Observemos que \\[aX\\equiv b \\pmod{n}\\Leftrightarrow aX-b=kn,\\] para alg\u00fan \\(k\\in\\mathbb{Z}\\). Es decir, las soluciones de \\(aX\\equiv b \\pmod{n}\\), est\u00e1n relacionadas con las soluciones de la ecuaci\u00f3n lineal \\[ax+ny=b.\\] Esta \u00faltima ecuaci\u00f3n plantea una ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica. <\/p>\n
Recordemos que llamamos ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica a cualquier ecuaci\u00f3n algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los n\u00fameros enteros \\(\\mathbb{Z}\\); es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son n\u00fameros enteros.<\/p>\n
Nosotros solo trataremos las ecuaciones diof\u00e1nticas lineales; es decir, la ecuaci\u00f3n \\[a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = C,\\] y, en concreto, solo de dos o tres variables.<\/p>\n
\nTeorema:<\/strong> La ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica \\[a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = C,\\] tiene soluci\u00f3n si, y solo si, \\(d=\\mathbf{mcd}(a_1,a_2,…,a_n)\\) divide a \\(C\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n
Con anterioridad hemos tratado la ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica de dos variables; ahora la veremos con tres variables: \\[ax+by+cz=n.\\] Como hemos dicho, esta ecuaci\u00f3n tiene soluci\u00f3n si \\(m.c.d(a,b,c)|n\\). <\/p>\n
En caso de tener soluci\u00f3n, podemos calcularla dependiendo de dos casos. El m\u00e1s sencillo es el que plantea cuando dos de los coeficientes de la ecuaci\u00f3n son coprimos. En tal caso, la ecuaci\u00f3n plantea una soluci\u00f3n param\u00e9trica cuyo par\u00e1metro es la variable del coeficiente no coprimo. Es decir, si \\(m.c.d(a,b)=1\\), planteamos la ecuaci\u00f3n \\[ax+by=n-c\\lambda,\\] donde designamos \\(z=\\lambda\\), la resolvemos como ya conocemos.<\/p>\n
\nEjercicio:<\/strong> Resolver la ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica \\(6x+3y+5z=-7\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n