{"id":803,"date":"2026-02-23T10:15:04","date_gmt":"2026-02-23T09:15:04","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=803"},"modified":"2026-02-25T16:58:09","modified_gmt":"2026-02-25T15:58:09","slug":"mad-numeros-primos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=803","title":{"rendered":"MAD: N\u00fameros primos y congruencias"},"content":{"rendered":"<p>En la clase de hoy trataremos los n\u00fameros primos. Llamaremos n\u00famero primo a todo n\u00famero entero \\(p\\in\\mathbb{Z}\\), \\(p&gt;1\\), que no tiene divisores m\u00e1s que el 1 y el mismo.<\/p>\n<p>El siguiente resultado es muy importante:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Si \\(p\\in\\mathbb{Z}\\) es primo y \\(p|(a\\,b)\\), entonces, \u00f3 \\(p|a\\) \u00f3 \\(p|b\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Para determinar los primos podemos utilizar la <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Criba_de_Erat%C3%B3stenes\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">criba de Erat\u00f3stenes<\/a>.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio<\/strong>: \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros primos hay menores de 50?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1c() {\n  var htmlShow1c = document.getElementById(\"html-show1c\");\n  if (htmlShow1c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1c\" style=\"display: none;\">\nLos primos menores de 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.\n<\/div>\n<hr>\n<p>Como vemos al utilizar la criba de Erat\u00f3stenes, observamos que los n\u00fameros primos aparecen constantemente; en efecto, el teorema siguiente lo justifica.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: El conjunto de los n\u00fameros primos es infinito<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Terminamos con el Teorema fundamental de la aritm\u00e9tica:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Todo entero positivo se puede representar de forma \u00fanica, salvo el orden, como producto de factores primos.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy pr\u00e1cticas:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Sean \\(n,m\\in \\mathbb{Z}-\\{-1,0,1\\}\\), con \\(n=p_1p_2\\cdots p_r\\) y \\(m=q_1q_2\\cdots q_s\\), sus descomposiciones en factores primos, y \\(u_j\\in\\{-1,1\\}\\forall j\\in\\mathbb{N}\\). Entonces, \\[n|m\\Leftrightarrow \\forall i\\in\\{1,\\ldots, r\\}\\exists j\\in\\{1,\\ldots, r\\}\\,|\\, p_i=q_ju_j\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Como hemos visto, la criba de Erat\u00f3stenes nos proporciona un m\u00e9todo para obtener los n\u00fameros primos menores de cierto valor. As\u00ed, si queremos conocer si un n\u00famero, \\(n\\), es primo o compuesto, basta con dividirlo con los primos menores a \\(n\\), aunque no tenemos porque dividirlo por todos los \\(p&lt;n\\): <\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Si un entero positivo es compuesto, entonces existe un primo \\(p&lt;\\sqrt{n}\\) que lo divide.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica discreta - N\u00fameros primos. Ejemplo 1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/TW8-Dl4wdbw?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio<\/strong>: Determinar el siguiente n\u00famero primo a 512.<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a() {\n  var htmlShow1a = document.getElementById(\"html-show1a\");\n  if (htmlShow1a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a\" style=\"display: none;\">\nConsideremos 513. Como \\(22^2<513<23^2=529\\), si tiene un factor primo, este debe ser menor de 23. Resulta que 3|513, por tanto, no es primo. Probamos con el siguiente impar: 517 (omitimos el 515 por ser divisible por 5). Tenemos que 11|517. Probamos con 521 y vemos que no hay divisores entre los 22 primeros n\u00fameros; luego es primo.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio<\/strong>: \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros primos hay entre 512 y 535?<\/p><\/blockquote>\n<h2>Propiedades<\/h2>\n<p>\u2063Adem\u00e1s,podemos obtener las siguientes propiedades:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Sean \\(n\\in \\mathbb{Z}^+\\), con \\(n=p_1^{\\alpha_1}p_2^{\\alpha_2}\\cdots p_r^{\\alpha_r}\\) la descomposici\u00f3n en factores primos con \\(p_i\\neq p_j\\forall j\\neq i,\\alpha_i\\in\\mathbb{N}\\forall i\\in\\{1,\\ldots, r\\}\\). Entonces<\/p>\n<ul>\n<li><em>(Divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> los divisores de \\(n\\) son los t\u00e9rminos del producto \\[(1+p_1+p_1^2+\\ldots+p_1^{\\alpha_1})\\cdots(1+p_r+p_r^2+\\ldots+p_r^{\\alpha_r})\\]<\/li>\n<li><em>(N\u00famero de divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> \\[(\\alpha_1+1)(\\alpha_2+1)\\cdots(\\alpha_r+1)\\]<\/li>\n<li><em>(Suma de los divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> \\[\\frac{p_1^{\\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\\,\\frac{p_2^{\\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\\cdots\\frac{p_r^{\\alpha_r+1}-1}{p_r-1}\\]<\/li>\n<li><em>(Producto de los divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> el producto de los divisores de \\(n\\) es \\(\\sqrt{n^k}\\) siendo \\(k\\) el n\u00famero de divisores de \\(n\\).<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio<\/strong>: \u00bfCu\u00e1ntos divisores que terminen en 7 tiene el n\u00famero 2541?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2b() {\n  var htmlShow2b = document.getElementById(\"html-show2b\");\n  if (htmlShow2b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2b\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(2541=3\\cdot 7\\cdot 11^2\\), luego los divisores se corresponden con los sumandos de \\[\\begin{multline*}(1+3^1)(1+7^1)(1+11^1+11^2)=1+3+7+11+\\\\ +21+33+77+121+231+363+847+2541.\\end{multline*}\\]<br \/>\nAs\u00ed, los divisores que terminan en 7 son 7, 77 y 847.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio<\/strong>: \u00bfCu\u00e1ntos divisores que contengan el 7 tiene el n\u00famero 9537?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2b1() {\n  var htmlShow2b1 = document.getElementById(\"html-show2b1\");\n  if (htmlShow2b1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2b1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2b1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2b1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2b1\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(9537=3\\cdot 11\\cdot 17^2\\), luego los divisores se corresponden con los sumandos de \\[\\begin{multline*}(1+3^1)(1+11^1)(1+17^1+17^2)=1+3+11+17+33+\\\\ +51+187+289+561+867+3179+9537.\\end{multline*}\\]<br \/>\nAs\u00ed, los divisores que contienen el 7 son 17, 187, 867, 3179 y 9537.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio<\/strong>: \u00bfCu\u00e1ntos divisores tiene el n\u00famero 11106?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2c() {\n  var htmlShow2c = document.getElementById(\"html-show2c\");\n  if (htmlShow2c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2c\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(11106=2\\cdot 3^2\\cdot 617\\), luego el n\u00famero de divisores es \\((1+1)\\cdot (2+1)\\cdot(1+1)=12\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Sean \\(m,n\\in \\mathbb{Z}^+\\), con \\(m=p_1^{\\alpha_1}p_2^{\\alpha_2}\\cdots p_k^{\\alpha_k}\\cdot q_1\\) y \\(n=p_1^{\\beta_1}p_2^{\\beta_2}\\cdots p_k^{\\beta_k}\\cdot q_2\\) la descomposici\u00f3n en factores primos comunes, siendo \\(q_1\\neq q_2\\) y sin factores comunes. Entonces<\/p>\n<p>\\[{\\displaystyle \\textbf{mcd}(m,n)=p_{1}^{\\operatorname {min} (\\alpha _{1},\\beta _{1})}\\cdots p_{k}^{\\operatorname {min} (\\alpha _{k},\\beta _{k})}}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular \\(\\textbf{mcd}(2800733^3,255255^3)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Discreta - M\u00e1ximo Com\u00fan Divisor. Ej7 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/qC7-HugliVI?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular \\(\\textbf{mcd}(86295023265, 20311518645)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv23c() {\n  var htmlShow23c = document.getElementById(\"html-show23c\");\n  if (htmlShow23c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow23c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow23c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv23c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show23c\" style=\"display: none;\">\nObservemos que los n\u00fameros dados no entran en nuestra calculadora. Sin embargo, vemos que ambos terminan en 5, luego sabemos que 5 es un divisor com\u00fan. Es m\u00e1s, con una simple operaci\u00f3n sabemos que 3 tambi\u00e9n es un divisor com\u00fan (la suma de sus d\u00edgitos es divisible por tres). Por las propiedades de divisibilidad, ambos n\u00fameros tambi\u00e9n son divisibles por 15.<\/p>\n<p>Intentemos hacer el algoritmo de la divisi\u00f3n de 86295023265 y 20311518645 entre 15.<br \/>\n\\[\\begin{align*}<br \/>\n2933333332215&#038;=5753001551\\cdot 15\\\\ 20311518645&#038;=1354101243\\cdot 15\\end{align*}\\]<br \/>\nAhora solo nos resta calcular \\(d=\\textbf{mcd}(5753001551, 1354101243)\\), y el \\(\\textbf{mcd}(86295023265, 20311518645)=d\\cdot 15\\).<br \/>\nUtilicemos el algoritmo de Euclides:<br \/>\n\\[\\begin{align*}<br \/>\n5753001551&#038;=(4)1354101243+336596579\\\\<br \/>\n1354101243&#038;=(4)336596579+7714927\\\\<br \/>\n336596579&#038;=(43)7714927+4854718\\\\<br \/>\n7714927&#038;=(1)4854718+2860209\\\\<br \/>\n4854718&#038;=(1)2860209+1994509\\\\<br \/>\n2860209&#038;=(1)1994509+865700\\\\<br \/>\n1994509&#038;=(2)865700+263109\\\\<br \/>\n865700&#038;=(3)263109+76373\\\\<br \/>\n263109&#038;=(3)76373+33990\\\\<br \/>\n76373&#038;=(3)33990+8393\\\\<br \/>\n33990&#038;=(2)8393+418\\\\<br \/>\n8393&#038;=(20)418+33\\\\<br \/>\n418&#038;=(12)33+22\\\\<br \/>\n33&#038;=(1)22+11\\\\<br \/>\n22&#038;=(2)11+0\\\\<br \/>\n\\end{align*}\\]<\/p>\n<p>Por tanto, \\(\\textbf{mcd}(5753001551, 1354101243)=11\\) y el resultado que buscamos ser\u00e1 \\[\\textbf{mcd}(86295023265, 20311518645)=11\\cdot 15=165\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>:  Dados dos n\u00fameros enteros \\({\\textstyle a=\\prod _{p}p^{a_{p}}}\\) y \\({\\textstyle b=\\prod _{p}p^{b_{p}}}\\), entonces \\[\\mathbf{mcm}(a,b)=\\prod _{p}p^{\\max(a_{p},b_{p})}.\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo: <\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(\\mathbf{mcm}(356,248)\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2t2() {\n  var htmlShow2t2 = document.getElementById(\"html-show2t2\");\n  if (htmlShow2t2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2t2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2t2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2t2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2t2\" style=\"display: none;\">\nVemos que \\(356=2^2\\cdot 89\\) y \\(248=2^3\\cdot 31\\), entonces \\[\\mathbf{mcm}(356,248)=2^3\\cdot 31\\cdot 81=22072.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Funci\u00f3n \\(\\varphi\\) de Euler<\/h2>\n<p>Recordemos que la funci\u00f3n \\(\\varphi\\) de Euler a una funci\u00f3n, \\(\\varphi:\\mathbb{Z}^+\\to\\mathbb{Z}^+\\), dada por \\[\\varphi (n)=|\\{m\\in\\mathbb{Z}^+|m&lt;n, \\mathbf{mcd}(n,m)=1\\}|.\\] <\/p>\n<p>Esta funci\u00f3n cumple propiedades muy interesantes, como<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li>Si \\(p\\) es primo, \\(\\varphi (p)=p-1\\)<\/li>\n<li>Si \\(p\\) es primo, \\(\\varphi (p^\\alpha)=p^{\\alpha -1}(p-1)\\)<\/li>\n<li>Si \\(mcd(n,m)=1\\) es \\(\\varphi (nm)=\\varphi (n)\\varphi (m)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular \\(\\varphi(939176)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2b134() {\n  var htmlShow2b134 = document.getElementById(\"html-show2b134\");\n  if (htmlShow2b134.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2b134.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2b134.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2b134()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2b134\" style=\"display: none;\">\nObservemos que \\[939176=2^3\\cdot 7\\cdot 31 \\cdot 541\\] Por tanto, \\[\\varphi(939176)=2^2(2-1)\\cdot (7-1)\\cdot (31-1) \\cdot (541-1)=388800\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Producto de Euler<\/h3>\n<p>La descomposici\u00f3n de un n\u00famero entero en sus factores primos nos permite formular un resultado pr\u00e1ctico para calcular la funci\u00f3n \\(\\varphi\\)<\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(n\\in\\mathbb{Z}\\) es \\({\\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\\cdots p_{r}^{k_{r}}}\\), entonces \\[\\varphi (n)=n\\prod_{i=1}^r\\left(1-\\frac{1}{p_i}\\right)\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular \\(\\varphi(1433671404)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2d34() {\n  var htmlShow2d34 = document.getElementById(\"html-show2d34\");\n  if (htmlShow2d34.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2d34.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2d34.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2d34()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2d34\" style=\"display: none;\">\nObservemos que \\(1433671404=2^2\\cdot 3\\cdot 11^2\\cdot 17\\cdot 241^2\\), luego<br \/>\n\\[\\begin{multline*}\\varphi (1433671404)=1433671404\\left(1-\\frac{1}{2}\\right) \\left(1-\\frac{1}{3}\\right)\\\\ \\left(1-\\frac{1}{11}\\right)\\left(1-\\frac{1}{17}\\right)\\left(1-\\frac{1}{241}\\right)=407193600\\end{multline*}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Factorizaci\u00f3n de Fermat<\/h2>\n<p>La factorizaci\u00f3n de un n\u00famero se ha abordado extensamente; nosotros daremos una iniciaci\u00f3n con un m\u00e9todo sencillo, que servir\u00e1 de introducci\u00f3n para los alumnos que deseen seguir explorando este campo.<\/p>\n<p>El m\u00e9todo de factorizaci\u00f3n de Fermat se basa en la representaci\u00f3n de un n\u00famero natural impar como la diferencia de dos cuadrados:<br \/>\n\\[n=a^2-b^2.\\]<\/p>\n<p>Esa diferencia se puede factorizar algebraicamente como \\((a+b)(a-b)\\); si ninguno de esos factores es igual a 1, se trata de una factorizaci\u00f3n propia de \\(n\\).<\/p>\n<p>El procedimiento consiste en buscar un n\u00famero \\(x\\) mayor que \\(\\sqrt{n}\\) y tal que \\(x^2-n\\) sea un cuadrado perfecto; entonces habremos encontrado la descomposici\u00f3n buscada.<\/p>\n<p>Veamos un ejemplo. Tomemos el n\u00famero \\(n=10058886427\\); la parte entera de su ra\u00edz cuadrada es \\(\\left \\lfloor \\sqrt{n} \\right \\rfloor=100293\\).<\/p>\n<ul>\n<li>Sea \\(x=100293+1\\), calculamos \\(\\left \\lfloor x^2-n \\right \\rfloor=9\\)<\/li>\n<li>Como 9 es un cuadrado perfecto, la descomposici\u00f3n que buscamos es:\n<ul>\n<li>\\(n=x^2-9\\); es decir, \\(n=(x-3)(x+3)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Por tanto, \\(n=100291\\cdot 100297\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Este ejemplo tiene una sola iteraci\u00f3n, pero puede complicarse m\u00e1s todav\u00eda:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(n=10233712469\\)<\/li>\n<li>\\(x=\\left \\lfloor \\sqrt{n} \\right \\rfloor+1=101162\\)<\/li>\n<li>Repetimos\n<ul>\n<li>Es decimal \\(\\sqrt{x^2-n}\\) entonces\n<ul>\n<li>\\(x=x+1\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>en caso contrario\n<ul>\n<li>\\(n=(x-\\sqrt{x^2-n})\\cdot (x+\\sqrt{x^2-n})\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>En este ejemplo:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\sqrt{101162^2-n}=194.35\\)<\/li>\n<li>\\(x=101163 \\to \\sqrt{101163^2-n}=490\\)<\/li>\n<li>\\(n=(101163-490)\\cdot (101163+490)=100673\\cdot 101653\\)<\/li>\n<\/ol>\n<p>El algoritmo funciona m\u00e1s r\u00e1pido cuando \\(n\\) es producto de dos factores cercanos; en otro caso puede alargarse. Veamos otros ejemplo:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(n=2615836543\\)<\/li>\n<li>\\(\\sqrt{n}=51145.25\\)<\/li>\n<li>\\(x_1=51145+1 \\to \\sqrt{x_1^2-n}=277.0794\\)<\/li>\n<li>\\(x_2=51146+1 \\to \\sqrt{x_2^2-n}=423.1619\\)<\/li>\n<li>\\(x_3=51147+1 \\to \\sqrt{x_3^2-n}=530.4347\\)<\/li>\n<li>\\(x_4=51148+1 \\to \\sqrt{x_4^2-n}=619.4013\\)<\/li>\n<li>\\(x_5=51149+1 \\to \\sqrt{x_5^2-n}=697.1062\\)<\/li>\n<li>\\(x_6=51150+1 \\to \\sqrt{x_6^2-n}=766.9798\\)<\/li>\n<li>\\(x_7=51151+1 \\to \\sqrt{x_7^2-n}=831\\)<\/li>\n<li>\\(n=(51152-831)\\cdot (51152+831)=50321\\cdot 51983\\)<\/li>\n<\/ol>\n<p>En este caso 50321 es primo, pero 51983 no. Ahora habr\u00eda que factorizar este n\u00famero.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(p\\) el mayor factor primo de 10342962241, \u00bfcu\u00e1nto es \\(\\mathbf{mod}(p,83)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1d() {\n  var htmlShow1d = document.getElementById(\"html-show1d\");\n  if (htmlShow1d.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1d.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1d.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1d()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1d\" style=\"display: none;\">\nLo primero que tendremos que hacer es factorizar \\(N\\)=10342962241. Para ello utilizaremos la factorizaci\u00f3n de Fermat: sea \\[x_1=\\lfloor\\sqrt{N}\\rfloor+1=101701\\] Calculemos, mientras la ra\u00edz cuadrada no sea entera,<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n &#038;\\to \\sqrt{x_1^2-N}=362.16 \\\\<br \/>\nx_2=x_1+1 &#038;\\to \\sqrt{x_2^2-N}=578.41\\\\<br \/>\nx_3=x_2+1 &#038;\\to \\sqrt{x_3^2-N}=733.46\\\\<br \/>\nx_4=x_3+1 &#038;\\to \\sqrt{x_4^2-N}=861.03\\\\<br \/>\nx_5=x_4+1 &#038;\\to \\sqrt{x_5^2-N}=972\\\\<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nComo \\(x_5^2-N=972^2\\), resulta \\[10342962241=(101705-972)\\cdot(101705+972)\\] Y el primo que buscamos es 102677. Ahora calculamos el m\u00f3dulo que nos piden:\\[\\mathbf{mod}(102677,83)=6\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Factorizaci\u00f3n con Casio<\/h3>\n<p>La calculadora Casio fx-991 permite factorizar n\u00fameros. Veamos un ejemplo:<\/p>\n<p><iframe src=\"https:\/\/docs.google.com\/gview?url=http:\/\/uploads.jesussoto.es\/doc\/FactorizacionprimosCASIO.pdf&#038;embedded=true\" frameborder=\"0\" style=\"width:650px;height:400px;\"><\/iframe>\n<\/p>\n<p>Sin embargo, como nos dice, en el modo COMP, puede factorizar un entero positivo de no m\u00e1s de 10 d\u00edgitos en factores primos. Veamos el procedimiento para resolver algunos de los ejercicios cuando tenemos m\u00e1s de 10 d\u00edgitos<\/p>\n<p>Sea \\(N=(d_kd_{k-1}d_{k-2}\\cdots d_{1}d_{0})_{10}\\) expresado en base decimal. As\u00ed \\(N\\) se puede poner en formato \\[N=(d_kd_{k-1}d_{k-2}\\cdots d_{m+1})_{10}\\, 10^{m+1}+ (d_{m}\\cdots d_{0})_{10}\\]<\/p>\n<p>Por la propiedades de divisibilidad que conocemos, si \\[a|(d_kd_{k-1}d_{k-2}\\cdots d_{m+1})_{10}\\] y \\[a|(d_{m}d_{m-1}\\cdots d_{0})_{10},\\] entonces \\(a|N\\), y por tanto \\(a\\) es un factor de \\(N\\). De este modo podemos buscar factores que nos faciliten reducir los d\u00edgitos hasta que quepan en la calculadora.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio<\/strong>: Encontrar la factorizaci\u00f3n de 930823188559.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1c3() {\n  var htmlShow1c3 = document.getElementById(\"html-show1c3\");\n  if (htmlShow1c3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1c3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1c3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1c3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1c3\" style=\"display: none;\">\nObservemos que \\[930823188559=93082\\cdot 10^7+3188559.\\] Si buscamos la descomposici\u00f3n de 93082 y de 3188559 de manera independiente y tienen factores comunes, entonces dichos factores tambi\u00e9n lo ser\u00e1n de 930823188559.<br \/>\n\\[\\begin{array}{l}<br \/>\n93082= 2\\cdot 11 \\cdot 4231 \\\\<br \/>\n3188559=3\\cdot 11 \\cdot 23 \\cdot 4201<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\] Luego \\[\\begin{align*}<br \/>\n930823188559&#038;=11\\cdot (8462\\cdot10^7+289869) \\\\<br \/>\n &#038;=11\\cdot 84620289869<br \/>\n\\end{align*}\\]<br \/>\nAhora tenemos un n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que factorizar, 84620289869, dando \\[930823188559=11\\cdot 41\\cdot 73\\cdot 2551\\cdot 11083.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>N\u00fameros primos en la web<\/h3>\n<p>Veamos algunas p\u00e1ginas sobre n\u00fameros primos interesantes:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/primes.utm.edu\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">The PrimePages: prime number research &#038; records<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.primegrid.com\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">PrimeGrid<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.prothsearch.com\/fermat.html\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Fermat numbers<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Factorizaci\u00f3n con Casio ClassWiz<\/h3>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Casio ClassWiz- C\u00f3mo factorizar con la calculadora\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/twvViiyqVlo?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<hr \/>\n<h2>Congruencias<\/h2>\n<p>Utilicemos wiki para definir qu\u00e9 entendemos por congruencia:<\/p>\n<blockquote>\n<p><em>un t\u00e9rmino usado en la teor\u00eda de n\u00fameros, para designar que dos n\u00fameros enteros \\(a\\) y \\(b\\) tienen el mismo resto al dividirlos por un n\u00famero natural \\(m\\neq 0\\), llamado el m\u00f3dulo; esto se expresa utilizando la notaci\u00f3n \\[a \\equiv b \\pmod{m}.\\]<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Esta definici\u00f3n nos permit\u00eda construir clases de equivalencia de n\u00fameros enteros, tambi\u00e9n llamadas clases de congruencia, que pueden ser dotadas de un sistema aritm\u00e9tico. Los conjuntos de estas clases son los conocidos \\(\\mathbb{Z}_n\\), que poseen estructura de anillo.<\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Propiedades:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Si \\({\\displaystyle a\\equiv b{\\pmod {m}}}\\), entonces tambi\u00e9n \\({\\displaystyle b\\equiv a{\\pmod {m}}}\\)<\/li>\n<li>Si \\({\\displaystyle a\\equiv b{\\pmod {m}}}\\) y \\({\\displaystyle b\\equiv c{\\pmod {m}}}\\), entonces tambi\u00e9n \\({\\displaystyle a\\equiv c{\\pmod {m}}}\\).<\/li>\n<li>Si \\(a\\) es coprimo con \\(m\\) y \\({\\displaystyle a\\equiv b{\\pmod {m}}}\\), entonces \\(b\\) tambi\u00e9n es coprimo con \\(m\\).<\/li>\n<li>Si \\({\\displaystyle a\\equiv b{\\pmod {m}}}\\) y \\(k\\) es un entero, entonces tambi\u00e9n se cumple\n<ul>\n<li>\\({\\displaystyle a(\\pm)k\\equiv b(\\pm)k{\\pmod {m}}}\\),<\/li>\n<li>\\({\\displaystyle ka\\equiv kb{\\pmod {m}}}\\),<\/li>\n<li>\\({\\displaystyle a^{k}\\equiv b^{k}{\\pmod {m}}\\qquad k&gt;0}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Si adem\u00e1s \\(k\\) es coprimo con \\(m\\) entonces podemos encontrar un entero \\({\\displaystyle k^{-1}\\,}\\), tal que \\({\\displaystyle kk^{-1}\\equiv 1{\\pmod {m}}}\\)\n<ul>\n<li>En este caso  tiene perfecto sentido hablar de la divisi\u00f3n y podemos decir que \\({\\displaystyle {\\frac {a}{k}}\\equiv {\\frac {b}{k}}{\\pmod {m}}}\\), entendiendo que   \\({\\displaystyle a\/k=ak^{-1}\\,}\\).<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<p>Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual m\u00f3dulo:<br \/>\n\\({\\displaystyle a\\equiv b{\\pmod {m}}}\\) y \\({\\displaystyle c\\equiv d{\\pmod {m}}}\\),<br \/>\npodemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que tambi\u00e9n se verifican las congruencias<\/p>\n<ul>\n<li>\\({\\displaystyle a+c\\equiv b+d{\\pmod {m}}}\\)<\/li>\n<li>\\({\\displaystyle ac\\equiv bd{\\pmod {m}}}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Todas estas y m\u00e1s las ten\u00e9is en estos enlaces:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Congruencia_(teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros)\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Congruencia<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Aritm%C3%A9tica_modular\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Aritm\u00e9tica modular<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Observar que encontrar el resto del algoritmo de la divisi\u00f3n de \\(a\\) dividido entre \\(b\\) es equivalente a resolver la ecuaci\u00f3n de congruencias \\[a\\equiv X{\\pmod {b}}\\]<\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Ejercicio<\/strong>: Encontrar el resto de la divisi\u00f3n de 93082318855943 entre 5.\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1c3t() {\n  var htmlShow1c3t = document.getElementById(\"html-show1c3t\");\n  if (htmlShow1c3t.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1c3t.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1c3t.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1c3t()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1c3t\" style=\"display: none;\">\nObservemos que \\[93082318855943=9308231885594\\cdot 10+3.\\]<br \/>\nAhora aplicamos las propiedades de congruencias:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n93082318855943&#038;=9308231885594\\cdot 10+3\\\\ &#038;\\equiv (((9308231885594\\cdot 10){\\pmod {5}})+(3{\\pmod {5}})) {\\pmod {5}}\\\\<br \/>\n&#038;\\equiv (0+3){\\pmod {5}}\\\\<br \/>\n&#038;\\equiv 3{\\pmod {5}}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfEn qu\u00e9 cifra termina \\(123^{321}\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2d3() {\n  var htmlShow2d3 = document.getElementById(\"html-show2d3\");\n  if (htmlShow2d3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2d3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2d3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2d3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2d3\" style=\"display: none;\">\nObservar que  responder a la pregunta es equivalente a resolver la ecuaci\u00f3n \\[123^{321} \\equiv X{\\pmod {10}}.\\] Como \\(123 \\equiv 3{\\pmod {10}}\\), ser\u00e1 \\[123^{321} \\equiv 3^{321}{\\pmod {10}}.\\] Ahora es suficiente con ver que \\(9^2 \\equiv 1{\\pmod {10}}\\), luego<br \/>\n\\[3^{321} \\equiv 3^{4\\cdot 80+1}{\\pmod {10}}\\] Ahora, \\(3^{4\\cdot 80+1}=(9^2)^{80}3^1\\), luego \\[3^{321} \\equiv ((9^2)^{80}3^1){\\pmod {10}}\\to 3^{321} \\equiv 3{\\pmod {10}}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>El inverso en \\(\\mathbb{Z}_n\\)<\/h2>\n<p>Uno de nuestros cometidos ser\u00e1 resolver la ecuaci\u00f3n de congruencias \\[aX\\equiv b {\\pmod {m}}\\]<\/p>\n<p>Recordemos que \\(\\mathbb{Z}_n\\) es un anillo y solo si \\(n\\) es primo todos los elementos tiene inverso. As\u00ed un problema ser\u00e1 saber si un elemento de \\(\\bar{b}\\in\\mathbb{Z}_n \\) tiene inverso. Esto solo se nos cumplir\u00e1 en el caso de que \\(\\mathbf{mcd}(b,n)=1\\). Pero lo importante es saber c\u00f3mo calcular el inverso. <\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Proposici\u00f3n<\/strong>: Si \\(s,r\\in\\mathbb{Z}\\) son tales que \\(ns+ar=\\mathbf{mcd}(n,a)=1\\), entonces \\[ar\\equiv 1{\\pmod {n}}.\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Este resultado nos dice que la soluci\u00f3n de Bezout nos ofrece el inverso en \\(\\mathbb{Z}_n\\) para los elementos no divisibles por \\(n\\).<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular el inverso de \\(\\bar{7}\\) en \\(\\mathbb{Z}_{201} \\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a() {\n  var htmlShow2a = document.getElementById(\"html-show2a\");\n  if (htmlShow2a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Discreta - Unidades en Zn. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/67bZJouLIiA?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Para encontrar este inverso necesitamos la soluci\u00f3n de B\u00e9zout, que podemos hallar mediante el algoritmo extendido de euclides. As\u00ed pues, la ecuaci\u00f3n \\[aX\\equiv b {\\pmod {n}}\\] donde \\(\\mathbf{mcd}(a,n)=1\\) tendr\u00e1 soluci\u00f3n y esta vendr\u00e1 dada por \\[X\\equiv a^{-1}b {\\pmod {n}},\\] donde \\(a^{-1}\\) es el inverso de \\(a\\) en \\(\\mathbb{Z}_{n}\\).<\/p>\n<p>Recordad, si \\(n\\) es primo entonces \\(\\mathbb{Z}_{n}\\) es un cuerpo y siempre existir\u00e1 el inverso. Si \\(n\\) no es primo entonces solo existira el inverso si \\(\\mathbf{mcd}(a,n)=1\\).<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Resolver \\(5X\\equiv 52 {\\pmod {53}}\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a3w() {\n  var htmlShow2a3w = document.getElementById(\"html-show2a3w\");\n  if (htmlShow2a3w.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a3w.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a3w.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a3w()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a3w\" style=\"display: none;\">\nComo \\(\\mathbf{mcd}(53,5)=1\\) entones existe \\(a\\) tal que \\(5a\\equiv 1 {\\pmod {53}}\\). Para hallar \\(a\\) buscamos la soluci\u00f3n de B\u00e9zout de \\(\\mathbf{mcd}(53,5)=1\\), que nos da (-3,32), luego \\(5\\cdot 32\\equiv 1 {\\pmod {53}}\\). Por tanto \\[X\\equiv 32\\cdot 52 {\\pmod {53}}\\to X\\equiv 21 {\\pmod {53}}.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfPara cu\u00e1ntos valores de \\(0&lt; c&lt;10\\) la ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica \\(54x+24y=c\\) tiene soluci\u00f3n entera?<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>1<\/li>\n<li>2<\/li>\n<li>3<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p id=\"htmlContent\" class=\"text-html\"><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Discreta - Ecuaci\u00f3n Diof\u00e1ntica: EJ.6 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/U3cRmqg8YdU?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la clase de hoy trataremos los n\u00fameros primos. Llamaremos n\u00famero primo a todo n\u00famero entero \\(p\\in\\mathbb{Z}\\), \\(p&gt;1\\), que no tiene divisores m\u00e1s que el 1 y el mismo. El siguiente resultado&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-803","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica-discreta"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/803","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=803"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/803\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":876,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/803\/revisions\/876"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=803"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=803"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=803"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}