Inversa de una matriz
Definimos la inversa de una matriz cuadrada \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) como la matriz \(B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) tal que \[AB=BA=I_n.\]
El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea \(A\) la matriz, y consideremos la matriz formada por \([A\, |\, I_n]\). Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que
\[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],\]
entonces \(B\) es la inversa de \(A\).
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)= [[1,1,0,0],[-1,1,-1,0],[0,1,1,1],[0,0,1,1]], ¿cuánto es la traza de su inversa?
Proposición: Dadas las matrices cuadradas regulares del mismo orden \(A\) y \(B\)
- \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
- \((A\,B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\)
Ejercicio: Para todo \(p\in\mathbb{Z}^+\) y \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) un matriz regular; entonces, la inversa de \(A^p\) es \(\left(A^{-1}\right)^p\). ¿Verdadero o falso?
Determinante de una matriz
Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace:
- Sea \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), definimos el determinante de \(A\), como \[|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\]
- Para todo \(n>2\) y \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), definimos \[|A|=\sum _{j=1}^{n}a_{1j}\;A_{1j},\] donde \(A_{1j}=(-1)^{(1+j)}\;\alpha _{1j}\), siendo \(\alpha _{1j}\) el determinante de orden \(n-1\) que queda tras eliminar de la matriz \(A\) la fila 1 y la columna \(j\).
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 3 & 1\\
1 & 0 & 5 & 0 \\
2 & -1 & 1 & 2 \\
3 & 4 & 7 & 0
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}),\] ¿cuánto es su determinante?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0\\
-1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}),\] ¿cuánto es su determinante?
La definición clásica y su significado puede verse en Determinante. En este enlace podéis encontrar también propiedades importantes. Recordad estas propiedades porque serán muy importantes para aprender bien este tema.
Regla de Laplace: El determinante de una matriz es independiente de la fila o columna que elijamos en el paso 2 anterior.
Propiedades de los determinantes
Asumamos \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas del mismo orden,
- \(|A|=|A^t|\)
- Si \(B\) es el resultado de hacer una transformación elemental por fila(columna) a la matriz \(A\), \(A\overset{f_i+\lambda f_j\\ (c_i+\lambda c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=|B|\)
- Si \(B\) es el resultado de intercambiar una fila(columna) de la matriz \(A\), \(A\overset{f_i \leftrightarrow f_j\\ (c_i\leftrightarrow c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=-|B|\)
- Si \(B\) es el resultado de multiplicar una fila(columna) de la matriz \(A\) por un escalar, \(A\overset{f_i = \lambda f_i\\ (c_i=\lambda c_i)}{\sim}B\Rightarrow|B|=\lambda |A|\)
- \(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a+b & c+d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a & c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ b & d\end{vmatrix}\). De igual modo podemos hacerlo para toda matriz cuadrada de orden \(n\).
- \(|A\,B|=|A|\cdot |B|\)
Consecuencia de las propiedades anteriores son estos resultados:
- El determinante de una matriz con una fila, o columna, todo ceros vale cero.
- El determinante de una matriz con dos filas, o columnas, proporcionales vale cero.
- El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Proposición: Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determiante es cero.
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)= [[1,-5,3],[-1,-3,4],[-3,7,x]], ¿cuál es el valor de \(x\) para que la matriz no tenga inversa?
Ejercicio: Cuál es el valor del determinante \[\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & 2\\
1 & 2 & 3 & 3\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}\]
Menor de una matriz
Un menor de una matriz \(A\) es el determinante de una submatriz cuadrada de \(A\).
La definición de menor nos da pie a otro resultado muy interesante. Podemos extender la definición de menor para una matriz no cuadrada a cualquier determinante de una submatriz cuadrada. En este caso:
Teorema. Si \(A\) es una matriz, el rango de \(A\) es el orden del mayor menor de \(A\) no nulo.
Ejercicio: Cuál es rango de la matriz \[\begin{bmatrix}
1 & -3 & -1 & -1\\
1 & 5 & 3 & 3\\
1 & 1 & 1 & 1\\
3 & 7 & 5 & 5
\end{bmatrix}\]
Matriz adjunta e inversa
Si consideramos \(m_{ij}\) el menor complementario del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), decimos adjunto (cofactor) del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), y lo notamos por \(A_{ij}\), al resultado \[A_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}.\]
En algunas bibliografías también lo llaman cofactor. Así la regla de Laplace quedaría como:
\[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}\] o \[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}\]
En alguna bibliografía, a la matriz \([A_{ij}]\) se le suele llamar matriz de cofactores (matriz de adjuntos).
De este modo definimos la matriz adjunta como \[adj(A)=[A_{ji}]=[A_{ij}]^t;\] es decir, la traspuesta de la matriz de cofactores (matriz de adjuntos).
Teorema Si \(A\) tiene inversa, entonces \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\]
Aplicación
A continuación, un documento con el planteamiento de un problema aplicado a la biotecnología (ingeniería de tejidos y biomecánica), donde se calcula la inversa de una matriz para resolver un sistema, junto con su solución detallada paso a paso:
Bibliografía
- Capítulo 4 de Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: Dada la matriz \(\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&2&-1\\ 0&1&-1&0\\ 0&2&0&-1\end{bmatrix}\), ¿cuál es el valor de su determinante? |
La solución se mostrará más adelante.