{"id":745,"date":"2026-02-09T10:15:12","date_gmt":"2026-02-09T09:15:12","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=745"},"modified":"2026-02-02T08:51:01","modified_gmt":"2026-02-02T07:51:01","slug":"mad-divisibilidad-y-algoritmo-de-la-division","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=745","title":{"rendered":"MAD: Divisibilidad y Algoritmo de la divisi\u00f3n"},"content":{"rendered":"<h2>Divisibilidad<\/h2>\n<p>El concepto de divisibilidad es uno de los m\u00e1s importantes que veremos en Teor\u00eda de n\u00fameros. Con \u00e9l pretendemos dar una sustituci\u00f3n de la divisi\u00f3n que no siempre es posible en el conjunto de los n\u00fameros enteros.<\/p>\n<p>Decimos que un n\u00famero entero \\(b\\) es divisible entre un entero \\(a\\) (distinto de cero) si existe un entero \\(c\\) tal que: \\(b = a \u00b7 c.\\); es decir, dados  \\(a,b\\in\\mathbb{Z}\\),  \\[a|b\\Leftrightarrow \\exists c\\in\\mathbb{Z};\\ b = ac.\\]<br \/>\nSe suele expresar de la forma \\(a|b\\), que se lee: \\(a\\) divide a \\(b\\), o \\(a\\) es un divisor de \\(b\\), o, tambi\u00e9n \\(b\\) es m\u00faltiplo de \\(a\\) (\\(b=\\dot{a}\\)).<\/p>\n<p>Sean \\(a, b, c \\in \\mathbb{Z}\\), es decir \\(a\\), \\(b\\) y \\(c\\) son n\u00fameros enteros. Se dan las propiedades b\u00e1sicas:<\/p>\n<ul>\n<li> Si \\(a\\neq 0\\) entonces \\(a\\mid a\\) [Propiedad reflexiva]\n<\/li>\n<li> si \\(a\\mid b\\) y \\(b\\mid a\\) entonces \\(|a|= |b|\\). [Son iguales o bien uno es el opuesto del otro]\n<\/li>\n<li> Cuando \\(a\\mid b\\) y \\(b\\mid c\\), entonces \\(a\\mid c\\) [Propiedad transitiva].\n<\/li>\n<li> Si \\(a\\mid b\\) y \\(b \\neq 0\\), entonces \\(|a|\\leq |b|\\).\n<\/li>\n<li>  \\(a\\mid b\\) y \\(a\\mid c\\), implica \\(a\\mid (\\beta b+ \\gamma c)\\ \\ \\forall \\ \\beta, \\gamma \\in  \\mathbb{Z}\\). [Divisor de  la combinaci\u00f3n lineal]\n<\/li>\n<li> \\(a\\mid b\\) y \\(a\\mid c\\), implica \\(a\\mid (\\theta b^k+ \\kappa c^j)\\ \\ \\forall \\ \\theta, \\kappa, k, j \\in  \\mathbb{Z}\\). [Divisor de  la combinaci\u00f3n lineal de potencias]\n<\/li>\n<li> Si \\(a\\mid b\\) y \\(a\\mid (b \\pm\\ c)\\), entonces \\(a\\mid c\\).\n<\/li>\n<li> De \\(a\\mid b\\) y \\(a\\neq 0\\), se deduce \\(\\frac{b}{a}\\mid b\\). [Divisores conjugados]\n<\/li>\n<li> Para \\(c\\neq 0\\), \\(a\\mid b\\) si y solo si \\(ac\\mid bc\\).\n<\/li>\n<\/ul>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Probar que si \\(a,b,d\\in\\mathbb{Z}^+\\), \\(a\\) es impar y si \\(d|a\\) y \\(d|(ab+2)\\), entonces \\(d=1\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2w1() {\n  var htmlShow2w1 = document.getElementById(\"html-show2w1\");\n  if (htmlShow2w1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2w1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2w1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2w1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2w1\" style=\"display: none;\">\nSi \\(d|a\\), entonces \\(d|ab\\) para todo \\(b\\in\\mathbb{Z}^+\\). Ahora, de \\(d|ab\\) y \\(d|(ab+2)\\), implica que \\(d|2\\), por las propiedades vistas. Por tanto, \\(d=1\\) o \\(d=2\\). Como  \\(d|a\\) y  \\(a\\) es impar, entonces  \\(d\\neq 2\\). Luego \\(d=1\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfEs \\(\\sqrt{2}\\) racional? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\nSupongamos que \\(\\sqrt{2}\\) racional; es decir, existen \\(p,q\\in\\mathbb{Z}\\) tales que \\[\\sqrt{2}=\\frac{p}{q}\\] una fracci\u00f3n irreducible(no tiene factores comunes). Entonces \\[2=\\frac{p^2}{q^2}\\to p^2=2q^2\\to 2|p^2\\to 2|p\\to p=2k\\] para alg\u00fan \\(k\\in\\mathbb{Z}\\). Esto implica que \\[(2k)^2=2q^2\\to 2k^2=q^2\\to 2|q^2\\to 2|q.\\] Entonces \\(2|q\\) y \\(2|p\\), y hab\u00edamos dicho que \\(p\\) y \\(q\\) no ten\u00edan factores comunes: contradicci\u00f3n. Esta contradicci\u00f3n viene de suponer que \\(\\sqrt{2}\\) es racional.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(a\\) y \\(b\\) dos n\u00fameros irracionales, \u00bfes \\(a^b\\) irracional? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a() {\n  var htmlShow2a = document.getElementById(\"html-show2a\");\n  if (htmlShow2a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a\" style=\"display: none;\">\nNota, considerese \\(\\sqrt{2}^\\sqrt{2}\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Os enlazo unos polimedias interesantes:<\/p>\n<ul>\n<li>Divisibilidad &#8211;&gt; <a href=\"http:\/\/youtu.be\/FVTzu5p5mWY\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">http:\/\/youtu.be\/FVTzu5p5mWY<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 1 &#8211;&gt; <a href=\"http:\/\/youtu.be\/4BmqFuebG9A\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">http:\/\/youtu.be\/4BmqFuebG9A<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 2 &#8211;&gt; <a href=\"http:\/\/youtu.be\/GXvUP-dUjww\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">http:\/\/youtu.be\/GXvUP-dUjww<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 3 &#8211;&gt; <a href=\"https:\/\/youtu.be\/5H8hirvHQKI\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">https:\/\/youtu.be\/5H8hirvHQKI<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 3b &#8211;&gt; <a href=\"https:\/\/youtu.be\/lHA6c0d-jCc\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">https:\/\/youtu.be\/lHA6c0d-jCc<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 4 &#8211;&gt; <a href=\"https:\/\/youtu.be\/w3ZmXWswCM8\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">https:\/\/youtu.be\/w3ZmXWswCM8<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 5 &#8211;&gt; <a href=\"https:\/\/youtu.be\/gtpXda-tPL0\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">https:\/\/youtu.be\/gtpXda-tPL0<\/a><\/li>\n<li>Divisibilidad Ejemplo 6 &#8211;&gt; <a href=\"https:\/\/youtu.be\/QZiFMtV9x_s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">https:\/\/youtu.be\/QZiFMtV9x_s<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2>Algoritmo de la divisi\u00f3n<\/h2>\n<p>Comenzamos explicando El algoritmo de la divisi\u00f3n, que intenta dar consistencia al procedimiento habitual de divisi\u00f3n entre n\u00fameros enteros, recordando que esta no existe como tal, ya que la divisi\u00f3n no siempre existe. Sin embargo, podemos dar un resultado que nos ayuda a comprender que entendemos por divisi\u00f3n en los n\u00fameros enteros.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Dados dos n\u00fameros enteros \\(a\\) y \\(b\\), con \\(a\\) no nulo, la divisi\u00f3n eucl\u00eddea asocia un cociente \\(q\\in\\mathbb{Z}\\) y un resto \\(r\\in\\mathbb{Z}\\), \u00fanicos, que verifican: \\[b=q\\,a+r,\\quad 0\\leq r&lt;|a|\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Colorario<\/strong>:[Propiedad arquimediana] Dados dos n\u00fameros enteros \\(a\\) y \\(b\\), con \\(b&gt;a&gt;0\\), entonces existe un \\(q\\in\\mathbb{Z}\\) talque \\[a(q-1)&lt; b &lt; aq\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Veamos una algoritmo para obtener el cociente y el resto de la divisi\u00f3n entera: Sean \\(a,b\\in\\mathbb{Z}\\), con \\(b&gt;a&gt;0\\) y sea \\(q_0\\in\\mathbb{Z}\\) talque \\(r_0=b-aq_0&gt;a\\), calculamos<\/p>\n<table border=\"1\" cellspacing=\"0\" align=\"center\" >\n<colgroup span=\"3\"><\/colgroup>\n<tbody>\n<tr>\n<td align=\"left\" height=\"17\">\\(b\\)<\/td>\n<td align=\"center\" width=\"30\">\\(a\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"left\" height=\"17\">\\(r_0=b-aq_0\\)<\/td>\n<td align=\"center\" width=\"30\">\\(q_0\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"left\" height=\"17\">\\(r_1=r_0-aq_1\\)<\/td>\n<td align=\"center\" width=\"30\">\\(q_1\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"left\" height=\"17\">\\(r_2=r_1-aq_2\\)<\/td>\n<td align=\"center\" width=\"30\">\\(q_2\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"left\" height=\"17\">\\(\\vdots\\)<\/td>\n<td align=\"center\" width=\"30\">\\(\\vdots\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"left\" height=\"17\">\\(r_n=r_{n-1}-aq_n\\)<\/td>\n<td align=\"center\" width=\"30\">\\(q_n\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>mientras \\(r_n&gt;a\\). Entonces, \\(b=a\\left(\\sum_{i=0}^nq_i\\right)+r_n\\).<\/p>\n<p>Si quisi\u00e9ramos realizar un programa que lo calcule sobrar\u00eda con asignar \\(q_i=1\\forall i\\) y obtendr\u00edamos lo que buscamos:<br \/>\n\\[\\begin{array}{l}i=1;\\\\ r[i]=b-a; \\\\  while(r[i]&gt;a) \\\\ \\qquad r[i++]=r[i]-a; \\\\ endwhile \\\\ print({}&#8217;Cociente =\\%d\u2019,i-\\,-))\\\\ print({}&#8217;resto =\\%d\u2019,r[i-\\,-]))\\\\ \\end{array} \\]<\/p>\n<p>Sabemos que en el conjunto de los n\u00famero enteros no existe la divisi\u00f3n como tal. Sin embargo, en algunos casos podemos utilizar las siguientes aplicaciones que nos ayudan a trabajar con n\u00fameros reales trat\u00e1ndolos como enteros:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Definici\u00f3n<\/strong>: Sea \\(\\lfloor  \\cdot \\rfloor:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{Z}\\), definida por,<br \/>\n \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\ \\lfloor x\\rfloor=\\{n\\in\\mathbb{Z}:n\\leq x&lt;n+1\\}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Del mismo modo,<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Definici\u00f3n<\/strong>: Sea \\(\\lceil  \\cdot \\rceil:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{Z}\\), definida por,<br \/>\n \\[\\forall x\\in\\mathbb{R},\\ \\lceil x\\rceil=\\{n\\in\\mathbb{Z}:n-1\\leq x&lt;n\\}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el resto de la divisi\u00f3n de \\(F_5=2^{2^5}+1\\) por 13? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv245() {\n  var htmlShow245 = document.getElementById(\"html-show245\");\n  if (htmlShow245.style.display === \"none\") {\n    htmlShow245.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow245.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv245()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show245\" style=\"display: none;\">\n\\[F_5=\\left\\lfloor\\frac{4294967297}{13}\\right\\rfloor\\cdot 13+r\\Rightarrow r=4294967297-330382099\\cdot 13=10.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Con estas definiciones podemos reformular el algoritmo de la divisi\u00f3n de la siguiente forma:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema<\/strong>: Sean dos n\u00fameros enteros \\(a\\) y \\(b\\), con \\(a\\) no nulo. Existe un \u00fanico \\(r\\in\\mathbb{Z}\\) tal que \\[\\text{Si } a&gt;0,\\ b=\\left\\lfloor\\frac{b}{a}\\right\\rfloor\\cdot a+r,\\text{ con } 0\\leq r&lt;a,\\] \\[\\text{Si } a&lt;0,\\ b=\\left\\lceil\\frac{b}{a}\\right\\rceil\\cdot a+r,\\text{ con } 0\\leq r&lt;|a|.\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean \\(n,p\\in\\mathbb{N}\\), con \\(0&lt;p\\leq n\\). \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros divisibles por \\(p\\) hay en el conjunto \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nSi \\(p&lt;n\\), \\(p\\) divide a los n\u00fameros \\(\\{p,2p,\\ldots,qp\\}\\subseteq \\{1,2,\\ldots,n\\}\\), donde \\(qp\\leq n&lt;(q+1)p\\). Luego<br \/>\n\\[\\left\\lfloor\\frac{qp}{p}\\right\\rfloor=q\\leq \\left\\lfloor \\frac{n}{p}\\right\\rfloor &lt;\\left\\lfloor\\frac{(q+1)p}{p}\\right\\rfloor=q+1.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Veamos una curiosidad. Para conocer el n\u00famero de cifras que tiene un entero positivo cualquiera basta con calcular :\\[\\# n=\\text{N\u00ba cifras de }n=\\lfloor\\log(n)\\rfloor+1\\] donde \\(\\log(n)\\) es el logaritmo decimal.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1ntas cifras tiene \\(F_{7}\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2b() {\n  var htmlShow2b = document.getElementById(\"html-show2b\");\n  if (htmlShow2b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2b\" style=\"display: none;\">\n\\[\\# F_7=\\lfloor\\log(F_7)\\rfloor+1=38+1=39\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Bases<\/h2>\n<p>En un sistema de numeraci\u00f3n posicional, se le llama base al n\u00famero que define el orden de magnitud en que se ve incrementada cada una de las cifras sucesivas que componen el n\u00famero.\u200b Es tambi\u00e9n la cantidad de s\u00edmbolos presentes en dicho sistema. Por ejemplo, el sistema de numeraci\u00f3n decimal (el m\u00e1s utilizado en la actualidad) utiliza como base el n\u00famero 10 (diez): hay 10 s\u00edmbolos o d\u00edgitos, y cada uno de ellos se incrementa en un orden de magnitud de 10 por cada posici\u00f3n consecutiva.<\/p>\n<p>En cualquier sistema de numeraci\u00f3n, el n\u00famero \\({\\displaystyle x}\\) y su base \\({\\displaystyle y}\\) se denotan convencionalmente como \\((x)_y\\), esto se cumple para todos los sistemas salvo el decimal, por ser la manera m\u00e1s habitual de expresar valores, donde se omite la base. As\u00ed, por ejemplo, \\({\\displaystyle (100)_{10}}\\) (o sin la base) es el n\u00famero 100 en el sistema decimal; y \\({\\displaystyle (100)_{2}}\\) es el n\u00famero 4 en el sistema binario.<\/p>\n<h3>Base 2<\/h3>\n<p>La base habitual de trabajo es la base 10, el sistema decimal. En inform\u00e1tica se trabaja a partir de la base 2, sistema binario. Para pasar del sistema decimal al binario operamos as\u00ed: dado \\(n\\) en decimal,<br \/>\n\\[\\begin{split}<br \/>\nn&#038;=q_02+r_0\\\\ q_0&#038;=q_12+r_1\\\\ &#038;\\vdots \\\\ q_{i-1}&#038;=q_i2+r_i<br \/>\n\\end{split}\\]<br \/>\nhasta que \\(q_i=0\\). De este modo, \\[n=(r_{i-1}r_{i-2}\\ldots r_0)_2\\]<br \/>\nObservemos que, en este caso, \\[n=\\sum_{k=0}^{i-1}r_k\\ 2^k\\]<\/p>\n<h3>Base \\(m\\)<\/h3>\n<p>En general, un entero en base \\(m\\) lo escribimos \\[(d_{i-1}\\ldots d_0)_m,\\] donde \\(d_k\\) son los \\(i\\) d\u00edgitos del n\u00famero tales que \\(0\\leq d_k&lt;m\\ \\forall k=\\{0,\\ldots,i-1\\},\\) verificando<br \/>\n\\[(n)_{10}=\\sum_{k=0}^{i-1}d_k\\ m^k=d_{i-1}m^{i-1}+d_{i-2}m^{i-2}+\\ldots d_1m+d_0\\]<\/p>\n<p>Los d\u00edgitos \\(d_k\\) son los obtenidos mediante el algoritmo de la divisi\u00f3n:<br \/>\n\\[\\begin{split}<br \/>\nn&#038;=q_0m+d_0\\\\ q_0&#038;=q_1m+d_1\\\\ &#038;\\vdots \\\\ q_{i-1}&#038;=q_im+d_i<br \/>\n\\end{split}\\]<br \/>\nhasta que \\(q_i=0\\).<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1nto suman los d\u00edgitos de \\(F_{4}\\) en base 7? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b() {\n  var htmlShow3b = document.getElementById(\"html-show3b\");\n  if (htmlShow3b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(F_4=65537\\). Utilicemos el algoritmo de la divisi\u00f3n para encontrar los d\u00edgitos en base 7:<br \/>\n\\[\\begin{split}<br \/>\n65537&#038;=9362\\cdot 7+3\\\\ 9362&#038;=1337\\cdot 7+3\\\\ 1337&#038;=191\\cdot 7+0\\\\ 191&#038;=27\\cdot 7+2\\\\ 27&#038;=3\\cdot 7+6\\\\ 3&#038;=0\\cdot 7+3<br \/>\n\\end{split}\\]<br \/>\nDe este modo \\[(65537)_{10}=(362033)_7\\]<br \/>\nLa respuesta que buscamos es 3+6+2+0+3+3=17.\n<\/div>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1nto suman los d\u00edgitos de \\((6789)_{10}\\) en base 7? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3c() {\n  var htmlShow3c = document.getElementById(\"html-show3c\");\n  if (htmlShow3c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3c\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica discreta - Algoritmo de la numeraci\u00f3n - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/UMx-R0zyf9E?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Divisi\u00f3n con resto con la calculadora<\/h3>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Casio ClassWiz - Divisi\u00f3n con resto con la calculadora\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6RsKJbgqs2A?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<hr \/>\n<p>Terminamos introduciendo un anillo que trabajaremos constantemente: (\\(\\mathbb{Z}_n\\), +, \u2022). Recordemos que \\(\\mathbb{Z}_n\\) es el conjunto de las clases residuales, \\(\\mathbb{Z}_n=\\{\\bar{i};\\ i\\in\\{1,\\ldots,n-1\\}\\}\\), donde \\[\\bar{i}=\\{a\\in\\mathbb{Z};\\ a-i=\\dot{n}\\}.\\]<\/p>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfQu\u00e9 afirmaci\u00f3n no es cierta? <\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>Todo anillo tiene elemento inverso para la multiplicaci\u00f3n.<\/li>\n<li>\\(\\mathbb{Z}\\) es un anillo unitario conmutativo.<\/li>\n<li>Un cuerpo no tiene divisores de cero.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p id=\"htmlContent\" class=\"text-html\"><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Divisibilidad El concepto de divisibilidad es uno de los m\u00e1s importantes que veremos en Teor\u00eda de n\u00fameros. Con \u00e9l pretendemos dar una sustituci\u00f3n de la divisi\u00f3n que no siempre es posible en&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-745","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica-discreta"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/745","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=745"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/745\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":752,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/745\/revisions\/752"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=745"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=745"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=745"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}