ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones, dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como

• Conjuntos:
  • Subconjunto,
  • Partes de un conjunto,
  • Cardinalidad
  • Unión e Intersección de conjuntos
• Aplicaciones:
  • Relación.
  • Dominio. ⁣
  • rango e imagen.
  • Aplicación inyectiva.
  • Aplicación suprayectiva.
  • Aplicación biyectiva.

Uno de los conjuntos que trabajaremos será el producto cartesiano. Dados dos conjuntos \(A\) y \(B{,}\) llamaremos producto cartesiano de \(A\) por \(B\), y lo notaremos como \(A\times B,\) a \[A\times B=\{(a,b);\ a\in A,\ b\in B\}.\]

El producto cartesiano de dos conjuntos nos permite definir una aplicación entre ellos:

Si \(f\) es una aplicación entre \(A\) y \(B\), entonces \(f\) es un subconjunto, \(f\subseteq A\times B,\) que verifica \[\forall a\in A\ \exists^\bullet\ b\in B;\ (a,b)\in f \]

Ejercicio: Sea \(A=\{2,4,6,8\}\) y \(B=\{1,3,5,7,9\}\). ¿Cuál de los siguientes subconjuntos es una aplicación?

• \(f=\{(1,2),(4,3),(6,7),(8,9)\}\)
• \(g=\{(2,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)\}\)
• \(h=\{(2,3),(8,1),(6,3),(4,1)\}\)
• \(i=\{(8,1),(6,3),(4,5)\}\)

Solución:

Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Una aplicación \(f:X\to Y\) es inyectiva si cada elemento del rango es aplicado por a lo sumo un elemento del dominio. Es decir, \[{\displaystyle \forall x,x’\in X,f(x)=f(x’)\Rightarrow x=x’.}\]

Ejercicio: La aplicación \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}\), dada por \(f(n)=e^n\) es inyectiva.

Solución:

Una aplicación \(f:X\to Y\) es sobreyectiva si cada elemento del rango es aplicado por al menos un elemento del dominio. Es decir, \[{\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ tal que }}y=f(x).}\]

Ejercicio: La aplicación \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}\), dada por \(f(x)=\lfloor x \rfloor\) (parte entera), siendo
\(\lfloor x\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}\), es sobreyectiva.

Solución:

Proposición Una aplicación \(f:X\to Y\) es sobreyectiva si \(\mathbf{Im}f=Y\).

Una aplicación \(f:X\to Y\) es biyectiva si inyectiva y suprayectiva.

Ejercicio: La aplicación \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\), dada por \[f(n)=\left\{\begin{matrix}
2n, & n\geq 0 \\
-(2n+1) & n< 0 \\
\end{matrix}\right.\] es biyectiva.

Solución:

Ejercicio: La aplicación \(f:\mathcal{M}_ 2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}\), dada por \(f(A)=\mathbf{det}(A)\) , ¿es biyectiva?

Solución:

Estructuras algebraicas

Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equiparar unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia:

• Relaciones de equivalencia
  • Llamamos relación de equivalencia en un conjunto, \(K\), a una relación \(\mathcal{R}\) que cumplen los elementos del conjunto entre ellos y que verifican las siguientes propiedades:
    • Reflexividad: Todo elemento de \(K\) está relacionado consigo mismo. Es decir, \[\forall x\in K \; : \quad x \mathcal{R} x.\]
    • Simetría: Si un elemento de \(K\) está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir, \[ \forall x,y\in K \; : \quad x \mathcal{R} y \; \Rightarrow \; y \mathcal{R} x\]
    • Transitividad: Si un elemento de \(K\) está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
      \[{\displaystyle \forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z}
      \forall x,y,z\in K
      \; : x \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z
      \, \Rightarrow \,
      x \mathcal{R} z.\]
  • Por ejemplo, «Tener el mismo resto al dividir por 5» es una relación de equivalencia entre los números enteros.
  • Existe otra relación interesante, pero que no es necesaria para una relación de equivalencia; es la relación antisimétrica y se cumple cuando se da que si dos elementos de \(K\) se relacionan entre sí mediante \(\mathcal{R}\), entonces estos elementos son iguales. Es decir,
    \[ \forall a,b\in K\;:\; aRb\; \land \, bRa\, \Rightarrow \, a=b\]
• Leyes de composición internas(operación interna), elemento neutro, elemento simétrico
  • Un ejemplo sería el conjunto de los números reales con la operación interna, *, dada por a*b=a+b-ab, preguntándonos si es una ley de composición interna; si tiene elemento neutro, simétrico,…
  • Otros ejemplos podéis verlos en Ley de Composicion Interna

Grupo

Las definiciones de conjuntos y operaciones internas nos permiten establecer una de las estructuras básicas con las que trabajaremos: Grupo

Así definimos un grupo como una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico. Es decir, \(G\) con la operación interna \(\circ\), \((G,\circ)\), es un grupo sí

• \(\circ\) es asociativa
• Exite \(e\in G\), tal que para todo \(a\in G\), es \(e\circ a=a\circ e=a\)
• Para todo \(a\in G\), existe \(b\in G\) tal que \(b\circ a=a\circ b=e\)

Si existe un elemento \(b\in G\), tal que \(b\circ a=a\circ b=e\), donde \(e\in G\) es el elemento neutro de \(G\), se dice que \(b\) es el simétrico de \(a\). En caso de que utilicemos la notación aditiva, al simétrico se le designa por opuesto y se escribe como \(-a\). Y si utilizamos la notación multiplicativa, al simétrico se le dice inverso y se escribe como \(a^{-1}\).

Igual que hemos definido un grupo, podemos definir un subgrupo, como un subconjunto en que al restringir las operaciones a sus elementos verifica las propiedades de grupos. El siguiente resultado nos lo resumen

Proposición: Sea \(S\subseteq G\), donde \((G,\circ)\) es un grupo, entonces \((S,\circ)\) es un subgrupo de \((G,\circ)\) sii \(a,b\in S\Rightarrow a\circ b^{-1}\in S\)

La de grupo es la estructura más básica con la que trabajaremos, pero esta estructura se amplia a anillo y cuerpo.

Homomorfismo de grupos

Definición: Dados dos grupos \((G,\circ)\) y \((H,\ast)\), en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento \(g\) de \(G\) un elemento \(h\) de \(H\):\[\quad \varphi : G \longrightarrow H\]

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos \(a, b \in G\) \[\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \ast \varphi(b)\]

Ejercicio: La aplicación \(f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{R}^+,\cdot)\) dada por \(f(n)=e^n\) es un homomorfismo de grupos.

Solución:

Ejercicio: Sea \(\mathcal{M}_n^*(\mathbb{R})\) el conjunto de las matrices regulares de orden \(n\). La aplicación \(\phi:(\mathcal{M}_n^*(\mathbb{R}),.)\to(\mathbb{R}_0,\cdot)\) dada por \(\phi(A)=\mathbf{det}(A)\) es un homomorfismo de grupos.

Solución:

Ejercicio: Sea \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) el conjunto de las matrices regulares de orden \(n\). La aplicación \(\phi:(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),+)\to(\mathbb{R},+)\) dada por \(\phi(A)=\mathbf{tr}(A)\) es un homomorfismo de grupos.

Solución:

Anillo

Un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva biláteral respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario, ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.

Un ejemplo de anillo es el conjunto de las matrices de \(n\times m\) con las operaciones entre matrices que conocemos. Este es un ejemplo de un anillo no conmutativo.

Otro ejemplo de anillo es \(\mathbb{Z}[X]\), que representa los polinomios de enteros sobre la variable \(X\), con las operaciones de suma y producto de polinomios que conocemos. Veremos que para cualquier cuerpo \(\mathbb{K}\), \(\mathbb{K}[X]\) será un anillo conmutativo con unidad.

Homomorfismo de anillos

Un homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos. Formulemoslo matemáticamente:

Sean \((\mathcal{R},+,\cdot )\) y \( (\mathcal{S},+,\cdot )\) dos anillos. Se dirá que la aplicación \({\displaystyle f:\mathcal{R}\to \mathcal{S}}\) es un homomorfismo de anillos si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. \({\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}\), cualesquiera que sean \({\displaystyle a,b\in \mathcal{R}}\).
2. \({\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)}\), cualesquiera que sean \({\displaystyle a,b\in \mathcal{R}}\).

La primera condición, descrita anteriormente, nos dice que \({\displaystyle f}\) es en particular un homomorfismo de grupos entre los grupos abelianos \({\displaystyle (\mathcal{R},+)}\) y \({\displaystyle (\mathcal{S},+)}\). Con esta definición se ve que la imagen de \({\displaystyle f}\), \({\displaystyle \mathbf{im} (f)=f(\mathcal{R})}\), es un subanillo de \({\displaystyle (\mathcal{S},+,\cdot )}\).

Ejercicio: Sean \((\mathbb{R}, +, \cdot)\) el anillo de los números reales y \((M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)\) el anillo de las matrices \(2 \times 2\) con entradas reales. Definimos la aplicación \(\phi: \mathbb{R} \to M_2(\mathbb{R})\) de la siguiente manera:\[ \phi(r) = \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix} = r I_2 \] donde \(r \in \mathbb{R}\) e \(I_2\) es la matriz identidad de orden 2. \(\phi\) es un homomorfismo de grupos.

Solución:

Ejercicio: Considere el anillo \(R = (\mathbb{Z}_2[x], +, \cdot)\) de los polinomios con coeficientes enteros y de grado menor o igual a dos.

\[
R = \{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \mid a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{Z} \}
\]

Se define la aplicación \(\phi: R \to R\) que asocia a cada polinomio \(P(x)\) su derivada formal \(P'(x)\):

\[
\phi(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = a_1 + 2 a_2 x
\]
Demuestre si la aplicación \(\phi\) es o no un homomorfismo de anillos.

Solución:

Se define el núcleo del homomorfismo de anillos \({\displaystyle f:\mathcal{R}\to \mathcal{S}}\), como el conjunto \({\displaystyle \mathbf{ker}(f)=\{r\in \mathcal{R}:f(r)=0\}}\), es decir, \({\displaystyle \mathbf{ker}(f)=f^{-1}(\{0\})}\)

Ejercicio: Sean \((\mathbb{R}, +, \cdot)\) el anillo de los números reales y \((M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)\) el anillo de las matrices \(2 \times 2\) con entradas reales. Definimos la aplicación \(\phi: \mathbb{R} \to M_2(\mathbb{R})\) de la siguiente manera:\[ \phi(r) = \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix} = r I_2 \] donde \(r \in \mathbb{R}\) e \(I_2\) es la matriz identidad de orden 2. Determinar el núcleo de \(\phi\).

Solución:

Cuerpo

Un cuerpo es un anillo en el cual existe un elemento neutro y el inverso para el producto.

Como hemos comentado, \(\mathbb{R}[X]\) es el anillo de los polinomios de coeficientes reales. En este anillo vemos cómo podemos definir cero de un polinomio y determinar la factorización de todo polinomio real en polinomios de 1 o 2 grados.

Viendo el anillo \(\mathbb{C}[X]\), enunciamos el teorema fundamental del álgebra.

Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio complejo de grado \(1\leq n\) se puede expresar como un producto de \(n\) polinomios lineales, es decir \[{\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}\,z^{n-k}=a_{n}\,\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k}).}\]

Este resultado nos pone de manifiesto que todo polinomio real tendrá tener raíces reales y/o complejas, apareciendo las complejas por pares cuando las hay. Una de las conclusiones obtenidas es que todo polinomio real de grado impar tiene, al menos, una raíz real.

Por último terminaremos con dos de los ejemplos que usaremos:

Proposición:

• (\(\mathbb{Z}_n\), +, •) tiene estructura de anillo conmutativo.
• \(\mathbb{Z}_p\) es un cuerpo si, y solo si, \(p\) es un número primo.

Solución: