) es creciente t positivo. En cambio, si \(a\) es negativo tenemos que \(p(t)\) es decreciente para todo \(t\) positivo. Derivando la primera derivada obtenemos: \[\frac{d^2p}{dt^2}(t) = a^2 p(t).\]
Entonces \(p(t)\) es estrictamente convexa para cualquier valor de a, siempre que \(p_0>0\).
El modelo de Malthus tiene distintas aplicaciones dependiendo del signo de \(a\). Por ejemplo, cuando la constante de proporcionalidad es positiva se usa para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas de bacterias en un disco de Petri durante un intervalo corto de tiempo. Si por el contrario a < 0, se utiliza para calcular la vida media o semivida de una medicina, es decir, el tiempo que tarda el organismo en eliminar la mitad del fármaco. Este modelo también está asociado a problemas de desintegración radiactiva.
Ejercicio: Cierta población de bacterias tiene una rapidez de cambio proporcional a sí misma. Si en una 1 h tuvo un crecimiento del 50 por ciento, ¿en cuánto tiempo se duplicará la población?
Ejercicio: En un cultivo de bacterias, se estimó que inicialmente había 150 bacterias y 200 después de una hora (h). Suponiendo una rapidez de crecimiento proporcional a la cantidad de bacterias presente, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se triplique?
Ejercicio: Si la población de cierta bacteria crece al 2% por hora ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se duplique?
El problema se hace un poco más complejo si \(a(t)\) es una función, pero nosotros no abordaremos este problema. Sin embargo, si trataremos el conocido como modelo logístico.
Este modelo se basa en la función logística, una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones. En concreto para el crecimiento de una población considera que:
- la tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
- la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.
El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.
Si \(P\) representa el tamaño de la población y \(t\) representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:
\[{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}\]
donde la constante \(r\) define la tasa de crecimiento y \(K\) es la capacidad de persistencia. La solución general a esta ecuación es una función logística. Con una población inicial \(P_{0}\):
\[{\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}}\]
donde \({\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K.}\)
Ejercicio: Utilizando un modelo logístico con capacidad de persistencia \(K=100\times 10^6\), una población de bacterias de \(5\times 10^6\) el primer día del ensayo, y una razón de crecimiento del 2% diario, ¿cuál sería la población esperada en una semana?
Ejercicio: En base al ejercicio anterior, ¿en qué día superaremos los 10 millones de bacterías?
Bibliografía
- Capítulo 9 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
| Ejercicio:Consideremos que el crecimiento una determinada población se rige por el modelo logístico \({\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=0.08P\left(1-{\frac {P}{1000}}\right)}\), con \(P(0)=100\). ¿En qué momento la población llega a 900? Aproximadamente en \(t\) |