En este tema nos proponemos a proveer de una métrica a los espacios afines de \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\). Esta métrica nos permitirá definir distancias, el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad.
Además definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de \(\mathbb{R}^3\), estudiando propiedades que más tarde utilizaremos. Por último hemos definido el producto mixto de tres vectores de \(\mathbb{R}^3\).
Además hemos aprendido a expresar de una nueva forma un plano afín en \(\mathbb{R}^3\), si \(\pi:\{P+\lambda\vec{v}+\mu\vec{u}|P\in\mathbb{R}^3, \vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^3,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}\), llamamos forma general a \[(x-p_1,y-p_2,z-p_3)\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0.\]
El símbolo \(\times\) hace referencia al producto vectorial, que calculamos mediante:
\[\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k}\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}\]
Ejemplo: Sean \(\vec{v}=(1,-2,3)\) y \(\vec{u}=(2,1,-1)\), calcular \(\vec{v}\times\vec{u}\).
Este resultado junto con el anterior nos permiten deducir la forma general del plano \((x-p_1,y-p_2,z-p_3)\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0,\) como
\[\begin{vmatrix}x-p_1 & y-p_2 &z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}=0\]
El producto vectorial solo hace referencia a vectores en el espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\), y cumple:
- \( (\vec{v} \times \vec{u} )\times \vec {w} \neq \vec {v} \times (\vec {u} \times \vec {w} )\); el producto vectorial no es asociativo
- \({\vec{v}}\times {\vec{u}}=-({\vec{u}}\times {\vec{v}})\); anticonmutatividad
- \( \vec{v}\bullet (\vec{v}\times \vec{u})=0\); cancelación por ortogonalidad.
- Si \({\vec{v}}\times {\vec{u}}={\vec{0}}\) con \(\vec{v}\neq \vec{0}\) y \( \vec{u}\neq \vec{0}\), \(\Rightarrow \vec{v}\|\vec{u}\); la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
- \(({\vec{v}}+{\vec{u}})\times {\vec{w}}={\vec{v}}\times {\vec{w}}+{\vec{u}}\times {\vec{w}}\); distributividad por derecha e izquierda
- \({\vec{v}}\times ({\vec{u}}\times {\vec{w}})={\vec{u}}({\vec{v}}\bullet {\vec{w}})-{\vec{w}}({\vec{v}}\bullet {\vec{u}})\); conocida como regla de la expulsión.
- \( \left\|\vec{v}\times \vec{u}\right\|=\left\|\vec{v}\right\|\left\|\vec{u}\right\|\left|\sin \theta \right|\), en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores \( \vec{v}\) y \( \vec{u}\), siendo \(\theta\) , el ángulo menor entre los vectores \( \vec{v}\) y \( \vec{u}\); esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
- \(\lambda (\vec{v}\times \vec{u})=(\lambda \vec{v})\times \vec{u}=\vec{v}\times (\lambda \vec{u})\); el producto vectorial es bihomogéneo
- El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el producto vectorial: \(\|\vec{v}\times \vec{u}\|=\left(\|\vec{v}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}-(\vec{v}\bullet \vec{u})^{2}\right)^{1/2}\)
- El vector unitario \( {\hat {\mathbf {n} }}=\frac{\vec{v}\times \vec{u}}{\|\vec{v}\times \vec{u}\|}\) es normal al plano que contiene a los vectores \( \vec{v}\) y \( \vec{u}\).
Ejercicio: ¿Cuál es, en valor absoluto, el producto escalar del vector \([1,2,4]\) por el vector normal unitario de la recta definida por las ecuaciones \(\pi_1:-6z+9y+x-1=0\) y \(\pi_2:15z-18y-4x-5=0\)?
El producto escalar nos da pie a definir la norma de un vector como la raíz cuadrada de el producto escalar de un vector por si mismo: \[||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\bullet\vec{v}}\]
En el caso de \(\mathbb{R}^n\): \[||(v_1,v_2,\ldots,v_n)||=\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\ldots + v_n^2}\]
Utilizando el producto escalar podemos definir el coseno de dos vectores: \(\vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^n\), donde \(n\in\{2,3\}\), como \[\textbf{cos}(\vec{v},\vec{u})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{v}||\cdot ||\vec{u}||}\]
Ejemplo: Sean \(\vec{v}=(1,-2,3)\) y \(\vec{u}=(2,1,-1)\), ¿cuál es la segunda cifra decimal del \(\cos(\vec{v},\vec{u})\)?
Otro vector que podemos definir es la proyección de un vector sobre otro, como \[\textbf{proy}_\vec{v}(\vec{u})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\]
Ejemplo: Cuál es la proyección de \(\vec{u}=(1,-2,3)\) sobre \(\vec{v}=(2,1,-1)\)?
La componente de \(\mathbf{u}\) en la dirección de \(\mathbf{v}\), vendrá dada por \[\textbf{comp}_\mathbf{v}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}}{||\mathbf{v}||}\]
Ejemplo: Determinar la componente del vector \([3,2,1]\) en la dirección del vector \([2,-1,0]\)
Con la norma podemos definir la distancia entre dos puntos \(P\) y \(Q\in \mathbb{R}^3\) como: \[d(P,Q)=||\vec{QP}||=\sqrt{(q_1-p_1)^2 +(q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}\]
Ejemplo: ¿Cuál es la distancia entre los puntos \(P(1,-1,2)\) y \(Q(0,2,-2)\)?
Del mismo modo definimos la distancia de una recta \(r=\{P+\mathbf{Gen}\{\vec{v}\}\}\in \mathbb{R}^3\) a un punto \(Q\) como:\[d(Q,r)=\frac{||\vec{PQ}\times\vec{v}||}{||\vec{v}||}\]
Ejemplo: Cuál es la distancia del punto \(Q(0,2,-2)\) a la recta \(r:\{(1,-1,2)+\mathbf{Gen}\{(3,2,-1)\}\}\in \mathbb{R}^3\) ?
Sin embargo, si queremos calcular la distancia entre un punto \(P\) y el plano \(\pi:ax+by+cz+d=0\), que no lo contiene, lo haremos mediante:\[d(P,\pi)=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Ejemplo: Cuál es la distancia del punto \(Q(0,2,-2)\) al plano \(\pi:\{(1,-1,2)+\mathbf{Gen}\{(3,2,-1),(0,1,1)\}\}\in \mathbb{R}^3\) ?
Ecuación normalizada
Para algunos ejercicios utilizaremos la siguiente definición:
Definición: Sea \(ax+by+cz+d=0\) una ecuación de un plano en el espacio afín. Llamaremos ecuación normalizada a la ecuación resultado de
\[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}}(ax+by+cz+d=0)\]
Ejemplo: Sea \(ax+by+cz+d=0\) la ecuación del plano afin, normalizada, que pasa por el punto P(0,1,-3) y tiene por vectores directores \(\textbf{v}=[2,-1,1]\) y \(\textbf{u}=[1, 2, 3]\) . ¿Cuál es el resultado, en valor absoluto, de evaluar \([x,y,z]\) por [1,1,-1]?
Área de un paralelogramo
Veamos una aplicación del determinate en el caso de un paralelogramo en el plano. Cosideremos paralelogramo dado por los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\), del plano afín:
Observemos que si \(P(1,3)\), \(Q(5,3)\) y \(R(0,5)\), los vectores \(\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = (4,0)\), y
\(\vec{v} = \overrightarrow{PR} = (-1,2)\). Entonces el área del paralelogramo \(PQR\) vendrá dada por
\[
\begin{vmatrix}
\vec{u}& \vec{v}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
4& -1 \\ 0 & 2
\end{vmatrix}=8.
\]
Recordad que, siempre, en valor absoluto.
Veámoslo dicho de otra forma:
Proposición: El área del paralelogramo dado por los puntos \(P(p_1,p_2)\), \(Q(q_1,q_2)\) y \(R(r_1,r_2)\) viene dada por
\[
\mathbf{abs}\left(\begin{vmatrix}
p_1 & p_2 & 1 \\
q_1 & q_2 & 1 \\
r_1 & r_2 & 1
\end{vmatrix}\right)
\]
Corolario: El área del triángulo dado por los puntos \(P(p_1,p_2)\), \(Q(q_1,q_2)\) y \(R(r_1,r_2)\) viene dada por
\[
\frac{1}{2}\mathbf{abs}\left(\begin{vmatrix}
p_1 & p_2 & 1 \\
q_1 & q_2 & 1 \\
r_1 & r_2 & 1
\end{vmatrix}\right)
\]
Producto mixto
Definición: El producto mixto de los vectores \({\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}} \), denotado por
\({\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}]}\), está definido como \({\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}]={\vec {u}}\bullet ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}\)
Teorema: \[{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}]={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}}\]
Interpretación geométrica: Si \({\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}\) son vectores tridimensionales, entonces \({\displaystyle |{\vec {u}}\bullet ({\vec {v}}\times {\vec {w}})|}\) es igual al volumen del paralelepípedo definido por \({\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}.}\)
Ejemplo: Sean los puntos de coordenadas \(O\)(-1,1,3), \(R\)(2,-1,1), \(S\)(5,2,-3) y \(T\)(4, -1,2). Cuál es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \(\vec{OR}\), \(\vec{OS}\) y \(\vec{OT}\)
Otros ejercicios de interés
Ejercicio: Determina si O(2,4,-13) es coplanario con \(P\)(1,-3,-1), \(Q\)(2,-2,1) y \(R\)(3,2,-4)
Ejercicio: Sea S(-2,3,x). ¿qué valor de x hace que S sea coplanario con P(2,2,-1), Q(1,2,-3) y R(3,-2,1)
Ejercicio: Sean \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) dos vectores tales que \(||\vec{a}||=3\), \(||\vec{b}||=\sqrt{6}\) y \(\theta=45º\), ¿cuál es su producto escalar?
| Ejercicio: Sea \(ax+by+c=0\) en la ecuación implícita de la recta del plano afín que pasa por los puntos P(1,-1) y Q(2,3). Si \(u\) es el resultado de normalizar \([a,b]\)(vector unitario normal), ¿cuál es el primer decimal de \(|[1,1].u|\)? |