Definimos la inversa de una matriz cuadrada \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})\) como la matriz \(B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})\) tal que \[AB=BA=I_n.\]
El procedimiento que damos para calcular la inversa es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea \(A\) la matriz, y consideremos la matriz formada por \([A\, |\, I_n]\). Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que
\[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],\]
Entonces\(B\) es la inversa de \(A\).
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R),\] y \(B=[b_{ij}]\) su matriz inversa. ¿Cuánto es la traza de \(B\)?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
3 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 1 & 0\\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 2 & 1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R),\] y \(B=[b_{ij}]\) su matriz inversa. ¿Cuántos \(b_{ij}=0\) hay?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 1 & -1 & i\\
0 & i & 1 & 1 \\
0 & 0 & i & -1 \\
0 & 0 & 0 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto es la traza de la inversa?
Proposición: Dadas las matrices cuadradas regulares del mismo orden \(A\) y \(B\)
- \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
- \((A\,B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\)
Ejercicio: Para todo \(p\in\mathbb{Z}^+\) y \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) una matriz regular; entonces, la inversa de \(A^p\) es \(\left(A^{-1}\right)^p\). ¿Verdadero o falso?
pseudoinversa
No siempre podemos conseguir la inversa, bien porque la matriz no sea cuadrada o porque no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\), tal que
\[AR=I_m\] o \[LA=I_n.\]
En caso de existir, denominamos a \(R\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})\), matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz \(A\); y a \[L\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R}),\] matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz \(A\).
Un resultado que utilizaremos:
Proposición: Una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\) tiene pseudoinversa por la derecha (izquierda) si, y solo si, \(rang(A)=m\) (\(rang(A)=n\))
En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante \[R=A^t(AA^t)^{-1},\]
o
\[L=(A^tA)^{-1}A^t.\]
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \\ -1&1
\end{bmatrix},\) si \(B=[b_{ij}]\) es su pseudoinversa por la izquierda, ¿cuánto es \(\sum b_{ii}\)?
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&-1&0\\ 0&1 &1
\end{bmatrix},\) si \(B=[b_{ij}]\) es su pseudoinversa por la derecha, ¿cuánto es \(\sum b_{ii}\)?
Interpretación de la Pseudoinversa
Como $A$ tiene una inversa por la derecha, su rango debe ser igual al número de filas (es de rango completo por filas). Por el teorema del rango-nulidad, esto implica que el espacio nulo (o núcleo) de $A$, denotado como $\text{Nul}(A)$, tiene una dimensión $\text{dim}(\text{Nul}(A)) > 0$ si $A$ no es cuadrada (más columnas que filas).
La solución general de la ecuación lineal $A \cdot X = b$ se expresa como:
$$\mathbf{X} = \mathbf{X_p} + \mathbf{X_h}$$
Donde:
- $\mathbf{X_p}$ es una solución particular (como $R \cdot b$).
- $\mathbf{X_h}$ es la solución general de la ecuación homogénea $A \cdot X = 0$, es decir, $\mathbf{X_h} \in \text{Nul}(A)$.
Sustituyendo $\mathbf{X_p} = R \cdot b$, la solución general es:
\[\mathbf{X} = R \cdot b + \text{Nul}(A)\]
Esto significa que:
- La matriz $R$ te da un punto de partida (una solución particular) para el sistema.
- Existe un número infinito de soluciones (siempre que $\text{dim}(\text{Nul}(A)) > 0$), ya que puedes sumar cualquier vector del espacio nulo de $A$ a la solución particular $R \cdot b$.
La existencia de una pseudoinversa por la izquierda $L$ implica que la matriz $A$ es de rango completo por columnas. Esto, a su vez, significa que la aplicación lineal representada por $A$ es inyectiva (o uno a uno).
\[A \cdot X = b\to L\cdot (A \cdot X) = L\cdot b\to (L\cdot A) \cdot X = L\cdot b\to\mathbf{X} = L \cdot b\]
El resultado $\mathbf{X} = L \cdot b$ tiene dos implicaciones críticas:
- Si la ecuación $A \cdot X = b$ tiene una solución, esta solución es única. Esto se debe a que la inyectividad de $A$ significa que el espacio nulo (núcleo) de $A$ solo contiene el vector cero, es decir, $\text{Nul}(A) = \{\mathbf{0}\}$. No hay vectores no triviales para sumar a la solución particular.
- La solución $X = L \cdot b$ es válida si y solo si el vector $b$ se encuentra en el espacio columna (o imagen) de $A$, denotado como $\text{Col}(A)$.
Resumen
| Caso | Pseudoinversa | Ecuación $A \cdot X = b$ | Implicación y Existencia de Soluciones |
|---|---|---|---|
| Izquierda | $L \cdot A = I$ | $\mathbf{X = L \cdot b}$ (solución única) | $A$ es inyectiva (columna completa). $A \cdot X = b$ tiene como máximo una solución (si $b$ está en la Columna de $A$). |
| Derecha | $A \cdot R = I$ | $\mathbf{X = R \cdot b} + \text{Nul}(A)$ (soluciones infinitas) | $A$ es sobreyectiva (fila completa). $A \cdot X = b$ tiene siempre al menos una solución. |
| Ambos | $L = R = A^{-1}$ | $\mathbf{X = A^{-1} \cdot b}$ (solución única) | $A$ es cuadrada y regular. Solución única y siempre existente. |
| Ninguno(*) | $A^+$ (Moore-Penrose) | $\mathbf{X = A^+ \cdot b}$ (solución de mínimos cuadrados) | $A$ es de rango distinto a columnas o filas. Se busca la solución que minimiza el error $\|A \cdot X – b\|$. |
(*)Este caso no lo trataremos en esta sesión; más adelante veremos la solución por mínimos cuadrados.
Ejercicio: Dar la norma de una solución particular del sistema
\[\begin{align*}
4y+5z-t+u&=4 \\
-3x-3y-5t-3u&=0 \\
-5x-3y+4z+5t-5u&=4 \\
-5x+2y+2z+3t+u&=5,
\end{align*}\]
| Ejercicio: Sea \(A=\left[\begin{smallmatrix}1&3&-2&0&2&0\\ 2&6&-5&-2&4&-3\\ 0&0&5&10&0&15\\2&6&0&8&4&8\end{smallmatrix}\right]\), el rango de la matriz es |