En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface ciertas propiedades.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.
Nosotros trabajaremos con el plano, \(\mathbb{R}^2=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}\), y el espacio euclídeo, \(\mathbb{R}^3=\{(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb{R}\}\). En el plano podemos definir \[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2),\quad \forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2\] y \[\lambda\cdot(x_1,x_2)=(\lambda x_1,\lambda x_2)\in\mathbb{R}^2,\quad \forall \lambda\in\mathbb{R},(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2.\]
Para abreviar la notación se suele poner \(\mathbf{x}=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\).
Esta definición es extensible a tres o más dimensiones. Así se puede verificar que
- \((\mathbb{R}^n,+)\) es un grupo conmutativo:
- \(+\) es asociativa:\(\forall \mathbf {v},\mathbf {u},\mathbf {w}\in \mathbb{R}^n;\ (\mathbf {v}+\mathbf {u})+c=\mathbf {v}+(\mathbf {u}+\mathbf {w})\)
- Existe \(\mathbf {e}\in \mathbb{R}^n\), tal que para todo \(\mathbf {v}\in \mathbb{R}^n\), es \(\mathbf {e}+ \mathbf {v}=\mathbf {v}+ \mathbf {e}=\mathbf {v}\)
- Para todo \(\mathbf {v}\in \mathbb{R}^n\), existe \(\mathbf {u}\in \mathbb{R}^n\) tal que \(\mathbf {u}+\mathbf {v}=\mathbf {v}+\mathbf {u}=\mathbf {e}\)
- Existe una aplicación, \(\cdot\,:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\),(denominada producto por escalar) que cumple
- \( a\cdot (b\cdot \mathbf {v} )=(ab)\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in \mathbb{R}\;\forall \mathbf {v} \in \mathbb{R}^n\)
- Si 1 es el elemento neutro para la multiplicación en \(\mathbb{R}\), entonces, \(1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in \mathbb{R}^n\)
- \(a\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(a\cdot \mathbf {v} )+(a\cdot \mathbf {w} )\quad \forall a\in \mathbb{R}\;\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbb{R}^n\)
- \((a+b)\cdot \mathbf {v} =(a\cdot \mathbf {v} )+(b\cdot \mathbf {v} )\quad \forall a,b\in \mathbb{R}\;\forall \mathbf {v} \in \mathbb{R}^n\)
Ejemplo: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[2,-1,5,0]\), \(\mathbf{v}=[4,3,1,-1]\) y \(\mathbf{w}=[-6,2,0,3]\). Si \(\mathbf{x}+\mathbf{v}+3\mathbf{w}=2\mathbf{u}\), ¿cuánto suman las coordenadas de \(\mathbf{x}\)?
Producto escalar euclídeo
Un producto escalar entre dos vectores de \(\mathbb{R}^n\) verifica:
- \(\forall\ \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n,\ \mathbf{u}\bullet \mathbf{v}=\mathbf{v}\bullet \mathbf{u}\)
- \(\forall\ \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{R}^n,\ \forall\ \lambda,\mu\in \mathbb{R},\ (\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v})\bullet w=\lambda(u\bullet \mathbf{w})+\mu(\mathbf{v}\bullet \mathbf{w})\)
- \(\forall\ \mathbf{u}\in \mathbb{R}^n,\ \mathbf{u}\neq \vec{0}, \mathbf{u}\bullet \mathbf{u} > 0\)
- \(\forall\ \mathbf{u}\in \mathbb{R}^n,\ \mathbf{u}\bullet\mathbf{u} = 0\Leftrightarrow \mathbf{u}= \vec{0}\)
Propiedad: Para todo par de vectores \(\mathbf {v},\mathbf {u}\in\mathbb{R}^n\), la operación \[{\mathbf {v}}\bullet \mathbf {u}=v_1u_1 +v_2u_2+\ldots + v_nu_n\] es un producto escalar.
A este producto escalar entre vectores se le denomina producto escalar euclídeo.
Ejemplo: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[1,2]\), \(\mathbf{v}=[2,a]\), ¿cuál es el valor de \(a\) para que el valor de \(\mathbf {u}\bullet\mathbf {v}=-4\)?
El producto escalar nos da pie a definir la norma(euclídea) de un vector como la raíz cuadrada de el producto escalar de un vector por si mismo: \[||\mathbf {v}||=\sqrt{\mathbf {v}\bullet\mathbf {v}}\]
Así la norma euclídea será: \[\|\mathbf{v}\|=\|(v_1,v_2,\ldots,v_n)\|=\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\ldots + v_n^2}\]
Ejemplo: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[-1,3,1]\), \(\mathbf{v}=[2,-1,a]\), ¿cuál es el menor valor de \(a\) para que \(\|\mathbf {u}-\mathbf {v}\|=\sqrt{29}\)?
La norma de un vector, denotada como $\| \mathbf{v} \|$, es una función que asigna a cada vector una longitud o magnitud no negativa. Las tres propiedades principales de la norma son:
- No negatividad: La norma de un vector es siempre mayor o igual a cero. \( \| \mathbf{v} \| \ge 0 \). La norma es cero si y solo si el vector es el vector nulo. \(\| \mathbf{v} \| = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0} \)
- Homogeneidad escalar: Multiplicar un vector por un escalar (un número) $\alpha$ multiplica su norma por el valor absoluto de ese escalar.
\(\| \alpha \mathbf{v} \| = | \alpha | \| \mathbf{v} \| \)- Desigualdad del triángulo: La norma de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de sus normas. Esta propiedad refleja la idea geométrica de que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.
\( \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \| \le \| \mathbf{v} \| + \| \mathbf{w} \| \)
Ejemplo: Verifique que $\| \mathbf{v} – 3\mathbf{w} \|^2 = 1$ cuando $\| \mathbf{v} \| = 2$, $\| \mathbf{w} \| = 1$, y $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 2$.
Definición: Un vector se dice unitario si su norma es 1.
Propiedad: Para todo vector \(\mathbf {v}\in\mathbb{R}^n\), el vector \(\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf {v}\|}\) es unitario.
Al proceso de obtener un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado se le conoce como normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.
Distancia
Se denomina distancia entre dos vectores de \( \mathbb{R}^n\) a \[dist(\mathbf {u},\mathbf {v})=\|\mathbf {u}-\mathbf {v}\|\]
Propiedades: La distancia \(dist(\mathbf {u},\mathbf {v})\), entre vectores de \(\mathbb{R}^n\) cumple
- \(dist(\mathbf {u},\mathbf {v})\in\mathbb{R}\)
- \(dist(\mathbf {u},\mathbf {v})\geq 0\)
- \(dist(\mathbf {u},\mathbf {v})=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {u}=\mathbf {v}\)
- \(dist(\mathbf {u},\mathbf {v})=dist(\mathbf {v},\mathbf {u})\)
- \({\displaystyle \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{R}^n\;:\quad dist(\mathbf {u},\mathbf {v})\leq dist(\mathbf {u},\mathbf {w})+dist(\mathbf {w},\mathbf {v})}\)
Definición: Se denomina distancia euclídea la que utiliza la norma euclídea.
Aplicación
La cartografía antigénica nos permite representar las relaciones de antigenicidad entre cepas virales y antisueros en un espacio tridimensional, lo que posibilita visualizar las diferencias y similitudes inmunológicas entre distintas variantes.
Por ejemplo, a continuación se muestra una tabla donde se presentan los resultados típicos de reactividad de cuatro cepas de virus frente a tres antisueros.
| Cepa / Antiserum | Antiserum A | Antiserum B | Antiserum C |
|---|---|---|---|
| Cepa 1 | 160 | 40 | 10 |
| Cepa 2 | 80 | 80 | 20 |
| Cepa 3 | 10 | 320 | 80 |
| Cepa 4 | 20 | 60 | 160 |
La tabla muestra los títulos de neutralización (por ejemplo) que cada antiserum tiene frente a cada cepa en la cartografía antigénica.
Ejercicio: Considerando los datos de la tabla anterior como puntos dados en \( \mathbb{R}^3\), ¿cuál es la distancia euclídea entre la Cepa 1 y Cepa 3?.
Proyección
Utilizando el producto escalar podemos definir el coseno de dos vectores: \(\vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^n\), donde \(n\in\{2,3\}\), como \[\textbf{cos}(\mathbf {v},\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||\cdot ||\mathbf{u}||}\]
Ejemplo: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[-1,-1]\), \(\mathbf{v}=[-2,-1]\), ¿cuál es el ángulo entre los dos vectores?
Otro vector que podemos definir es la proyección de un vector sobre otro, como \[\textbf{proy}_\mathbf{v}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||^2}\mathbf{v}\]
La componente de \(\mathbf{u}\) en la dirección de \(\mathbf{v}\), vendrá dada por \[\textbf{comp}_\mathbf{v}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||}\]
Ejemplo: Determinar la componente del vector \([3,2,1]\) en la dirección del vector \([2,-1,0]\)
Ejemplo: Determinar la proyección del vector \([3,2,1]\) sobre el vector \([2,-1,0]\)
Bibliografía
- Capítulo 4 y 6 de Álgebra lineal y sus aplicaciones, 5º edición. David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: Sea \(x\)=(3,0,-1), ¿cuál de los siguientes vectores cumple que su componente sobre \(x\) es 1/√10? |