{"id":77,"date":"2025-09-25T09:25:45","date_gmt":"2025-09-25T07:25:45","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=77"},"modified":"2025-09-10T12:17:00","modified_gmt":"2025-09-10T10:17:00","slug":"mathbio-matrices","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=77","title":{"rendered":"MathBio: Matrices"},"content":{"rendered":"<p>Veamos un ejemplo que utilizaremos con frecuencia de espacio vectorial, el de las matrices, donde veremos:<\/p>\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">Definici\u00f3n\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">Matriz columna, matriz fila<\/li>\n<li dir=\"ltr\">Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, tri\u00e1ngular\u2026<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li dir=\"ltr\">Operaciones con matrices\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">Suma de matrices<\/li>\n<li dir=\"ltr\">Multiplicaci\u00f3n de escalar por matriz.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li dir=\"ltr\">Semejanza de matrices\n<ul>\n<li dir=\"ltr\">matriz escalonada<\/li>\n<li dir=\"ltr\">rango de una matriz<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<p>Lo primero ser\u00e1 definir las matrices. Llamamos matriz fila a una disposici\u00f3n de \\(p\\) escalares de un cuerpo colocado en una fila por \\(p\\) columnas, \\(A_f=[a_1\\,a_2\\,\\ldots\\,a_p]\\), y del mismo modo definimos matriz columna disponiendo los \\(p\\) escalares sobre un columna: \\(B_c=\\begin{bmatrix}b_1\\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_p\\end{bmatrix}\\).<\/p>\n<p>De esta forma una matriz de \\(n\\times m\\) a una disposici\u00f3n de \\(n\\) matrices fila o \\(m\\) matrices columna;<br \/>\n\\[\\begin{bmatrix}<br \/>\na_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} &amp;\\ldots &amp; a_{1m} \\\\<br \/>\na_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} &amp;\\ldots &amp; a_{2m} \\\\<br \/>\n\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp;\\ldots &amp; \\vdots \\\\<br \/>\na_{n1} &amp; a_{n2} &amp; a_{n3} &amp;\\ldots &amp; a_{nm}<br \/>\n\\end{bmatrix}.\\]<\/p>\n<p>Notar que los elementos \\(a_{ij}\\in\\mathbb{K}\\), siendo \\(\\mathbb{K}\\) un cuerpo, que habitualmente ser\u00e1 los reales o los complejos.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[x+2,8,-3],[1,2y,2x],[7,-2,y+2]] y \\(B\\)=[[2x+6,8,-3],[1,18,-8],[7,-2,11]], tales que \\(A=B\\). \u00bfCu\u00e1l es la suma de \\(x+y\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv43() {\n  var htmlShow43 = document.getElementById(\"html-show43\");\n  if (htmlShow43.style.display === \"none\") {\n    htmlShow43.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow43.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv43()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show43\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Matrices. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6E4ey1evWNs?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Matrices particulares<\/h2>\n<p>Tenemos diferentes matrices que por sus caracter\u00edsticas se les denomina de forma especial:<\/p>\n<blockquote><p><strong>Matriz cuadrada<\/strong>: diremos que \\(A=[a_{ij}]\\) es cuadrada si \\(i=1,\\ldots,n\\) y \\(j=1,\\ldots,n\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz identidad<\/strong> de orden \\(n\\) \\[I_2= \\begin{bmatrix}<br \/>\n1 &#038;  0\\\\<br \/>\n0 &#038;  1\\\\<br \/>\n\\end{bmatrix}, I_3=\\begin{bmatrix}<br \/>\n1 &#038; 0 &#038; 0 \\\\<br \/>\n0 &#038; 1 &#038; 0 \\\\<br \/>\n0 &#038; 0 &#038; 1 \\\\<br \/>\n\\end{bmatrix},\\ldots\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz diagonal<\/strong>: una matriz donde todos los valores que no est\u00e9n en la diagonal principal son cero,  \\[\\begin{bmatrix}<br \/>\na_1 &#038; 0 &#038; 0 &#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n0 &#038; a_2 &#038; 0 &#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n0 &#038; 0 &#038; a_3 &#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n\\vdots&#038;\\vdots&#038;\\vdots&#038;\\cdots&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;0&#038;\\cdots&#038;a_n<br \/>\n\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz traspuesta<\/strong>: diremos que \\(A^t\\) es la matriz traspuesta de \\(A=[a_{ij}]\\) si \\(A^t=[a_{ji}]\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz sim\u00e9trica<\/strong>: diremos que \\(A\\) es sim\u00e9trica si \\(A=A^t\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz antisim\u00e9trica<\/strong>: Una matriz antisim\u00e9trica es una matriz cuadrada \\(A\\) cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relaci\u00f3n \\(A^t=-A\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Matriz triangular<\/strong>: una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos est\u00e1n por encima o por debajo de su diagonal principal o su diagonal secundaria son cero. <\/p>\n<p>Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma: \\[{\\displaystyle U=\\left[{\\begin{array}{ccccccc}u_{11}&#038;u_{12}&#038;u_{13}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{1n}\\\\0&#038;u_{22}&#038;u_{23}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{2n}\\\\0&#038;0&#038;u_{33}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{3n}\\\\.&#038;.&#038;..&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\0&#038;0&#038;0&#038;.&#038;.&#038;.&#038;u_{nn}\\\\\\end{array}}\\right]}\\]<\/p>\n<p>An\u00e1logamente, se dice que es una matriz triangular inferior una matriz de la forma: \\[{\\displaystyle L=\\left[{\\begin{array}{ccccccc}l_{11}&#038;0&#038;0&#038;.&#038;.&#038;.&#038;0\\\\l_{21}&#038;l_{22}&#038;0&#038;.&#038;.&#038;.&#038;0\\\\l_{31}&#038;l_{32}&#038;l_{33}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;0\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.&#038;.\\\\l_{n1}&#038;l_{n2}&#038;l_{n3}&#038;.&#038;.&#038;.&#038;l_{nn}\\\\\\end{array}}\\right]}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<h2>Operaciones con matrices<\/h2>\n<p>Ahora podemos definir la suma de matrices,\\(A=[a_{ij}]_{nxm}\\) y \\(B=[b_{ij}]_{n\\times m}\\), como otra matriz de la siguiente forma:<br \/>\n\\[A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{n\\times m}.\\]<br \/>\nY el producto por escalar, \\(\\lambda\\in \\mathbb{K}\\), de la forma:<br \/>\n\\[\\lambda A=[\\lambda a_{ij}]_{n\\times m}.\\]<\/p>\n<p>Con estas operaciones se cumple: Consideremos \\(\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{K}\\) y \\(A,B,C\\in M_{n\\times m}(\\mathbb{K})\\), siendo \\(\\mathbb{K}\\) el conjunto de los n\u00fameros reales o complejos,<\/p>\n<ul>\n<li>\\((A+B)+C=A+(B+C)\\)<\/li>\n<li>\\(A+B=B+A\\)<\/li>\n<li>\\(A+0=0+A\\), siendo 0 la matriz de \\(m\\times n\\) elementos todos 0.<\/li>\n<li>Existe \\(B\\in M_{m\\times m}(\\mathbb{K})\\) tal que \\(A+B=B+A=0\\), a esta matriz la llamamos opuesta de \\(A\\), que designamos por \\(-A\\).<\/li>\n<li>\\(\\lambda (A+B)=\\lambda A+\\lambda B\\)<\/li>\n<li>\\((\\lambda + \\mu)A=\\lambda A+\\mu A\\)<\/li>\n<li>\\((\\lambda \\mu)A=\\lambda (\\mu A)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]] y \\(B\\)=[[0,-1,5],[1,6,2],[1,8,0]]. \u00bfCu\u00e1l es la suma de los elementos de la diagonal principal de \\(2A-3B\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\n8\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]] y \\(B\\)=[[0,-1,5],[1,6,2],[1,8,0]]. \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(\\lambda\\) para que la suma de los elementos de la diagonal principal de \\(\\lambda A-3B\\) sea -18? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n\\(\\lambda=0\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Dadas las matrices \\(A=\\begin{bmatrix}1&#038;-1\\\\ 2&#038;3\\end{bmatrix}\\) y \\(B=\\begin{bmatrix}-1&#038;0\\\\ 2&#038;3\\end{bmatrix}\\). \u00bfCu\u00e1l es la matriz \\(X\\) que cumple \\(3(2A+B+X)=5(X-A+B)\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv6() {\n  var htmlShow6 = document.getElementById(\"html-show6\");\n  if (htmlShow6.style.display === \"none\") {\n    htmlShow6.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow6.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv6()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show6\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Operaciones con Matrices. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/0Yr-3v2XvUY?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Lo siguiente que hemos visto es la Multiplicaci\u00f3n de matrices:<\/p>\n<p>Definimos el producto de una matriz fila \\(A_f\\) por una matriz columna \\(B_c\\), siempre que el n\u00famero de columnas de la matriz fila coincida con el n\u00famero de filas de la matriz columna, como el producto escalar consider\u00e1ndolos vectores la matriz fila \\(A_f\\) y la traspuesta de \\(B_c\\):<br \/>\n\\[A_f\\cdot B_c=[a_1\\,a_2\\,\\ldots\\,a_p]\\bullet \\begin{bmatrix}b_1\\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_p\\end{bmatrix}=(a_1\\,a_2\\,\\ldots\\,a_p)\\cdot \\begin{pmatrix}b_1\\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_p\\end{pmatrix}^t=a_1b_1+a_2b_2+\\ldots +a_pb_p.\\]<\/p>\n<p>De este modo el producto de dos matrices \\(A=[a_{ij}]_{n\\times p}\\) y \\(B=[b_{ij}]_{p\\times m}\\) es la matriz \\[C=[A_i\\bullet B_j]_{n\\times m},\\]<br \/>\ndonde \\(A_i\\) es la fila \\(i\\) de la matriz \\(A\\) y \\(B_j\\) la columna \\(j\\) de la matriz \\(B\\). Esta forma de definir el producto es equivalente a la denotada por \\(A\\cdot B,\\;A\\times B,\\;A\\circ B\\) o simplemente \\(AB\\), la matriz \\(C\\):<br \/>\n\\[C=AB=[c_{ij}]_{n\\times m}=\\left[\\sum _{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}\\right]\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\[\\begin{bmatrix} 1 &#038; 2\\\\  3 &#038; 4 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} a &#038; b\\\\  c &#038; d \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} 6 &#038; 3\\\\  19 &#038; 2 \\end{bmatrix},\\] \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(a^2+b^2+c^2+d^2\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv48() {\n  var htmlShow48 = document.getElementById(\"html-show48\");\n  if (htmlShow48.style.display === \"none\") {\n    htmlShow48.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow48.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv48()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show48\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de matrices. Ej.16 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5UDHDBmVmqc?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A=\\begin{bmatrix} 1 &#038; 3\\\\  \\alpha &#038; 1 \\end{bmatrix}\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(\\alpha\\) para el cual A es una ra\u00edz del polinomio \\(f(x)=x^2-2x-8\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv8() {\n  var htmlShow8 = document.getElementById(\"html-show8\");\n  if (htmlShow8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show8\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de Matrices. Ej.15 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LxNj8fo8WCQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[1,1],[0,1]]. \u00bfCu\u00e1l es la suma de los elementos de la primera fila de \\(A^p\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4() {\n  var htmlShow4 = document.getElementById(\"html-show4\");\n  if (htmlShow4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4\" style=\"display: none;\">\n\\(1+p\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[4,5,-1],[-3,-4,1],[-3,-4,0]]. \u00bfCu\u00e1l es la suma de los elementos de la diagonal principal de \\(A^9\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">\n3\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Una empresa vende cuatro Pack que suministran tres tipos diferentes de componentes, dados en la Tabla 2. Tres compradores deciden comprar Pack, el n\u00famero de Packs que compra cada uno est\u00e1 dado por la Tabla 1. \u00bfCu\u00e1ntos componentes del n\u00ba2 compra el comprador n\u00ba3?<\/p>\n<table>\n<tr>\n<table>\n<tr>\n<td>Tabla 1<\/td>\n<td>Tabla 2<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/tr>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/doc\/img\/matrices2.png\" alt=\"\" width=\"668\" height=\"570\" class=\"alignnone size-full wp-image-1509\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7() {\n  var htmlShow7 = document.getElementById(\"html-show7\");\n  if (htmlShow7.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de matrices. Ej. 2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/_iIK1lfwXww?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Propiedades que cumple la multiplicaci\u00f3n de matrices:<\/p>\n<ul>\n<li>\\((AB)C = A(BC)\\)<\/li>\n<li>\\((A + B)C = AC + BC\\)<\/li>\n<li>\\(C(A + B) = CA + CB\\)<\/li>\n<li>Si A es una matriz cuadrada de tama\u00f1o \\(m\\), entonces la matriz identidad \\(I_{m\\times m}\\) (que llamamos identidad, o elemento neutro para la multiplicaci\u00f3n) de manera que: \\(I\u00b7A = A\u00b7I = A\\)<\/li>\n<li>El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, \\(AB \\neq BA\\).<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\)=[[1,5],[-1,3],[2,1]], \\(B\\)=[[-1,4],[-2,5]], y \\(C=(A.B)^t\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv8a() {\n  var htmlShow8a = document.getElementById(\"html-show8a\");\n  if (htmlShow8a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow8a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow8a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv8a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show8a\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Multiplicaci\u00f3n de Matrices. Ej.13 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/-MJolu-uuNA?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Semejanza por operaciones elementales en matrices y rango de una matriz<\/h2>\n<p>Consideremos \\(A=[a_{ij}]\\in \\mathcal{M}_{m\\times n}(\\mathbb{R})\\) una matriz y \\(A(f_i)=[a_{i1}\\ldots a_{in}]\\) (respectivamente \\(A(c_i)=[a_{1i}\\ldots a_{mi}]\u2019\\)) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. <\/p>\n<p>LLamaremos operaci\u00f3n elemental a una fila a las siguientes operaciones:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(f_i\\leftarrow f_i+\\lambda f_j\\), proporciona una nueva matriz,\\(B\\), cuya fila \\(B(f_i)=[b_{i1}\\ldots b_{in}]\\) cumple \\(b_{ik}=a_{ik}+\\lambda a_{jk}\\) para \\(k=1,\\ldots,n\\)<\/li>\n<li>\\(f_i\\leftarrow \\lambda f_i\\), proporciona una nueva matriz,\\(B\\), cuya fila \\(B(f_i)=[b_{i1}\\ldots b_{in}]\\) cumple \\(b_{ik}=\\lambda a_{ik}\\) para \\(k=1,\\ldots,n\\)<\/li>\n<li>\\(f_i\\leftrightarrow f_j\\), proporciona una nueva matriz,\\(B\\), cuyas filas \\(B(f_i)=[b_{i1}\\ldots b_{in}]\\) y \\(B(f_j)=[b_{j1}\\ldots b_{jn}]\\) cumplen \\(b_{ik}=a_{jk}\\) y \\(b_{jk}=a_{ik}\\) para \\(k=1,\\ldots,n\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>LLamaremos operaci\u00f3n elemental a una columna a las siguientes operaciones:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(c_i\\leftarrow c_i+\\lambda c_j\\), proporciona una nueva matriz,\\(B\\), cuya columna \\(B(c_i)=[b_{1i}\\ldots b_{mi}]\u2019\\) cumple \\(b_{ki}=a_{ki}+\\lambda a_{kj}\\) para \\(k=1,\\ldots,m\\)<\/li>\n<li>\\(c_i\\leftarrow \\lambda c_i\\), proporciona una nueva matriz,\\(B\\), cuya columna \\(B(c_i)=[b_{1i}\\ldots b_{mi}]\u2019\\), cumple \\(b_{ik}=\\lambda a_{ik}\\) para \\(k=1,\\ldots,n\\)(\\(b_{ki}=\\lambda a_{kj},k=1,\\ldots,m\\))<\/li>\n<li>\\(c_i\\leftrightarrow c_j\\), proporciona una nueva matriz,\\(B\\), cuyas columnas \\(B(c_i)=[b_{1i}\\ldots b_{mi}]\u2019\\) y \\(B(c_j)=[b_{1j}\\ldots b_{mj}]\u2019\\), cumplen \\(b_{ki}=a_{kj}\\) y \\(b_{kj}=a_{ki}\\) para \\(k=1,\\ldots,m\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>En el siguiente polimedia ten\u00e9is esta explicaci\u00f3n:<br \/>\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Transformaciones Elementales en Matrices - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/oWUWqNz9Qzo?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Definici\u00f3n<\/strong>: Dos matrices \\(A\\) y \\(B\\) son semejantes por transformaciones elementales, \\(A\\sim B\\), si dada podemos obtener la otra mediante transformaciones elementales. <\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Decimos que una matriz es escalonada, cuando dado una matriz podemos encontrar una matriz semejante por transformaciones elementales que tiene en alguna de sus filas (columnas) todo los elementos cero. La matriz resultante escalonada ser\u00e1 la matriz escalonada con mayor n\u00famero de filas (columnas) todo cero que podamos conseguir.<\/p>\n<p>En el siguiente polimedia ten\u00e9is esta explicaci\u00f3n:<br \/>\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Matriz escalonada - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uHdV0cpF2RE?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Propiedad<\/strong>: Toda matriz \\(A\\) es semejante por transformaciones elementales a una matriz escalonada: \\(A\\sim E\\), donde \\(E\\) es escalonada. <\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Con estas definiciones podemos dar el <strong>rango de una matriz<\/strong> como el n\u00famero de filas (columnas) distintas de cero de su matriz escalonada.<\/p>\n<p>Una propiedad interesante es que el rango de una matriz siempre es el mismo, independientemente que se consideren filas o columnas.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el rango de la matriz \\(A=\\begin{bmatrix}a&#038;a&#038;1&#038;1\\\\ 1&#038;a&#038;a&#038;1\\\\ 1&#038;1&#038;a&#038;a\\\\ a&#038;1&#038;1&#038;a\\end{bmatrix}\\) dependiendo del valor de \\(a\\)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv41() {\n  var htmlShow41 = document.getElementById(\"html-show41\");\n  if (htmlShow41.style.display === \"none\") {\n    htmlShow41.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow41.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv41()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show41\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Rango de una matriz. Ej. 1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/iVSfMe8G8uA?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Propiedad<\/strong>: Dado un conjunto de vectores \\(v_1,v_2,\\ldots,v_m\\in\\mathbb{R}^n\\), el n\u00famero de vectores linealmente independientes es igual al rango de la matriz cuyas filas forman los vectores dados, \\(rang[v_1,v_2,\\ldots,v_m]\\in\\mathcal{M}_{n,m}(\\mathbb{R})\\). <\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Esta propiedad nos ofrece un m\u00e9todo muy sencillo para determinar un subconjunto de vectores linealmente independiente.<br \/>\nComo corolario podemos ver que: Dado un conjunto de vectores \\(v_1,v_2,\\ldots,v_m\\in\\mathbb{R}^n\\)<\/p>\n<ol>\n<li> \\(rang[v_1,v_2,\\ldots,v_m]\\leq \\mbox{min}\\{n,m\\}\\)<\/li>\n<li> Si \\(n&lt; m\\), ser\u00e1n linealmente dependientes. <\/li>\n<li> Si \\([v_1,v_2,\\ldots,v_m]\\sim A\\), donde \\(A\\) es una matriz escalonada, entonces los vectores linealemente independientes se corresponden con las filas no nulas de la matriz \\(A\\). Por el contrario, los  linealemente dependientes se corresponden con las filas nulas de la matriz  \\(A\\). <\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Consideremos \\(S=\\mbox{Gen}\\{(2,1,3),(-1,0,1)\\}\\), \u00bf(2,0,-1)\\(\\in S\\)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv61() {\n  var htmlShow61 = document.getElementById(\"html-show61\");\n  if (htmlShow61.style.display === \"none\") {\n    htmlShow61.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow61.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv61()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show61\" style=\"display: none;\">\nPara saber si (2,0,-1)\\(\\in S\\) nos vasta con verificar si (2,0,-1) es combinaci\u00f3n lineal de los vectores de la base de \\( S\\), y eso lo vemos estudiando el rango de la matriz \\[\\begin{bmatrix}2&#038;1&#038;3\\\\ -1&#038;0&#038;1 \\\\ 2&#038;0&#038;-1 \\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nSi el rango es dos, entonces (2,0,-1)\\(\\in S\\), si es tres no pertenecer\u00e1.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar si el punto \\(S(1,2,-1)\\) es coplanario a los puntos \\(P(2,1,3)\\),\\(Q(-1,0,1)\\) y \\(R(2,0,-1)\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv71() {\n  var htmlShow71 = document.getElementById(\"html-show71\");\n  if (htmlShow71.style.display === \"none\") {\n    htmlShow71.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow71.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv71()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show71\" style=\"display: none;\">\nSabemos que un plano viene formado por un punto y dos vectores directores. As\u00ed \\[\\pi:P+\\lambda\\ \\overrightarrow{PQ}+\\mu \\ \\overrightarrow{PR}.\\]<br \/>\nPor tanto, \\(S\\in \\pi\\) si \\[\\overrightarrow{PS}\\in\\mbox{Gen}\\{\\overrightarrow{PQ},\\overrightarrow{PR}\\}.\\]<br \/>\nAhora solo tenemos que estudiar el rango de la matriz:<br \/>\n\\[\\mbox{rank}\\begin{bmatrix}\\overrightarrow{PQ}\\\\ \\overrightarrow{PR}\\\\ \\overrightarrow{PS}\\end{bmatrix}=\\mbox{rank}\\begin{bmatrix}-3&#038;-1&#038;-2\\\\ 0&#038;-1&#038;-4 \\\\ -1&#038;1&#038;-4 \\end{bmatrix}.\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Bibliograf\u00eda<\/h2>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 2 de \u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. 5\u00ba edici\u00f3n, David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong><br \/>\nDadas la matrices \\(A=\\begin{bmatrix}2&#038;2\\\\ 8&#038;-2\\end{bmatrix}\\) y \\(B=\\begin{bmatrix}2&#038;-2\\\\ 4&#038;-2\\end{bmatrix}\\), la igualdad \\(A^2+B^2=(A+B)^2\\) es:<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>Verdadera<\/li>\n<li>Falsa<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Veamos un ejemplo que utilizaremos con frecuencia de espacio vectorial, el de las matrices, donde veremos: Definici\u00f3n Matriz columna, matriz fila Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, tri\u00e1ngular\u2026 Operaciones con matrices Suma de matrices&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-77","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/77","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=77"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/77\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":78,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/77\/revisions\/78"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=77"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=77"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=77"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}