{"id":691,"date":"2025-12-10T08:25:09","date_gmt":"2025-12-10T07:25:09","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=691"},"modified":"2025-12-05T22:20:11","modified_gmt":"2025-12-05T21:20:11","slug":"alg-autovectores-y-autovalores","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=691","title":{"rendered":"ALG: Autovectores y autovalores"},"content":{"rendered":"<h2>Autovalores<\/h2>\n<p>Denominamos esta parte autovectores y autovalores, tambi\u00e9n conocidos como vectores y valores propios de una matriz. Su definici\u00f3n es simple:<\/p>\n<blockquote><p>Dada una matriz, \\(A\\in\\mathcal{C}_n(\\mathbb{K})\\), real o compleja, cuerpos que trataremos, decimos que \\(\\vec{v} \\in\\mathbb{K}^n\\) es un autovector, o vector propio de la matriz, si \\[A\\vec{v}=\\lambda\\vec{v},\\] siendo \\(\\lambda\\in\\mathbb{K}\\). Al real \\(\\lambda\\) se le denomina autovalor o valor propio de la matriz.<\/p><\/blockquote>\n<p>Nuestro principal prop\u00f3sito es saber determinar los autovectores y autovalores de una matriz.<\/p>\n<p>Para conseguir nuestro prop\u00f3sito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuaci\u00f3n que plantea el determinante \\[det(A-\\lambda\\, I),\\] siendo \\(A\\in\\mathcal{C}_n(\\mathbb{K})\\) la matriz cuadrada y \\(I\\) la indentidad en \\(\\mathcal{C}_n(\\mathbb{K})\\).<\/p>\n<p>El polinomio \\(p(\\lambda) = det(A \u2013 \\lambda I)\\) es el polinomio caracter\u00edstico de A: los autovalores, o valores propios, de una matriz son los ceros de su polinomio caracter\u00edstico (soluciones de la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica).<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar los autovalores de la matriz \\[\\begin{bmatrix}2&#038;1\\\\1&#038;2\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g5() {\n  var htmlShow2g5 = document.getElementById(\"html-show2g5\");\n  if (htmlShow2g5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g5\" style=\"display: none;\">Plantemos el poplinomio caracter\u00edstico:\\[\\mathbf{det}(A-\\lambda I)=\\begin{vmatrix}2-\\lambda &#038;1\\\\1&#038;2-\\lambda \\end{vmatrix}=3-4\\lambda +\\lambda ^{2}.\\]<br \/>\nEsto nos proporciona \\[{\\lambda _1} = 1\\;\\; \\wedge \\;\\;\\;{\\lambda _2} = 3\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar los autovalores de la matriz \\[\\begin{bmatrix}3&amp;2&amp;{-1}\\\\2&amp;3&amp;1\\\\0&amp;0&amp;5\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g() {\n  var htmlShow2g = document.getElementById(\"html-show2g\");\n  if (htmlShow2g.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g\" style=\"display: none;\">Plantemos el poplinomio caracter\u00edstico: \\[\\left|\\begin{bmatrix}3&amp;2&amp;{-1}\\\\2&amp;3&amp;1\\\\0&amp;0&amp;5\\end{bmatrix}-\\lambda\\begin{bmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\ 0&amp;1&amp;0\\\\0&amp;0&amp;1\\end{bmatrix}\\right|=\\left|\\begin{bmatrix}3-\\lambda &amp;2&amp;{-1}\\\\2&amp;3-\\lambda&amp;1\\\\0&amp;0&amp;5-\\lambda\\end{bmatrix}\\right|= \\left( {5 &#8211; \\lambda } \\right).\\left( {{{\\left( {3 &#8211; \\lambda } \\right)}^2} &#8211; 4} \\right) = 0\\]<br \/>\nDe la \u00faltima igualdad obtenemos \\[\\left( {5 &#8211; \\lambda } \\right).\\left( {{{\\left( {3 &#8211; \\lambda } \\right)}^2} &#8211; 4} \\right) =\\]\\[ \\left( {5 &#8211; \\lambda } \\right).\\left( {{{\\left( {3 &#8211; \\lambda } \\right)}} &#8211; 2}\\right).\\left( {{{\\left( {3 &#8211; \\lambda } \\right)}} + 2} \\right)= \\]\\[\\left( {5 &#8211; \\lambda } \\right)^2.\\left( {1 &#8211; \\lambda } \\right)=0\\]<br \/>\nEsto nos proporciona \\[{\\lambda _1} = 5\\;\\; \\wedge \\;\\;\\;{\\lambda _2} = 5\\;\\; \\wedge \\;\\;{\\lambda _3} = 1\\]<\/div>\n<hr \/>\n<p>El siguiente resultado es muy pr\u00e1ctico para encontrar las ra\u00edces enteras<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema:<\/strong> Si \\(p(x)=p_0+p_1X+\\ldots+p_nX^n\\in\\mathbb{Z}[X]\\) tiene una ra\u00edz entera \\(a\\), entonces \\(a\\) divide a \\(p_0\\).<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Cu\u00e1ntos son los autovalores distintos de la matriz \\[\\begin{bmatrix}4 &amp; -1 &amp; 6 &amp; 0\\\\<br \/>\n2 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 0\\\\<br \/>\n2 &amp; -1 &amp; 8 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 2 &amp; 0 &amp; 1\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g2() {\n  var htmlShow2g2 = document.getElementById(\"html-show2g2\");\n  if (htmlShow2g2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g2\" style=\"display: none;\">\n\\[<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n\\begin{vmatrix}4-\\lambda  &#038; -1 &#038; 6 &#038; 0\\\\<br \/>\n2 &#038; 1-\\lambda  &#038; 6 &#038; 0\\\\<br \/>\n2 &#038; -1 &#038; 8-\\lambda  &#038; 0\\\\<br \/>\n0 &#038; 2 &#038; 0 &#038; 1-\\lambda \\end{vmatrix}&#038;={{\\lambda }^{4}}-14 {{\\lambda }^{3}}+53 {{\\lambda }^{2}}-76 \\lambda +36\\\\<br \/>\n&#038;=\\left( \\lambda -9\\right)  {{\\left( \\lambda -2\\right) }^{2}} \\left( \\lambda -1\\right)<br \/>\n\\end{align}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto, \\({\\lambda _1} = 9\\;\\; \\wedge \\;\\;\\;{\\lambda _2} = 2\\;\\; \\wedge \\;\\;{\\lambda _3} = 1\\).\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Cu\u00e1ntos son los autovalores distintos de la matriz \\[\\begin{bmatrix}5 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 4 &amp; 1 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 1 &amp; 3 &amp; 1 \\\\<br \/>\n0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g3() {\n  var htmlShow2g3 = document.getElementById(\"html-show2g3\");\n  if (htmlShow2g3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g3\" style=\"display: none;\">\nBuscamos los autovalores restantes resolviendo \\( \\det(A &#8211; \\lambda I) = 0 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\det \\begin{bmatrix} 5-\\lambda &#038; 2 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 4-\\lambda &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 3-\\lambda &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; -\\lambda \\end{bmatrix} =<br \/>\n-\\lambda\\det \\begin{bmatrix} 5-\\lambda &#038; 2 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 4-\\lambda &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 3-\\lambda \\end{bmatrix}\\]<\/p>\n<p>Como vemos, \\( \\lambda = 0 \\) es una autovalor, y los autovalores restantes vienen de resolver \\( \\det(M_{44}) = 0 \\). Donde \\( M_{44} \\) es el adjunto  \\( 3 \\times 3 \\) correspondiente al elemento \\(a_{44}\\) de la matriz de partida.<\/p>\n<p>Para simplificar \\( \\det(M_{44}) \\), aplicamos la operaci\u00f3n de columna \\( C_1 \\leftarrow C_1 &#8211; C_3 \\) y \\( C_2 \\leftarrow C_2 &#8211; C_3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n\\det(M_{44}) &#038;= \\det \\begin{bmatrix} 5-\\lambda &#8211; 1 &#038; 2 &#8211; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#8211; 1 &#038; 4-\\lambda &#8211; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#8211; (3-\\lambda) &#038; 1 &#8211; 1 &#038; 3-\\lambda \\end{bmatrix}\\\\<br \/>\n&#038;=\\left( \\lambda -3\\right) \\left( {{\\lambda }^{2}}-9 \\lambda +16\\right)<br \/>\n\\end{align}<br \/>\n\\]<br \/>\nC\u00f3mo \\( {{\\lambda }^{2}}-9 \\lambda +16\\) tiene raices reales, podemos concluir que la matriz tiene cuatro autovalores distintos.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Cu\u00e1ntos son los autovalores distintos de la matriz<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 5 &amp; -10 \\\\<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 10\\\\<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g4() {\n  var htmlShow2g4= document.getElementById(\"html-show2g4\");\n  if (htmlShow2g4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g4\" style=\"display: none;\">\n<p>Calculamos <\/p>\n<p>\\[\\begin{vmatrix}1-\\lambda  &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0\\\\<br \/>\n0 &#038; 1-\\lambda  &#038; 5 &#038; -10\\\\<br \/>\n1 &#038; 0 &#038; 2-\\lambda  &#038; 0\\\\<br \/>\n1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 3-\\lambda \\end{vmatrix}={{\\lambda }^{4}}-7 {{\\lambda }^{3}}+17 {{\\lambda }^{2}}-17 \\lambda +6=0\\]<br \/>\nEl \u00faltimo t\u00e9rmino es 6, veamos si entre los divisores de 6 hay soluciones:<br \/>\n\\[\\begin{vmatrix}1-\\lambda  &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0\\\\<br \/>\n0 &#038; 1-\\lambda  &#038; 5 &#038; -10\\\\<br \/>\n1 &#038; 0 &#038; 2-\\lambda  &#038; 0\\\\<br \/>\n1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 3-\\lambda \\end{vmatrix}=\\left( \\lambda -3\\right) \\, \\left( \\lambda -2\\right)  {{\\left( \\lambda -1\\right) }^{2}}\\]<br \/>\nPor tanto, tenemos tres autovalores distintos.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<p>Si \\(A\\) es una matriz cuadrada de orden \\(n\\) y si \\[{\\displaystyle p(\\lambda )=\\det(\\lambda I_{n}-A)=\\lambda ^{n}+p_{n-1}\\lambda ^{n-1}+\\ldots +p_{1}\\lambda +p_{0}}\\] es su polinomio caracter\u00edstico (polinomio de indeterminada \u03bb), entonces al sustituir formalmente \u03bb por la matriz \\(A\\) en el polinomio, el resultado es la matriz nula:\\[{\\displaystyle p(A)=A^{n}+p_{n-1}A^{n-1}+\\ldots +p_{1}A+p_{0}I_{n}=0_{n}.\\;}\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\[A:\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\3&#038;4\\end{bmatrix}.\\] Probar que \\(A^2-5A-2I_2=0\\)<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g5s() {\n  var htmlShow2g5s = document.getElementById(\"html-show2g5s\");\n  if (htmlShow2g5s.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g5s.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g5s.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g5s()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g5s\" style=\"display: none;\">Es suficiente con ver que:\\[\\mathbf{det}(A-\\lambda I)=\\begin{vmatrix}1-\\lambda &#038;2\\\\3&#038;4-\\lambda \\end{vmatrix}=\\lambda^{2}-5\\lambda-2,\\] y aplicar el resultado anterior.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Transformaciones de similitud.<\/strong> Se dice que dos matrices \\({ A}\\) y \\({ B}\\) de orden \\({\\displaystyle n\\times n}\\) sobre el cuerpo \\({\\mathbb{K}}\\) son <strong>semejantes<\/strong> si existe una matriz invertible \\({\\displaystyle P}\\) de \\({\\displaystyle n\\times n}\\) sobre \\({\\mathbb{K}}\\) tal que:\\[{\\displaystyle A=PBP^{-1}}\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Teorema:<\/strong> Si \\({ A}\\) y \\({ B}\\) son dos matrices <strong>semejantes<\/strong> en el sentido anterior, entonces ambas comparten el mismo polinomio caracter\u00edstico.<\/p><\/blockquote>\n<p>Observar que esta semejanza es diferente a la semejanza por trasformaciones elementales de fila o columna. Aunque las transformaciones elementales de fila (y\/o columna) pueden simplificar una matriz y son \u00fatiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales, no preservan los autovalores. Los autovalores son invariantes bajo transformaciones de similitud, que implican multiplicar la matriz por una matriz invertible y su inversa, no simplemente realizar operaciones elementales de fila y\/o columna.<\/p>\n<h3>Ra\u00edces de un polinomio de grado 2 o 3<\/h3>\n<p>Las ra\u00edces de esta ecuaci\u00f3n, \\(p(\\lambda) =0\\), depender\u00e1n del grado de la matriz y el cuerpo donde se resuelva. Recordemos que en el cuerpo de los complejos una ecuaci\u00f3n de grado \\(n\\) tiene \\(n\\) soluciones complejas, pero en los reales no tiene por qu\u00e9.<\/p>\n<p>Nosotros nos dedicaremos a estudiar, sobre todo, las ra\u00edces reales. De este modo, puede ocurrir:<\/p>\n<ul>\n<li>Un polinomio de grado 2 tendr\u00e1:\n<ul>\n<li>Dos ra\u00edces reales iguales<\/li>\n<li>Dos ra\u00edces reales distintas<\/li>\n<li>Dos ra\u00edces complejas distintas<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Un polinomio de grado 3 tendr\u00e1:\n<ul>\n<li>tres ra\u00edces reales distintas<\/li>\n<li>tres ra\u00edces reales iguales<\/li>\n<li>dos ra\u00edces reales iguales y una distinta<\/li>\n<li>una ra\u00edz real y dos complejas distintas<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pod\u00e9is ver m\u00e1s ejemplos en <a href=\"http:\/\/en.wikibooks.org\/wiki\/Linear_Algebra\/Eigenvalues_and_Eigenvectors\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Linear Algebra\/Eigenvalues and Eigenvectors<\/a>.<\/p>\n<h2>Autovectores<\/h2>\n<p>Si determinamos los valores propios, o autovalores, saber los vectores propios, o autovalores, ser\u00e1 equivalente a resolver el sistema \\[(\\mathbf{A}-\\lambda\\, I)\\vec{x}=\\vec{0},\\] para cada valor propio \\(\\lambda\\) ra\u00edz de la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica(el resultado de igualar el polinomio caracter\u00edstico a cero). As\u00ed, para cada valor propio habr\u00e1 un vector propio, al menos.<\/p>\n<p>Cada valor propio tiene asociado un conjunto \\(C_\\lambda=\\{\\vec{v}\\in\\mathbb{K}^n\\}\\), que se determina resolviendo el sistema homogeneo \\((\\mathbf{A}-\\lambda\\, I)\\vec{x}=\\vec{0}\\), que se denomina <strong>subespacio propio<\/strong> de \\(\\lambda\\). Las bases de estos subespacios son los vectores propios de la matriz.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar los autovectores de la matriz \\[\\begin{bmatrix}2&#038;1\\\\1&#038;2\\end{bmatrix}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g53() {\n  var htmlShow2g53 = document.getElementById(\"html-show2g53\");\n  if (htmlShow2g53.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g53.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g53.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g53()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g53\" style=\"display: none;\">\n1. C\u00e1lculo de Autovalores (\\( \\lambda \\))<\/p>\n<p>Por el ejercicio anterio sabemos que los autovalores son  \\( \\lambda_1 = -1 \\) y \\( \\lambda_2 = 3 \\).<\/p>\n<p>2. C\u00e1lculo de Autovectores (\\( \\mathbf{v} \\))<\/p>\n<p>Para cada autovalor \\( \\lambda \\), el autovector \\( \\mathbf{v} = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} \\) asociado se encuentra resolviendo el sistema homog\u00e9neo \\( (A &#8211; \\lambda I)\\mathbf{v} = \\mathbf{0} \\).<\/p>\n<p>2.1. Autovectores para \\( \\lambda_1 = -1 \\)<\/p>\n<p>Sustituimos \\( \\lambda = -1 \\) en la matriz \\( A &#8211; \\lambda I \\):<br \/>\n\\[<br \/>\nA &#8211; (-1)I = \\begin{bmatrix} 1-(-1) &#038; 2 \\\\ 2 &#038; 1-(-1) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 &#038; 2 \\\\ 2 &#038; 2 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>El sistema \\( (A &#8211; \\lambda_1 I)\\mathbf{v}_1 = \\mathbf{0} \\) es:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} 2 &#038; 2 \\\\ 2 &#038; 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Esto conduce al sistema de ecuaciones:<br \/>\n1.  \\( 2x + 2y = 0 \\)<br \/>\n2.  \\( 2x + 2y = 0 \\)<\/p>\n<p>Ambas ecuaciones son linealmente dependientes y se simplifican a \\( x + y = 0 \\), lo que implica \\( y = -x \\).<\/p>\n<p>Si elegimos \\( x = t \\) (con \\( t \\ne 0 \\)), entonces \\( y = -t \\).<br \/>\nLos autovectores asociados a \\( \\lambda_1 = -1 \\) son:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_1 = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} t \\\\ -t \\end{bmatrix} = t \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix}, \\quad t \\ne 0<br \/>\n\\]<br \/>\nUn autovector base es \\( \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<p>2.2. Autovectores para \\( \\lambda_2 = 3 \\)<\/p>\n<p>Sustituimos \\( \\lambda = 3 \\) en la matriz \\( A &#8211; \\lambda I \\):<br \/>\n\\[<br \/>\nA &#8211; 3I = \\begin{bmatrix} 1-3 &#038; 2 \\\\ 2 &#038; 1-3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -2 &#038; 2 \\\\ 2 &#038; -2 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>El sistema \\( (A &#8211; \\lambda_2 I)\\mathbf{v}_2 = \\mathbf{0} \\) es:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} -2 &#038; 2 \\\\ 2 &#038; -2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Esto conduce al sistema de ecuaciones:<br \/>\n1.  \\( -2x + 2y = 0 \\)<br \/>\n2.  \\( 2x &#8211; 2y = 0 \\)<\/p>\n<p>Ambas ecuaciones son linealmente dependientes y se simplifican a \\( x &#8211; y = 0 \\), lo que implica \\( y = x \\).<\/p>\n<p>Si elegimos \\( x = s \\) (con \\( s \\ne 0 \\)), entonces \\( y = s \\).<br \/>\nLos autovectores asociados a \\( \\lambda_2 = 3 \\) son:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_2 = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} s \\\\ s \\end{bmatrix} = s \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad s \\ne 0<br \/>\n\\]<br \/>\nUn autovector base es \\( \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<p>3. Conclusi\u00f3n<\/p>\n<p>Los autovectores de la matriz \\( A = \\begin{bmatrix} 1 &#038; 2 \\\\ 2 &#038; 1 \\end{bmatrix} \\) son:<\/p>\n<p>* Para el autovalor \\( \\lambda_1 = -1 \\), los autovectores son m\u00faltiplos no nulos de \\( \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} \\).<br \/>\n* Para el autovalor \\( \\lambda_2 = 3 \\), los autovectores son m\u00faltiplos no nulos de \\( \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar los autovectores de los autovalores enteros de la matriz<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\n5 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 4 &amp; 1 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 1 &amp; 3 &amp; 1 \\\\<br \/>\n0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g153() {\n  var htmlShow2g153 = document.getElementById(\"html-show2g153\");\n  if (htmlShow2g153.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g153.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g153.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g153()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g153\" style=\"display: none;\">\nEs f\u00e1cil ver, por el procedimiento que hemos visto antes, que \\(p_A(\\lambda)=\\lambda\\left( \\lambda -3\\right) \\left( {{\\lambda }^{2}}-9 \\lambda +16\\right)\\), con lo cual tendremos \\( \\lambda_1 = 0 \\) y \\( \\lambda_2 = 3 \\) como autovalores enteros.<\/p>\n<p>1. C\u00e1lculo de Autovectores (\\( \\mathbf{v} \\))<\/p>\n<p>Calcularemos los autovectores base para los autovalores m\u00e1s sencillos: \\( \\lambda_1 = 0 \\) y \\( \\lambda_2 = 3 \\).<\/p>\n<p>1.1. Autovectores para \\( \\lambda_1 = 0 \\)<\/p>\n<p>Resolvemos \\( (A &#8211; 0I)\\mathbf{v}_1 = \\mathbf{0} \\), que es \\( A\\mathbf{v}_1 = \\mathbf{0} \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} 5 &#038; 2 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 4 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 3 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Reducimos por Gauss-Jordan. Intercambiamos \\( F_1 \\leftrightarrow F_3 \\):<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} 1 &#038; 1 &#038; 3 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 4 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 5 &#038; 2 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<br \/>\n\\( F_2 \\leftarrow F_2 &#8211; F_1 \\); \\( F_3 \\leftarrow F_3 &#8211; 5F_1 \\):<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} 1 &#038; 1 &#038; 3 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 3 &#038; -2 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; -3 &#038; -14 &#038; -4 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<br \/>\n\\( F_3 \\leftarrow F_3 + F_2 \\):<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} 1 &#038; 1 &#038; 3 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 3 &#038; -2 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; -16 &#038; -4 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>De \\( F_3 \\): \\( -16z &#8211; 4w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad w = -4z \\).<br \/>\nDe \\( F_2 \\): \\( 3y &#8211; 2z = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad y = \\frac{2}{3}z \\).<br \/>\nDe \\( F_1 \\): \\( x + y + 3z + w = 0 \\).<br \/>\n\\[<br \/>\nx + \\left(\\frac{2}{3}z\\right) + 3z + (-4z) = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x + \\left(\\frac{2}{3} + 3 &#8211; 4\\right)z = 0<br \/>\n\\]<br \/>\n\\[<br \/>\nx + \\left(\\frac{2+9-12}{3}\\right)z = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x &#8211; \\frac{1}{3}z = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = \\frac{1}{3}z<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Elegimos \\( z = 3t \\) para evitar fracciones (con \\( t \\ne 0 \\)).<br \/>\n\\[<br \/>\nx = t, \\quad y = 2t, \\quad z = 3t, \\quad w = -12t<br \/>\n\\]<br \/>\nLos autovectores para \\( \\lambda_1 = 0 \\) son:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_1 = t \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -12 \\end{bmatrix}, \\quad t \\ne 0<br \/>\n\\]<br \/>\nUn autovector base es \\( \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -12 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<p>1.2. Autovectores para \\( \\lambda_2 = 3 \\)<\/p>\n<p>Resolvemos \\( (A &#8211; 3I)\\mathbf{v}_2 = \\mathbf{0} \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA &#8211; 3I = \\begin{bmatrix} 5-3 &#038; 2 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 4-3 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 3-3 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0-3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 &#038; 2 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 0 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; -3 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix} 2 &#038; 2 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 1 &#038; 1 \\\\ 1 &#038; 1 &#038; 0 &#038; 1 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; -3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>De \\( F_4 \\): \\( -3w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad w = 0 \\).<br \/>\nSustituimos \\( w=0 \\) en las primeras tres ecuaciones:<br \/>\n1.  \\( 2x + 2y + z = 0 \\)<br \/>\n2.  \\( x + y + z = 0 \\)<br \/>\n3.  \\( x + y = 0 \\)<\/p>\n<p>De \\( F_3 \\): \\( y = -x \\).<br \/>\nSustituimos \\( y = -x \\) en \\( F_2 \\): \\( x + (-x) + z = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad z = 0 \\).<\/p>\n<p>Verificamos en \\( F_1 \\): \\( 2x + 2(-x) + 0 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad 0 = 0 \\). Consistente.<\/p>\n<p>Elegimos \\( x = s \\) (con \\( s \\ne 0 \\)). Entonces \\( y = -s \\), \\( z = 0 \\), \\( w = 0 \\).<br \/>\nLos autovectores para \\( \\lambda_2 = 3 \\) son:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_2 = s \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\quad s \\ne 0<br \/>\n\\]<br \/>\nUn autovector base es \\( \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar los autovectores de la matriz<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 5 &amp; -10 \\\\<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 10\\\\<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2g34() {\n  var htmlShow2g34= document.getElementById(\"html-show2g34\");\n  if (htmlShow2g34.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2g34.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2g34.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2g34()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2g34\" style=\"display: none;\">\nPor el ejercicio anterior conocemos quienes son sus autovalores, calculemos los autovectores de cada autovalor.<\/p>\n<p>1. Autovectores para \\( \\lambda_1 = 3 \\) (Multiplicidad 1)<\/p>\n<p>Resolvemos el sistema homog\u00e9neo \\( (A &#8211; 3I)\\mathbf{v} = \\mathbf{0} \\), donde \\( \\mathbf{v} = (x, y, z, w)^T \\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA &#8211; 3I = \\begin{bmatrix} 1-3 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 1-3 &#038; 5 &#038; -10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 2-3 &#038; 10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 3-3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -2 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; -2 &#038; 5 &#038; -10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; -1 &#038; 10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>De \\( F_1 \\): \\( -2x = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 0 \\).<br \/>\nDe \\( F_4 \\): \\( x = 0 \\). (Consistente).<\/p>\n<p>Sustituimos \\( x = 0 \\) en \\( F_3 \\): \\( 1(0) + 0 &#8211; z + 10w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad z = 10w \\).<br \/>\nSustituimos \\( x = 0 \\) y \\( z = 10w \\) en \\( F_2 \\): \\( 0 &#8211; 2y + 5(10w) &#8211; 10w = 0 \\).<br \/>\n\\[<br \/>\n-2y + 50w &#8211; 10w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad -2y + 40w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad y = 20w<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Tenemos una variable libre, \\( w \\). Elegimos \\( w = t \\) (con \\( t \\ne 0 \\)).<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_1 = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 20t \\\\ 10t \\\\ t \\end{bmatrix} = t \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 20 \\\\ 10 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad t \\ne 0<br \/>\n\\]<br \/>\nUn autovector base para \\( \\lambda_1 = 3 \\) es \\( \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 20 \\\\ 10 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<p>2. Autovectores para \\( \\lambda_2 = 2 \\) (Multiplicidad 1)<\/p>\n<p>Resolvemos el sistema homog\u00e9neo \\( (A &#8211; 2I)\\mathbf{v} = \\mathbf{0} \\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA &#8211; 2I = \\begin{bmatrix} 1-2 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 1-2 &#038; 5 &#038; -10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 2-2 &#038; 10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 3-2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; -1 &#038; 5 &#038; -10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 1 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>De \\( F_1 \\): \\( -x = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 0 \\).<\/p>\n<p>Sustituimos \\( x = 0 \\) en \\( F_3 \\): \\( 0 + 0 + 0 + 10w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad w = 0 \\).<br \/>\nSustituimos \\( x = 0 \\) en \\( F_4 \\): \\( 0 + 0 + 0 + w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad w = 0 \\). (Consistente).<\/p>\n<p>Sustituimos \\( w = 0 \\) en \\( F_2 \\): \\( 0 &#8211; y + 5z &#8211; 10(0) = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad y = 5z \\).<\/p>\n<p>Tenemos una variable libre, \\( z \\). Elegimos \\( z = s \\) (con \\( s \\ne 0 \\)).<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_2 = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 5s \\\\ s \\\\ 0 \\end{bmatrix} = s \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\quad s \\ne 0<br \/>\n\\]<br \/>\nUn autovector base para \\( \\lambda_2 = 2 \\) es \\( \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\).<\/p>\n<p>3. Autovectores para \\( \\lambda_3 = 1 \\) (Multiplicidad Doble)<\/p>\n<p>Resolvemos el sistema homog\u00e9neo \\( (A &#8211; 1I)\\mathbf{v} = \\mathbf{0} \\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA &#8211; 1I = \\begin{bmatrix} 1-1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 1-1 &#038; 5 &#038; -10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 2-1 &#038; 10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 3-1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 5 &#038; -10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 1 &#038; 10 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 0 &#038; 2 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Esta matriz ya est\u00e1 parcialmente reducida. Las ecuaciones son:<br \/>\n1. \\( 0 = 0 \\) (Fila libre, da una variable libre)<br \/>\n2. \\( 5z &#8211; 10w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad z = 2w \\)<br \/>\n3. \\( x + z + 10w = 0 \\)<br \/>\n4. \\( x + 2w = 0 \\)<\/p>\n<p>De \\( F_4 \\): \\( x = -2w \\).<\/p>\n<p>Sustituimos \\( x = -2w \\) y \\( z = 2w \\) en \\( F_3 \\):<br \/>\n\\[<br \/>\n(-2w) + (2w) + 10w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad 10w = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad w = 0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Si \\( w = 0 \\), entonces:<br \/>\n* \\( z = 2w = 0 \\)<br \/>\n* \\( x = -2w = 0 \\)<\/p>\n<p>Sustituimos estos valores en \\( F_2 \\): \\( 5(0) &#8211; 10(0) = 0 \\). Consistente.<\/p>\n<p>El \u00fanico par\u00e1metro libre es \\( y \\).<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{v}_{3,4} = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ y \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} = r \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\quad r \\ne 0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>El \u00fanico autovector base para \\( \\lambda_3 = 1 \\) es \\( \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\).\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h3>Multiplicidad algebraica y geom\u00e9trica<\/h3>\n<p>As\u00ed, al n\u00famero de veces que un autovalor \\(\\lambda\\) se repite como ra\u00edz del polinomio caracter\u00edstico se le llama multiplicidad algebraica y se representa por \\(m_a(\\lambda)\\). Y al n\u00famero m\u00e1ximo de autovectores linealmente independientes que tiene asociado un autovalor \\(\\lambda\\), es decir, la dimensi\u00f3n del subespacio propio \\(\\mathcal{C}_\\lambda\\), se le llama multiplicidad geom\u00e9trica de \\(\\lambda\\) y se representa por \\(m_g(\\lambda)\\). Estos dos n\u00fameros est\u00e1n relacionados por una desigualdad: \\[m_g(\\lambda)\\leqslant m_a(\\lambda)\\]<\/p>\n<h3>Propiedades de los Autovectores<\/h3>\n<ol>\n<li><strong>Escalar Asociado:<\/strong> Cada autovector tiene un autovalor asociado, que es el factor por el cual se escala el autovector cuando se aplica la matriz.<\/li>\n<li><strong>Ortogonalidad:<\/strong> Los autovectores de una matriz sim\u00e9trica son ortogonales entre s\u00ed.<\/li>\n<li><strong>Invariancia de Direcci\u00f3n:<\/strong> Los autovectores mantienen su direcci\u00f3n bajo la transformaci\u00f3n de la matriz, aunque su magnitud puede cambiar.<\/li>\n<li><strong>Independencia Lineal:<\/strong> Los autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes.<\/li>\n<li><strong>Dimensi\u00f3n del Autoespacio:<\/strong> El conjunto de todos los autovectores asociados a un autovalor \\( \\lambda \\) forma un subespacio vectorial llamado subespacio propio asociado a \\( \\lambda \\), \\(\\mathcal{C}_\\lambda\\).<\/li>\n<li><strong>Multiplicidad Geom\u00e9trica:<\/strong> La multiplicidad geom\u00e9trica de un autovalor es el n\u00famero de autovectores linealmente independientes asociados a ese autovalor.<\/li>\n<li><strong>Transformaciones Lineales:<\/strong> Los autovectores son fundamentales en el estudio de transformaciones lineales, ya que simplifican la comprensi\u00f3n de c\u00f3mo una matriz transforma el espacio.<\/li>\n<li><strong>Aplicaciones Pr\u00e1cticas:<\/strong> Los autovectores se utilizan en diversas aplicaciones, como la compresi\u00f3n de datos, an\u00e1lisis de componentes principales(PCA), la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica y la estabilidad de sistemas din\u00e1micos.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Geometric transformations<\/h2>\n<p>Los vectores propios y los valores propios pueden ser \u00fatiles para comprender las transformaciones lineales de las formas geom\u00e9tricas. La siguiente tabla presenta algunos ejemplos de transformaciones en el plano junto con sus matrices 2\u00d72, valores propios y vectores propios:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Eigenvalues_and_eigenvectors\" target=\"_blank\">Geometric transformations<\/a><br \/>\n&nbsp;<\/p>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong>\u00bfCu\u00e1l de las siguientes afirmaciones es falsa?<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>Una aplicaci\u00f3n ortogonal conserva los \u00e1ngulos.<\/li>\n<li>La composici\u00f3n de aplicaciones ortogonales es una aplicaci\u00f3n ortogonal.<\/li>\n<li>El determinante de una matriz ortogonal es 1<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Autovalores Denominamos esta parte autovectores y autovalores, tambi\u00e9n conocidos como vectores y valores propios de una matriz. Su definici\u00f3n es simple: Dada una matriz, \\(A\\in\\mathcal{C}_n(\\mathbb{K})\\), real o compleja, cuerpos que trataremos, decimos&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-691","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/691","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=691"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/691\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":713,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/691\/revisions\/713"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=691"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=691"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=691"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}