Vamos a tratar la posición relativa de dos variedades afines: \(L_1=P+C_1\) y \(L_2=Q+C_2\). Diremos que se cortan si el conjunto \(L_1\cap L_2\) no es vacío. Si \(L_1\cap L_2=\phi\); es decir, si no se cortan, puede ocurrir que \(C_1\subseteq C_2\) (o \(C_2\subseteq C_1\) ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso contrario se dice que se cruzan.
Si conocemos las ecuaciones implícitas de las dos variedades, el conjunto \(L_1\cap L_2\) viene dado por los puntos cuyas coordenadas, respecto del sistema de referencia considerado, son las soluciones del sistema que resulta de reunir todas las ecuaciones implícitas. Si denotamos por \(n=dim(E)\), siendo \(E\) el espacio afín, \(r=dim(L_1)\) y \(s=dim(L_2)\), y suponiendo que \(r\leq s\), el sistema formado por todas las ecuaciones es un sistema de \(2n-r-s\) ecuaciones, que podemos escribir en forma matricial: \(AX=b\). Según que el rango de la matriz de coeficientes coincida con el rango de la ampliada obtenemos la diferencia entre variedades que se cortan o que no se cortan. Si \(rg(A)\) es \(n-r\), entonces la dimensión de \(C_1\cap C_2\) será \(r\) y por tanto \(C_1\cap C_2=C_1\), con lo que \(C_1\subseteq C_2\).
Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:
Que es equivalente a:
| \(\textbf{rg}\,A=\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\) | \(\textbf{rg}\,A=\textbf{rg}\,Ab\) | Incidentes \((\mathbf{-})\) |
| \(\textbf{rg}\,A=\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\) | \(\textbf{rg}\,A\neq\textbf{rg}\,Ab\) | Paralelas \((\mathbf{=})\) |
| \(\textbf{rg}\,A>\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\) | \(\textbf{rg}\,A= \textbf{rg}\,Ab\) | Se cortan \((\mathbf{+})\) |
| \(\textbf{rg}\,A>\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\) | \(\textbf{rg}\,A\neq \textbf{rg}\,Ab\) | Se cruzan \((\mathbf{\times})\) |
Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 4 x-2 y-2 z=0,\ -3 x+4 y-2 t+8=0\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 6 y-2 z+8=0,\ -4 x+6 y-2 t+10=0\}\end{align*}\]
Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} r_1&:\left\{\begin{bmatrix}x& y\\ z& t\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\ x-y-z=0,\ -3 x+2 y-t+4=0\right\}\\ r_2&:\left\{\begin{bmatrix}x& y\\ z& t\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\ -y-2z+1=0,\ -4x+7y-2t+11=0\right\}\end{align*}\]
Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x+y=0,\ y+2z=0,\ z+3=1\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ \frac{x-2}{2}= y=\frac{z}{-1}=t+1\}\end{align*}\]
Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} S&=\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;\ -z-y+3x+t+1=0,\ 2y+x+u-t=0\}\\ T&=\left\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;\ \begin{array}{l}-2z+y-x-u=0\\ 3z+2t+1=0\\ -z+y+4x+u+4=0\end{array}\right\}\end{align*}\]
| Ejercicio: La ecuación \(x+z+t=0\) es una de las ecuaciones implícitas de la imagen de la aplicación \(f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), dada por \[f(a,b,c)=\begin{bmatrix}-2c+b+a& -c-b\\ b+c & c-2b-a\end{bmatrix}\] |