{"id":74,"date":"2025-09-24T11:55:51","date_gmt":"2025-09-24T09:55:51","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=74"},"modified":"2025-09-10T10:38:51","modified_gmt":"2025-09-10T08:38:51","slug":"mathbio-bases-y-subespacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=74","title":{"rendered":"MathBio: Bases y subespacios vectoriales"},"content":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda definimos un espacio vectorial como un conjunto de elementos, que llamaremos vectores, que cumple determinadas propiedades respecto de un cuerpo, en nuestro caso \\(\\mathbb{R}\\), los n\u00fameros reales. Veamos ciertas definiciones que nos ser\u00e1n muy \u00fatiles para trabajar.<\/p>\n<blockquote>\n<p> Sea \\(V\\) un espacio vectorial sobre \\(\\mathbb{R}\\), y \\(U\\subset V\\) no vac\u00edo, \\(U\\) es un subespacio vectorial de \\(V\\) si:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {v},\\mathbf {u} \\in U\\), \\(\\mathbf {v}+\\mathbf {u} \\in U\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {u}\\in U\\), \\(\\forall a\\in \\mathbb{R}\\), \\(a\\mathbf {u}\\in U\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p>Por ejemplo, \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x+y=0\\}\\) es un subespacio vectorial de \\(\\mathbb{R}^2\\) como  \\(\\mathbb{R}\\)-sube.v.:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Consideremos los conjuntos \\(S=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ y=0\\}\\), \\(T=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;\\ x+y+z=1\\}\\), y \\(U=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;\\ x+y=z\\}\\), \u00bfcu\u00e1l no es un subespacio vectorial?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv6() {\n  var htmlShow6 = document.getElementById(\"html-show6\");\n  if (htmlShow6.style.display === \"none\") {\n    htmlShow6.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow6.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv6()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show6\" style=\"display: none;\">\nObservemos el conjunto \\(T=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;\\ x+y+z=1\\}\\). \\((1,0,0)\\in T\\) y \\((0,1,0)\\in T\\), si es un subespacio vectorial, por sus propiedades, (1,0,0)+(0,1,0) debe pertenecer a \\(T\\); sin embargo, (1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0), y sumando sus componentes \\(1+1+0=2\\neq 1\\), luego \\((1,1,0)\\not\\in T\\) y \\(T\\) no puede ser un subespacio vectorial.\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Un resultado pr\u00e1ctico que nos ayudar\u00e1 a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\nSi \\(V\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vac\u00edo \\(S\\) de \\(V\\) es un subespacio vectorial si y s\u00f3lo si para cualesquiera dos vectores \\(\\vec{v}, \\vec{w}\\in S\\) y cualesquiera escalares \\(\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \\(\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{w}\\in S\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Dados los vectores \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\) de nuestro espacio vectorial, el conjunto \\[\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}=\\{\\lambda_1\\vec{v}_1+\\ldots+\\lambda_n \\vec{v}_n;\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n\\in\\mathbb{R}\\},\\] lo denominamos <strong>sistema generador<\/strong> y es un subespacio vectorial.<\/p>\n<p>Nos planteamos si un vector cualesquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjuntos de vectores del sistema. <\/p>\n<p>Cualquier vector perteneciente a un sistema generador,\\(\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>\\) decimos que es <strong>combinaci\u00f3n lineal<\/strong> de los vectores del sistema. En general, un vector \\(\\vec{v}\\) decimos que es combinaci\u00f3n lineal de un conjunto de vectores \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\), si<br \/>\n\\[\\vec{v}\\in \\mbox{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}\\]<\/p>\n<p>Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V\\), decimos que es <strong>libre<\/strong> si ning\u00fan vector es combinaci\u00f3n vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los \u00fanicos escalares, \\(k_1,k_2,&#8230;,k_n\\in\\mathbb{R}\\), tales que justifican,<br \/>\n\\[k_1\\vec{v}_1+\\cdots +k_n \\vec{v}_n=\\vec{0},\\]<br \/>\nson \\(k_1=k_2=\\ldots=k_n=0\\).<\/p>\n<p>La forma m\u00e1s sencilla para conocer si un conjunto de vectores contiene a alg\u00fan vector como combinaci\u00f3n lineal del resto, es transformar el conjunto en una matriz. El rango de la matriz determinara el n\u00famero de vectores que es combinaci\u00f3n lineal.<\/p>\n<p>Indistintamente decimos sistema libre o vectores <strong>linealmente independientes<\/strong>. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos <strong>linealmente dependiente<\/strong>; es decir, alg\u00fan vector es combinaci\u00f3n lineal de los otros.<\/p>\n<p>Dentro de los espacio vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos, los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que adem\u00e1s son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos <strong>base de un espacio vectorial<\/strong>: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es<\/p>\n<ul>\n<li>sistema generador, y<\/li>\n<li>linealmente independiente<\/li>\n<\/ul>\n<p>Al n\u00famero de vectores de una base de denominamos <strong>dimensi\u00f3n del espacio vectorial<\/strong>. Recordemos que siempre estamos tratando con \\(\\mathbb{R}\\)-e.v finitamente generados.<\/p>\n<p>Uno de los principales resultados es que en todo \\(\\mathbb{R}\\)-e.v finitamente generados podemos encontrar una base. As\u00ed, pues, en un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v finitamente generado de dimensi\u00f3n \\(n\\) un conjunto de \\(n\\) vectores linealmente independiente siempre son base. Adem\u00e1s la base no tiene por qu\u00e9 ser \u00fanica. <\/p>\n<p>Como ejemplo pondremos las bases can\u00f3nicas de los sube.v. con lo que trabajaremos.<\/p>\n<p>Igual que antes denominaremos dimensi\u00f3n de un subespacio vectorial, al n\u00famero de vector que contenga una de sus bases.<\/p>\n<p>Designaremos como recta a un sube.v. de dimensi\u00f3n 1, y como plano a un subespacio vectorial de dimensi\u00f3n 2.<\/p>\n<p>La definici\u00f3n de base nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. As\u00ed, si \\(\\vec{v}\\in V\\), donde \\(V\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial f.g., y \\(B=\\{\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_n\\}\\), decimos que \\((k_1,k_2,\\ldots,k_n)\\) son las coordenadas del \\(\\vec{v}\\) respecto de la base \\(B\\), si \\[\\vec{v}=k_1\\vec{v}_1+k_2 \\vec{v}_2+\\ldots+k_n\\vec{v}_n\\]<\/p>\n<hr>\n<h2>El plano: \\(\\mathbb{R}^2\\)<\/h2>\n<p>\\(\\mathbb{R}^2\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0),\\vec{e}_2=(0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^2\\) solo podemos encontrar un tipo de subespacio vectorial:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in \\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>De este modo cualquier \\(\\vec{x}=(x_1,x_2)\\in S\\subset\\mathbb{R}^2\\) cumplir\u00e1 \\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2 \\end{align*}\\]<\/p>\n<p>A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones param\u00e9tricas de la recta en el plano.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\vec{u}=(-1,-1)\\), \\(\\vec{v}=(-2,-1)\\), \u00bfgeneran el mismo subespacio vectorial?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\nNo, pues si generaran el mismo \\(\\vec{v}\\in\\mbox{Gen}\\{\\vec{u}\\}\\) y \\[\\begin{align*}-2&#038;=-\\lambda\\\\ -1&#038;=-\\lambda \\end{align*}\\] para un determinado \\(\\lambda\\in \\mathbb{R}\\). Pero este \\(\\lambda\\in \\mathbb{R}\\) no existe.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del subespacio \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x+y=0\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">\nObservemos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\(x+y=0\\), luego \\(y=-x\\). Consideremos \\(x=\\lambda\\), tendremos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\[\\begin{align*}x&#038;=\\lambda\\\\ y&#038;=-\\lambda \\end{align*}\\]<br \/>\nPor tanto,  \\(U=\\mbox{Gen}\\{(1,-1)\\}\\).\n<\/div>\n<hr\/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina una base dada por un vector unitario de subespacio \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x-2y=0\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv51() {\n  var htmlShow51 = document.getElementById(\"html-show51\");\n  if (htmlShow51.style.display === \"none\") {\n    htmlShow51.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow51.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv51()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show51\" style=\"display: none;\">\nObservemos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\(x-2y=0\\), luego \\(x=2y\\). Consideremos \\(x=2\\lambda\\), tendremos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\[\\begin{align*}x&#038;=2\\lambda\\\\ y&#038;=\\lambda \\end{align*}\\]<br \/>\nPor tanto,  \\(U=\\mbox{Gen}\\{(2,1)\\}\\). As\u00ed, \\(B=\\{(2,1)\\}\\) es una base, para hacer su vector unitario, lo dividimos por su norma:\\[\\frac{1}{\\sqrt{5}}(2,1).\\]\n<\/div>\n<hr\/>\n<h2>El espacio: \\(\\mathbb{R}^3\\)<\/h2>\n<p>\\(\\mathbb{R}^3\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0,0),\\vec{e}_2=(0,1,0),\\vec{e}_3=(0,0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^3\\) podemos encontrarnos con dos tipos de subespacios: las rectas y los planos.<\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial de dimensi\u00f3n uno, entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\\in \\mathbb{R}^3\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2,v_3):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\] y sus ecuaciones param\u00e9tricas son:\\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2\\\\ x_3&#038;=\\lambda v_3 \\end{align*}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Los planos de \\(\\mathbb{R}^3\\) lo constituir\u00e1n los subespacios:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v},\\vec{u}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2,v_3)+\\mu(u_1,u_2,u_3):\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{R}\\}\\] y sus ecuaciones param\u00e9tricas son:\\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1+\\mu u_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2+\\mu u_2\\\\ x_3&#038;=\\lambda v_3+\\mu u_3 \\end{align*}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<hr>\n<h2>El plano y el espacio afin<\/h2>\n<p>Intentamos definir un espacio donde podamos fijar los vectores de \\(\\mathbb{R}^2\\) o \\(\\mathbb{R}^3\\) de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguir\u00e1 en el espacio af\u00edn.<\/p>\n<p>Podemos definir el plano af\u00edn \\(\\mathbb{R}^2\\) como el conjunto \\(\\mathbb{R}^2\\), considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto \\(\\mathbb{R}^2\\), como \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial, m\u00e1s una aplicaci\u00f3n especial \\(\\phi\\). Para notar los elementos de \\(\\mathbb{R}^2\\), considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos \\(P=(x,y)\\in\\mathbb{R}^2\\), y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\) escribimos como habitualmente hacemos, \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in\\mathbb{R}^2\\), y les denominamos vectores del plano. La aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) ir\u00e1 del producto cartesiano \\(\\mathbb{R}^2\\times\\mathbb{R}^2\\) de los puntos en el espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\); es decir, relacionar\u00e1 dos puntos con un vector.<\/p>\n<p>Con estos dos conjuntos, la aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) debe verificar:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\phi(P,Q)+\\phi(Q,R)=\\phi(P,R)\\) para todo \\(P,Q,R\\in\\mathbb{R}^2\\)<\/li>\n<li>Dado cualquier punto \\(P\\in\\mathbb{R}^2\\), y cualquier vector \\(\\vec{v}\\in\\mathbb{R}^2\\), existe un \u00fanico punto \\(Q\\in\\mathbb{R}^2\\) tal que \\(\\phi(P,Q)=\\vec{v}\\).<\/li>\n<\/ol>\n<p>Estas propiedades nos definen a \\(\\mathbb{R}^2\\) como un espacio af\u00edn sobre el espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\), que denominamos el <em>plano af\u00edn<\/em>.<\/p>\n<p>Esta definici\u00f3n podemos trasladarla sin problemas al \\(\\mathbb{R}^3\\) definiendo el <em>espacio af\u00edn<\/em>.<\/p>\n<p>Con esta definici\u00f3n podemos abordad las variedades afines dadas por la recta en el plano af\u00edn, y, la recta y el plano, en el espacio af\u00edn.<\/p>\n<p>As\u00ed veremos que las ecuaciones param\u00e9tricas de una recta en el plano af\u00edn que pasa por un punto \\(P(p_1,p_2)\\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\), vendr\u00e1 dada de la forma: \\[r=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\\lambda(v_1,v_2),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Trasladar lo anterior al espacio af\u00edn resulta sencillo. Una recta en el espacio af\u00edn que pasa por un punto \\(P(p_1,p_2,p_3)\\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\\), vendr\u00e1 dada de la forma: \\[r=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Si lo que deseamos es determinar un plano af\u00edn necesitamos un punto y un subespacio director formado por dos vectores. \\[\\pi=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3)+\\mu(u_1,u_2,u_3),\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Sus ecuaciones param\u00e9tricas ser\u00e1n \\[\\begin{align*}x_1&#038;=p_1+\\lambda v_1+\\mu u_1\\\\ x_2&#038;=p_2+\\lambda v_2+\\mu u_2\\\\ x_3&#038;=p_3+\\lambda v_3+\\mu u_3 \\end{align*}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del plano que pasa por el punto \\(P(1,0,1)\\) y tiene por vectores directores \\(\\vec{u}=(-1,-1,0)\\), \\(\\vec{v}=(-2,0,-1)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n \\[\\begin{align*}x&#038;=1-\\lambda-2\\mu\\\\ y&#038;=-\\lambda\\\\ z&#038;=1-\\mu \\end{align*}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del plano que verifica que los puntos \\(P(1,0,1)\\), \\(Q(-1,2,1)\\) y  \\(R(1,2,-1)\\) son coplanarios<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nComo necesitamos un punto y dos vectores directores, elegido \\(P(1,0,1)\\), tomamos \\(\\vec{v}=\\overrightarrow{QP}=(-1,2,1)-(1,0,1)=(-2,2,0)\\), \\(\\vec{u}=\\overrightarrow{RP}=(1,2,-1)-(1,0,1)=(0,2,-2)\\). As\u00ed ser\u00e1<br \/>\n \\[\\begin{align*}x&#038;=1-2\\lambda\\\\ y&#038;=2\\lambda+2\\mu\\\\ z&#038;=1-2\\mu \\end{align*}\\]\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina un vector en la direcci\u00f3n del subespacio \\(U=\\mbox{Gen}\\{(2,0,1)\\}\\) de longitud 6.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv52() {\n  var htmlShow52 = document.getElementById(\"html-show52\");\n  if (htmlShow52.style.display === \"none\") {\n    htmlShow52.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow52.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv52()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show52\" style=\"display: none;\">\nQue un vector, \\(\\vec{v}\\), est\u00e9 en la direcci\u00f3n del subespacio significa que \\(\\vec{v}\\in\\mbox{Gen}\\{(2,0,1)\\}\\); es decir, existe un n\u00famero real, \\(\\lambda\\), tal que \\(\\vec{v}=\\lambda(2,0,1)\\). Que su longitud sea 6, nos dice que \\(\\parallel\\vec{v}\\parallel=\\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=6\\). Luego \\[\\parallel\\vec{v}\\parallel=\\parallel(2\\lambda,0,\\lambda)\\parallel=\\sqrt{\\lambda^2(2^2+1^2)}=\\lambda\\sqrt{5}=6\\]<br \/>\nLuego \\[\\vec{v}=\\frac{6}{\\sqrt{5}}(2,0,1).\\]<\/p>\n<p>Observar que esto que hemos realizado es equivalente a considerar el vector unitario de la base y multiplicarlo por 6. Es decir, el vector que buscamos es \\[\\vec{v}=6\\frac{(2,0,1)}{\\parallel(2,0,1)\\parallel}.\\]\n<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es producto escalar del vector [3,2,1] y el vector unitario normal del plano que contiene los puntos P(1,2,3), Q(-1,0,2) y R(4,-2,0)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv43() {\n  var htmlShow43 = document.getElementById(\"html-show43\");\n  if (htmlShow43.style.display === \"none\") {\n    htmlShow43.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow43.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv43()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show43\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Ecuaci\u00f3n impl\u00edcita de un plano. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wzkhsvP0peQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>\u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. 5\u00ba edici\u00f3n, David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l de los puntos dados es colineal con los puntos P(2,2,-1), Q(1,2,-3) y R(3,-2,1)? <\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>(-4,1,6)<\/li>\n<li>(0,2,-5)<\/li>\n<li>(-1,1,5)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>\n<button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>B.)<\/strong><\/p>\n<p>Recordad, un punto \\(O\\) es colineal a dos puntos \\(P\\) y \\(Q\\) si \\(O=P+\\lambda\\ \\overrightarrow{QP}\\). Si esto ocurre entonces, \\(\\overrightarrow{QP}\\) y \\(\\overrightarrow{OP}\\) son proporcionales.\n<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda definimos un espacio vectorial como un conjunto de elementos, que llamaremos vectores, que cumple determinadas propiedades respecto de un cuerpo, en nuestro caso \\(\\mathbb{R}\\), los n\u00fameros reales. 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