{"id":79,"date":"2026-09-18T10:25:12","date_gmt":"2026-09-18T08:25:12","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=79"},"modified":"2026-09-04T17:29:45","modified_gmt":"2026-09-04T15:29:45","slug":"79","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=79","title":{"rendered":"ALG: Matrices"},"content":{"rendered":"<p>Comenzamos con el tema de Matrices, donde hoy veremos:<\/p>\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">\n<p dir=\"ltr\">Definici\u00f3n<\/p>\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">Matriz columna, matriz fila<\/li>\n<li dir=\"ltr\">Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, tri\u00e1ngular\u2026<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li dir=\"ltr\">\n<p dir=\"ltr\">Operaciones con matrices<\/p>\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">Suma de matrices<\/li>\n<li dir=\"ltr\">Multiplicaci\u00f3n de escalar por matriz.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Lo primero ser\u00e1 definir las matrices. Llamamos matriz fila a una disposici\u00f3n de \\(p\\) escalares de un cuerpo colocado en una fila por \\(p\\) columnas, \\(A_f=[a_1\\,a_2\\,\\ldots\\,a_p]\\), y del mismo modo definimos matriz columna disponiendo los \\(p\\) escalares sobre un columna: \\(B_c=\\begin{bmatrix}b_1\\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_p\\end{bmatrix}\\).<\/p>\n<p>De esta forma una matriz de \\(n\\times m\\) a una disposici\u00f3n de \\(n\\) matrices fila o \\(m\\) matrices columna;<br \/>\n\\[\\begin{bmatrix}<br \/>\na_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} &amp;\\ldots &amp; a_{1m} \\\\<br \/>\na_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} &amp;\\ldots &amp; a_{2m} \\\\<br \/>\n\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp;\\ldots &amp; \\vdots \\\\<br \/>\na_{n1} &amp; a_{n2} &amp; a_{n3} &amp;\\ldots &amp; a_{nm}<br \/>\n\\end{bmatrix}.\\]<\/p>\n<p>Notar que los elementos \\(a_{ij}\\in\\mathbb{K}\\), siendo \\(\\mathbb{K}\\) un cuerpo, que habitualmente ser\u00e1 los reales o los complejos.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[x+2,8,-3],[1,2y,2x],[7,-2,y+2]] y \\(B\\)=[[2x+6,8,-3],[1,18,-8],[7,-2,11]], tales que \\(A=B\\). \u00bfCu\u00e1l es la suma de \\(x+y\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv43() {\n  var htmlShow43 = document.getElementById(\"html-show43\");\n  if (htmlShow43.style.display === \"none\") {\n    htmlShow43.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow43.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv43()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show43\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Matrices. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6E4ey1evWNs?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Matrices particulares<\/h2>\n<p>Tenemos diferentes matrices que por sus caracter\u00edsticas se les denomina de forma especial:<\/p>\n<blockquote><p><strong>Matriz cuadrada<\/strong>: diremos que \\(A=[a_{ij}]\\) es cuadrada si \\(i=1,\\ldots,n\\) y \\(j=1,\\ldots,n\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz identidad<\/strong> de orden \\(n\\) \\[I_2= \\begin{bmatrix}<br \/>\n1 &#038;  0\\\\<br \/>\n0 &#038;  1\\\\<br \/>\n\\end{bmatrix}, I_3=\\begin{bmatrix}<br \/>\n1 &#038; 0 &#038; 0 \\\\<br \/>\n0 &#038; 1 &#038; 0 \\\\<br \/>\n0 &#038; 0 &#038; 1 \\\\<br \/>\n\\end{bmatrix},\\ldots\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz diagonal<\/strong>: una matriz donde todos los valores que no est\u00e9n en la diagonal principal son cero,  \\[\\begin{bmatrix}<br \/>\na_1 &#038; 0 &#038; 0 &#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n0 &#038; a_2 &#038; 0 &#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n0 &#038; 0 &#038; a_3 &#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n\\vdots&#038;\\vdots&#038;\\vdots&#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;0&#038;\\cdots&#038;a_n<br \/>\n\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz traspuesta<\/strong>: diremos que \\(A^t\\) es la matriz traspuesta de \\(A=[a_{ij}]\\) si \\(A^t=[a_{ji}]\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz sim\u00e9trica<\/strong>: diremos que \\(A\\) es sim\u00e9trica si \\(A=A^t\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz antisim\u00e9trica<\/strong>: Una matriz antisim\u00e9trica es una matriz cuadrada \\(A\\) cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relaci\u00f3n \\(A^t=-A\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz triangular<\/strong>: una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos est\u00e1n por encima o por debajo de su diagonal principal o su diagonal secundaria son cero. <\/p>\n<p>Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma: \\[{\\displaystyle U=\\left[{\\begin{array}{ccccccc}u_{11}&#038;u_{12}&#038;u_{13}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{1n}\\\\0&#038;u_{22}&#038;u_{23}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{2n}\\\\0&#038;0&#038;u_{33}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{3n}\\\\.&#038;.&#038;..&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\0&#038;0&#038;0&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{nn}\\\\\\end{array}}\\right]}\\]<\/p>\n<p>An\u00e1logamente, se dice que es una matriz triangular inferior una matriz de la forma: \\[{\\displaystyle L=\\left[{\\begin{array}{ccccccc}l_{11}&#038;0&#038;0&#038;.&#038;.&#038;.&#038;0\\\\l_{21}&#038;l_{22}&#038;0&#038;.&#038;.&#038;.&#038;0\\\\l_{31}&#038;l_{32}&#038;l_{33}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;0\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\l_{n1}&#038;l_{n2}&#038;l_{n3}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;l_{nn}\\\\\\end{array}}\\right]}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<h2>Operaciones con matrices<\/h2>\n<p>Ahora podemos definir la suma de matrices,\\(A=[a_{ij}]_{nxm}\\) y \\(B=[b_{ij}]_{n\\times m}\\), como otra matriz de la siguiente forma:<br \/>\n\\[A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{n\\times m}.\\]<br \/>\nY el producto por escalar, \\(\\lambda\\in \\mathbb{K}\\), de la forma:<br \/>\n\\[\\lambda A=[\\lambda a_{ij}]_{n\\times m}.\\]<\/p>\n<p>Con estas operaciones se cumple: Consideremos \\(\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{K}\\) y \\(A,B,C\\in M_{n\\times m}(\\mathbb{K})\\), siendo \\(\\mathbb{K}\\) el conjunto de los n\u00fameros reales o complejos,<\/p>\n<ul>\n<li>\\((A+B)+C=A+(B+C)\\)<\/li>\n<li>\\(A+B=B+A\\)<\/li>\n<li>\\(A+0=0+A\\), siendo 0 la matriz de \\(m\\times n\\) elementos todos 0.<\/li>\n<li>Existe \\(B\\in M_{m\\times m}(\\mathbb{K})\\) tal que \\(A+B=B+A=0\\), a esta matriz la llamamos opuesta de \\(A\\), que designamos por \\(-A\\).<\/li>\n<li>\\(\\lambda (A+B)=\\lambda A+\\lambda B\\)<\/li>\n<li>\\((\\lambda + \\mu)A=\\lambda A+\\mu A\\)<\/li>\n<li>\\((\\lambda \\mu)A=\\lambda (\\mu A)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]] y \\(B\\)=[[0,-1,5],[1,6,2],[1,8,0]]. \u00bfCu\u00e1l es la suma de los elementos de la diagonal principal de \\(2A-3B\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\n8\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]] y \\(B\\)=[[0,-1,5],[1,6,2],[1,8,0]]. \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(\\lambda\\) para que la suma de los elementos de la diagonal principal de \\(\\lambda A-3B\\) sea -18? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n\\(\\lambda=0\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Dadas las matrices \\(A=\\begin{bmatrix}1&#038;-1\\\\ 2&#038;3\\end{bmatrix}\\) y \\(B=\\begin{bmatrix}-1&#038;0\\\\ 2&#038;3\\end{bmatrix}\\). \u00bfCu\u00e1l es la matriz \\(X\\) que cumple \\(3(2A+B+X)=5(X-A+B)\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv6() {\n  var htmlShow6 = document.getElementById(\"html-show6\");\n  if (htmlShow6.style.display === \"none\") {\n    htmlShow6.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow6.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv6()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show6\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Operaciones con Matrices. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/0Yr-3v2XvUY?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Lo siguiente que hemos visto es la Multiplicaci\u00f3n de matrices:<\/p>\n<p>Definimos el producto de una matriz fila \\(A_f\\) por una matriz columna \\(B_c\\), siempre que el n\u00famero de columnas de la matriz fila coincida con el n\u00famero de filas de la matriz columna, como el producto escalar consider\u00e1ndolos vectores la matriz fila \\(A_f\\) y la traspuesta de \\(B_c\\):<br \/>\n\\[A_f\\cdot B_c=[a_1\\,a_2\\,\\ldots\\,a_p]\\bullet \\begin{bmatrix}b_1\\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_p\\end{bmatrix}=(a_1\\,a_2\\,\\ldots\\,a_p)\\cdot \\begin{pmatrix}b_1\\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_p\\end{pmatrix}^t=a_1b_1+a_2b_2+\\ldots +a_pb_p.\\]<\/p>\n<p>De este modo el producto de dos matrices \\(A=[a_{ij}]_{n\\times p}\\) y \\(B=[b_{ij}]_{p\\times m}\\) es la matriz \\[C=[A_i\\bullet B_j]_{n\\times m},\\]<br \/>\ndonde \\(A_i\\) es la fila \\(i\\) de la matriz \\(A\\) y \\(B_j\\) la columna \\(j\\) de la matriz \\(B\\). Esta forma de definir el producto es equivalente a la denotada por \\(A\\cdot B,\\;A\\times B,\\;A\\circ B\\) o simplemente \\(AB\\), la matriz \\(C\\):<br \/>\n\\[C=AB=[c_{ij}]_{n\\times m}=\\left[\\sum _{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}\\right]\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\[\\begin{bmatrix} 1 &#038; 2\\\\  3 &#038; 4 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} a &#038; b\\\\  c &#038; d \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} 6 &#038; 3\\\\  19 &#038; 2 \\end{bmatrix},\\] \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(a^2+b^2+c^2+d^2\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv48() {\n  var htmlShow48 = document.getElementById(\"html-show48\");\n  if (htmlShow48.style.display === \"none\") {\n    htmlShow48.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow48.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv48()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show48\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de matrices. Ej.16 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5UDHDBmVmqc?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A=\\begin{bmatrix} 1 &#038; 3\\\\  \\alpha &#038; 1 \\end{bmatrix}\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(\\alpha\\) para el cual A es una ra\u00edz del polinomio \\(f(x)=x^2-2x-8\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv8() {\n  var htmlShow8 = document.getElementById(\"html-show8\");\n  if (htmlShow8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show8\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de Matrices. Ej.15 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LxNj8fo8WCQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[1,1],[0,1]]. \u00bfCu\u00e1l es la suma de los elementos de la primera fila de \\(A^p\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4() {\n  var htmlShow4 = document.getElementById(\"html-show4\");\n  if (htmlShow4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4\" style=\"display: none;\">\n\\(1+p\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[4,5,-1],[-3,-4,1],[-3,-4,0]]. \u00bfCu\u00e1l es la suma de los elementos de la diagonal principal de \\(A^9\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">\n3\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Una empresa vende cuatro Pack que suministran tres tipos diferentes de componentes, dados en la Tabla 2. Tres compradores deciden comprar Pack, el n\u00famero de Packs que compra cada uno est\u00e1 dado por la Tabla 1. \u00bfCu\u00e1ntos componentes del n\u00ba2 compra el comprador n\u00ba3?<\/p>\n<table>\n<tr>\n<table>\n<tr>\n<td>Tabla 1<\/td>\n<td>Tabla 2<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/tr>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/doc\/img\/matrices2.png\" alt=\"\" width=\"668\" height=\"570\" class=\"alignnone size-full wp-image-1509\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7() {\n  var htmlShow7 = document.getElementById(\"html-show7\");\n  if (htmlShow7.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de matrices. Ej. 2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/_iIK1lfwXww?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Propiedades que cumple la multiplicaci\u00f3n de matrices:<\/p>\n<ul>\n<li>\\((AB)C = A(BC)\\)<\/li>\n<li>\\((A + B)C = AC + BC\\)<\/li>\n<li>\\(C(A + B) = CA + CB\\)<\/li>\n<li>Si A es una matriz cuadrada de tama\u00f1o \\(m\\), entonces la matriz identidad \\(I_{m\\times m}\\) (que llamamos identidad, o elemento neutro para la multiplicaci\u00f3n) de manera que: \\(I\u00b7A = A\u00b7I = A\\)<\/li>\n<li>El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, \\(AB \\neq BA\\).<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A= \\begin{bmatrix} 1 &#038; -2 \\\\ 2 &#038; -4 \\\\ -3 &#038; 6 \\end{bmatrix}\\). Hallar la forma general de todas las matrices $B \\in \\mathcal{M}_{2 \\times 2}(\\mathbb{R})$ tales que: \\(A \\cdot B = O_{3 \\times 2}\\) donde $O_{3 \\times 2}$ es la matriz nula de orden $3 \\times 2$. Proponer <strong>dos ejemplos concretos<\/strong> de matrices $B$ <strong>no nulas<\/strong> ($B \\neq O_{2 \\times 2}$) que cumplan la igualdad anterior.<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2we() {\n  var htmlShow2we = document.getElementById(\"html-show2we\");\n  if (htmlShow2we.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2we.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2we.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2we()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2we\" style=\"display: none;\">\n<p>## 1. Soluci\u00f3n Paso a Paso<\/p>\n<p>### Paso 1: Definici\u00f3n gen\u00e9rica de la matriz $B$<\/p>\n<p>Sea $B$ una matriz arbitraria de dimensi\u00f3n $2 \\times 2$:<\/p>\n<p>$$B = \\begin{bmatrix} x_1 &#038; x_2 \\\\ y_1 &#038; y_2 \\end{bmatrix}$$<\/p>\n<p>### Paso 2: Efectuar el producto $A \\cdot B$<\/p>\n<p>Calculamos el producto t\u00e9rmino a t\u00e9rmino:<\/p>\n<p>$$A \\cdot B = \\begin{bmatrix} 1 &#038; -2 \\\\ 2 &#038; -4 \\\\ -3 &#038; 6 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 &#038; x_2 \\\\ y_1 &#038; y_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} x_1 &#8211; 2y_1 &#038; x_2 &#8211; 2y_2 \\\\ 2x_1 &#8211; 4y_1 &#038; 2x_2 &#8211; 4y_2 \\\\ -3x_1 + 6y_1 &#038; -3x_2 + 6y_2 \\end{bmatrix}$$<\/p>\n<p>### Paso 3: Planteamiento del sistema de ecuaciones<\/p>\n<p>Igualamos el resultado a la matriz nula $O_{3 \\times 2} = \\begin{bmatrix} 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}$:<\/p>\n<p>$$\\begin{cases}<br \/>\nx_1 &#8211; 2y_1 = 0 \\\\<br \/>\nx_2 &#8211; 2y_2 = 0 \\\\<br \/>\n2x_1 &#8211; 4y_1 = 0 \\\\<br \/>\n2x_2 &#8211; 4y_2 = 0 \\\\<br \/>\n-3x_1 + 6y_1 = 0 \\\\<br \/>\n-3x_2 + 6y_2 = 0<br \/>\n\\end{cases}$$<\/p>\n<p>### Paso 4: Resoluci\u00f3n del sistema<\/p>\n<p>Observamos que la tercera fila ($2 \\times \\text{Fila 1}$) y la quinta fila ($-3 \\times \\text{Fila 1}$) son proporcionales a la primera. Del mismo modo, la cuarta fila ($2 \\times \\text{Fila 2}$) y la sexta fila ($-3 \\times \\text{Fila 2}$) son proporcionales a la segunda. Por tanto, el sistema se reduce a solo dos ecuaciones independientes:<\/p>\n<p>$$\\begin{cases}<br \/>\nx_1 &#8211; 2y_1 = 0 \\implies x_1 = 2y_1 \\\\<br \/>\nx_2 &#8211; 2y_2 = 0 \\implies x_2 = 2y_2<br \/>\n\\end{cases}$$<\/p>\n<p>Tomando a $y_1 = c$ e $y_2 = d$ como par\u00e1metros libres reales ($c, d \\in \\mathbb{R}$), obtenemos:<\/p>\n<p>$$x_1 = 2c, \\quad x_2 = 2d$$<\/p>\n<p>### Paso 5: Forma general de la matriz $B$<\/p>\n<p>Todas las matrices $B$ que satisfacen $A \\cdot B = O_{3 \\times 2}$ son de la forma:<\/p>\n<p>$$B(c, d) = \\begin{bmatrix} 2c &#038; 2d \\\\ c &#038; d \\end{bmatrix}, \\quad \\text{con } c, d \\in \\mathbb{R}$$<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<p>## 2. Ejemplos Concretos de Matrices $B$ no Nulas<\/p>\n<p>Para obtener matrices $B \\neq O_{2 \\times 2}$, basta con asignar valores no ambos nulos a los par\u00e1metros $c$ y $d$:<\/p>\n<p>* <strong>Ejemplo 1<\/strong>: Asignando $c = 1$ y $d = 0$:<br \/>\n  $$B_1 = \\begin{bmatrix} 2 &#038; 0 \\\\ 1 &#038; 0 \\end{bmatrix}$$<\/p>\n<p>* <strong>Ejemplo 2<\/strong>: Asignando $c = 1$ y $d = -2$:<br \/>\n  $$B_2 = \\begin{bmatrix} 2 &#038; -4 \\\\ 1 &#038; -2 \\end{bmatrix}$$<\/p>\n<p>### Comprobaci\u00f3n expl\u00edcita con $B_1$:<\/p>\n<p>$$A \\cdot B_1 = \\begin{bmatrix} 1 &#038; -2 \\\\ 2 &#038; -4 \\\\ -3 &#038; 6 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 2 &#038; 0 \\\\ 1 &#038; 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1(2) + (-2)(1) &#038; 1(0) + (-2)(0) \\\\ 2(2) + (-4)(1) &#038; 2(0) + (-4)(0) \\\\ -3(2) + 6(1) &#038; -3(0) + 6(0) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}$$<\/p>\n<p>$\\checkmark$ Queda comprobado que $A \\cdot B_1 = O_{3 \\times 2}$.<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 2 de \u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l de las siguientes afirmaciones es falsa?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>Las matrices permiten girar, ampliar, reflejar y mover objetos.<\/li>\n<li>En el aprendizaje autom\u00e1tico, los datos se organizan en matrices y cada individuo, imagen o documento se describe mediante un vector de caracter\u00edsticas.<\/li>\n<li>Una imagen en escala de grises puede verse como una matriz de n\u00fameros.  <\/li>\n<li>Una de las afirmaciones anteriores es falsa.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\"><\/p>\n<p><strong>D.)<\/strong><\/p>\n<p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Comenzamos con el tema de Matrices, donde hoy veremos: Definici\u00f3n Matriz columna, matriz fila Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, tri\u00e1ngular\u2026 Operaciones con matrices Suma de matrices Multiplicaci\u00f3n de escalar por matriz. 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