MathBio: Autovectores y autovalores

Denominamos esta parte autovectores y autovalores, también conocidos como vectores y valores propios de una matriz. Su definición es simple:

Dada una matriz, $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, real porque es el principal cuerpo que trataremos, decimos que $\vec{v} \in\mathbb{R}^n$ es un autovector, o vector propio de la matriz, si \[A\vec{v}=\lambda\vec{v},\] siendo $\lambda\in\mathbb{R}$. Al real $\lambda$ se le denomina autovalor o valor propio de la matriz.

Nuestro principal propósito es saber determinar los autovectores y autovalores de una matriz real cuadrada.

Para conseguir nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante \[det(A-\lambda\, I),\] siendo $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matriz cuadrada y $I$ la indentidad en $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

El polinomio $p(\lambda) = det(A -\lambda\,I)$ es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico (soluciones de la ecuación característica).

Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]

Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 2\\ -3 & -2 & -1\end{bmatrix}\]

(%i3)

A:matrix([1,1,0],[2,0,2],[–3,–2,–1])$
ecu_caract:expand(determinant(A–x*ident(3)))=0;
solve(ecu_caract,[x]);

$\begin{matrix} (ecu_caract) & - x^{3} - x = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o3) & [x = - %i, x = %i, x = 0] \end{matrix}$

Ejercicio: Determinar los autovalores de la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 3 & 0\\
-6 & -5 & 0\\ 3 & 3 & 1\end{bmatrix}\]

(%i3)

A:matrix([4,3,0],[–6,–5,0],[3,3,1])$
ecu_caract:expand(determinant(A–x*ident(3)))=0;
solve(ecu_caract,[x]);

$\begin{matrix} (ecu_caract) & - x^{3} + 3 x - 2 = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o3) & [x = - 2, x = 1] \end{matrix}$

Cada valor propio tiene asociado un conjunto $C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^n\}$, que se determina resolviendo el sistema homogeneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz, que veremos más adelante.

Ejercicio: Determinar los autovectores del autovalor $\lambda=-3$ de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]

Ejercicio: Determinar los autovectores del autovalor $\lambda=-1$ de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]

Ejercicio: Determinar los autovectores del autovalor $\lambda=1$ de la matriz \[\begin{bmatrix}5 & 0 & 4\\ 4 & -1 & 4\\ -8 & 0 & -7\end{bmatrix}\]

Ejercicio: Determinar los autovectores de la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 0 & -3\\
3 & -1 & 3\\
6 & 0 & 5\end{bmatrix}\] correspondientes a su autovalor real.

(%i3)

A:matrix([4,0,–3],[3,–1,3],[6,0,5])$
ecu_caract:expand(determinant(A–x*ident(3)))=0;
solve(ecu_caract,[x]);

$\begin{matrix} (ecu_caract) & - x^{3} + 8 x^{2} - 29 x - 38 = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o3) & [x = - \frac{\sqrt{71} %i - 9}{2}, x = \frac{\sqrt{71} %i + 9}{2}, x = - 1] \end{matrix}$

El único autovalor real es $\lambda=-1$, luego el autovector será la base del subespacio dado por \[\begin{bmatrix}5 & 0 & -3\\ 3 & 0 & 3\\ 6 & 0 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Mediante operaciones elementales, el sistema anterior es equivalente a \[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Luego, $x=0$ y $z=0$, por tanto el subespacio asociado al autovalor $\lambda=-1$ es $\mathcal{C}_{-1}=\mathbf{Gen}\{[0,1,0]\}$

Ejercicio: Dados los autovectores de la matriz \[\begin{bmatrix}-4 & 0 & -3\\
3 & -1 & 3\\
6 & 0 & 5\end{bmatrix}\] del mayor autovalor real, ¿cuál es el producto escalar de [1,1,1] por uno de dichos vectores unitarios?.

(%i3)

A:matrix([-4,0,–3],[3,–1,3],[6,0,5])$
ecu_caract:expand(determinant(A–x*ident(3)))=0;
solve(ecu_caract,[x]);

$\begin{matrix} (ecu_caract) & - x^{3} + 3 x + 2 = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o3) & [x = 2,x=-1] \end{matrix}$

El autovalor real mayor es $\lambda=2$, luego los autovectores serán la base del subespacio dado por \[\begin{bmatrix}-6 & 0 & -3\\ 3 & -3 & 3\\ 6 & 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Mediante operaciones elementales, el sistema anterior es equivalente a \[\begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & -1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Luego, $x=\mu\frac{-1}{2}$, $y=\mu\frac{1}{2}$ y $z=\mu$, por tanto el subespacio asociado al autovalor $\lambda=2$ es $\mathcal{C}_{2}=\mathbf{Gen}\{[-1,1,2]\}$

Ahora solo tenemos que calcular \[\frac{1}{\|[-1,1,2]\|}([1,1,1]\bullet[-1,1,2])=\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Podéis ver más ejemplos en Linear Algebra/Eigenvalues and Eigenvectors.

Dado ${A} \in\mathcal{C}_n(\mathbb {R} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {R}$, decimos que ${A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: \[{A}=\mathbf{P}{D}\mathbf{P}^{-1},\]
donde ${D}$ es una matriz diagonal.

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovectores de la matriz.

Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz.

Así al número de veces que un autovalor $\lambda$ se repite como raíz del polinomio característico se le llama multiplicidad algebraica y se representa por $m_a(\lambda)$. Y al número máximo de autovectores linealmente independientes que tiene asociado un autovalor $\lambda$, es decir la dimensión del subespacio propio $\mathcal{C}_\lambda$, se le llama multiplicidad geométrica de $\lambda$ y se representa por $m_g(\lambda)$. Estos dos números están relacionados por una desigualdad: \[m_g(\lambda)\leqslant m_a(\lambda)\]

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovectores de la matriz. Sea, por tanto, $\mathbf{A}$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces

La matriz $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica es igual a $n$; $b)$ para todo autovalor $\lambda_i$, la dimensión del subespacio $\mathcal{C}_{\lambda_i}$ coincide con la multiplicidad del autovalor $\lambda_i$ como solución de la ecuación característica de $A$; es decir, $m_g(\lambda_i)= m_a(\lambda_i)$

Así pues si $\mathbf{A}$ es diagonalizable, será $\mathbf{D}$ una matriz cuya diagonal principal está formada por los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades

Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales.

Dadas dos matrices diagonalizables $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$, son conmutables ($\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$) si y solo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).

Toda matriz $\mathbf{A}$ de dimensión $n$ y coeficientes reales es diagonalizable si, y sólo si, existe una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores de $\mathbf{A}$

El resultado anterior nos permite formular la definición de diagonalización ortogonal o matriz ortogonalmente diagonalizable: Una matriz cuadrada se dice que es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si es diagonalizable mediante una matriz de $\mathbf{P}$ ortogonal. Por tanto, si una matriz es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si se puede encontrar una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores ortonormales de $\mathbf{A}$ (que compondrán las columnas de la matriz $\mathbf{P}$).

Teorema: Una matriz real es ortogonalmente diagonalizable si, y solo si, es simétrica.

Observemos que, aunque podemos hacer ortogonales los autovectores conseguidos, no nos garantiza que la matriz formada por ellos sea ortogonal. Eso solo se producirá en el caso de ser una matriz simétrica.

Bibliografía

Capítulo 5 de Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.

Ejercicio: ¿Cuántos autovalores distintos tiene la matriz $A=\begin{bmatrix}2&1&0\\ 1&2&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}$?

L	M	X	J	V	S	D
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28