{"id":688,"date":"2025-12-09T12:20:41","date_gmt":"2025-12-09T11:20:41","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=688"},"modified":"2025-12-09T10:55:32","modified_gmt":"2025-12-09T09:55:32","slug":"mathbio-modelizacion-de-procesos-biologicos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=688","title":{"rendered":"MathBio: Modelizaci\u00f3n de procesos biol\u00f3gicos"},"content":{"rendered":"<p>Muchos procesos biol\u00f3gicos ocurren continuamente a trav\u00e9s del tiempo. Algunos ejemplos son el cambio de concentraci\u00f3n de un f\u00e1rmaco en el torrente sangu\u00edneo de un paciente, o el crecimiento de la masa de organismos individuales. Incluso la din\u00e1mica de la poblaci\u00f3n de muchas especies, desde el tama\u00f1o de colonias de bacterias del tama\u00f1o de la poblaci\u00f3n humana, a veces son mejor modeladas por suponiendo que la cantidad de inter\u00e9s (el tama\u00f1o de la poblaci\u00f3n, en este caso) cambia continuamente a trav\u00e9s del tiempo. Las ecuaciones proporcionan una forma conveniente y natural de construir tales modelos.<\/p>\n<p>Una ecuaci\u00f3n diferencial es una ecuaci\u00f3n que contiene una funci\u00f3n desconocida y una o m\u00e1s de sus derivados. Tales ecuaciones surgen en una variedad de situaciones, pero una de las m\u00e1s com\u00fan es en los modelos de crecimiento de la poblaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Entre los modelos de crecimiento de la poblaci\u00f3n encontramos el m\u00e1s sencillo Modelo de Malthus o exponencial:<\/p>\n<blockquote>\n<p>La velocidad de crecimiento con respecto a la poblaci\u00f3n crece en progresi\u00f3n geom\u00e9trica, es decir, la tasa de crecimiento es constante.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Lo que nos plantea el problema de valor inicial<br \/>\n\\[\\left\\{\\begin{matrix} p'(t)=ap(t)\\\\ p(t_0)=p_0\\end{matrix}\\right.,\\]<\/p>\n<p>que nos plantea la soluci\u00f3n \\(p(t)=p_0e^{at}\\). Para cualquier valor de a, podemos garantizar la positividad de la soluci\u00f3n, es decir, \\(p(t)\\) mayor que 0 para todo \\(t\\) mayor o igual que cero. Adem\u00e1s, si \\(a\\) es mayor que 0, \\(p(t)\\) es creciente t positivo. En cambio, si \\(a\\) es negativo tenemos que \\(p(t)\\) es decreciente para todo \\(t\\) positivo. Derivando la primera derivada obtenemos: \\[\\frac{d^2p}{dt^2}(t) = a^2 p(t).\\]<br \/>\nEntonces \\(p(t)\\) es estrictamente convexa para cualquier valor de a, siempre que \\(p_0&gt;0\\).<\/p>\n<p>El modelo de Malthus tiene distintas aplicaciones dependiendo del signo de \\(a\\). Por ejemplo, cuando la constante de proporcionalidad es positiva se usa para modelar el crecimiento de poblaciones peque\u00f1as de bacterias en un disco de Petri durante un intervalo corto de tiempo. Si por el contrario a &lt; 0, se utiliza para calcular la vida media o semivida de una medicina, es decir, el tiempo que tarda el organismo en eliminar la mitad del f\u00e1rmaco. Este modelo tambi\u00e9n est\u00e1 asociado a problemas de desintegraci\u00f3n radiactiva.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Cierta poblaci\u00f3n de bacterias tiene una rapidez de cambio proporcional a s\u00ed misma. Si en una 1 h tuvo un crecimiento del 50 por ciento, \u00bfen cu\u00e1nto tiempo se duplicar\u00e1 la poblaci\u00f3n?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a() {\n  var htmlShow1a = document.getElementById(\"html-show1a\");\n  if (htmlShow1a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a\" style=\"display: none;\">\nPlanteamos un modelo de crecimiento sencillo,\\[\\left\\{\\begin{matrix} p'(t)=ap(t)\\\\ p(0)=P_0\\end{matrix}\\right.\\]<br \/>\nResolviendo la ecuaci\u00f3n: \\[p'(t)=ap(t)\\Rightarrow \\frac{dp}{p}=a\\ dt\\Rightarrow \\int\\frac{dp}{p}=\\int a\\ dt\\] esto nos da la soluci\u00f3n \\[p(t)=C\\ e^{at}\\] La condici\u00f3n inicial \\(p(0)=P_0\\) implica que nuestra funci\u00f3n es \\[p(t)=P_0\\ e^{at},\\] y como nos dicen que en una hora creci\u00f3 el 50% de la poblaci\u00f3n \\(p(1)=P_0+\\tfrac{1}{2}P_0\\) nos permite deducir la constante \\(a\\): \\[p(1)=P_0+\\tfrac{1}{2}P_0=P_0\\ e^{a}\\Rightarrow a\\approx 0.4055\\] Nuestra funci\u00f3n es \\[p(t)=P_0\\ e^{0.4055t}\\]<\/p>\n<p>El problema nos pide el tiempo que debe transcurrir para que la poblaci\u00f3n se duplique; es decir, \\[2\\cdot  P_0=P_0\\ e^{0.4055t}\\Rightarrow \\ln 2={0.4055t}\\Rightarrow t=\\frac{\\ln 2}{0.4055t}\\approx 1,7093\\]<br \/>\n\\[\\begin{array}{ll}1.7093 &#038; 1\\mbox{ horas}\\\\ .7093\\times 60=42.558 &#038; 42\\mbox{ minutos}\\\\ .558\\times 60=33.48 &#038; 33\\mbox{ segundos}\\end{array}\\]\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En un cultivo de bacterias, se estim\u00f3 que inicialmente hab\u00eda 150 bacterias y 200 despu\u00e9s de una hora (h). Suponiendo una rapidez de crecimiento proporcional a la cantidad de bacterias presente, \u00bfcu\u00e1nto tiempo debe transcurrir para que la poblaci\u00f3n se triplique?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b() {\n  var htmlShow1b = document.getElementById(\"html-show1b\");\n  if (htmlShow1b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b\" style=\"display: none;\">\nPlanteamos un modelo de crecimiento sencillo,\\[\\left\\{\\begin{matrix} p'(t)=ap(t)\\\\ p(0)=150\\end{matrix}\\right.\\]<br \/>\nResolviendo la ecuaci\u00f3n: \\[p'(t)=ap(t)\\Rightarrow \\frac{dp}{p}=a\\ dt\\Rightarrow \\int\\frac{dp}{p}=\\int a\\ dt\\] esto nos da la soluci\u00f3n \\[p(t)=C\\ e^{at}\\] La condici\u00f3n inicial \\(p(0)=150\\) implica que nuestra funci\u00f3n es \\[p(t)=150\\ e^{at},\\] y el valor \\(p(1)=200\\) nos permite deducir la constante \\(a\\): \\[p(1)=200=150\\ e^{a}\\Rightarrow a\\approx 0.2877\\] Nuestra funci\u00f3n es \\[p(t)=150\\ e^{0.2877t}\\]<\/p>\n<p>El problema nos pide el tiempo que debe transcurrir para que la poblaci\u00f3n se triplique; es decir, \\[3\\cdot 150=150\\ e^{0.2877t}\\Rightarrow t=\\frac{\\ln 3}{0.2877}\\approx 3.8186\\]<br \/>\n\\[\\begin{array}{ll}3.8186 &#038; 3\\mbox{ horas}\\\\ .8186\\times 60=49.116 &#038; 49\\mbox{ minutos}\\\\ .116\\times 60=6.96 &#038; 7\\mbox{ segundos}\\end{array}\\]\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Si la poblaci\u00f3n de cierta bacteria crece al 2% por hora \u00bfCu\u00e1nto tiempo debe transcurrir para que la poblaci\u00f3n se duplique?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1d() {\n  var htmlShow1d = document.getElementById(\"html-show1d\");\n  if (htmlShow1d.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1d.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1d.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1d()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1d\" style=\"display: none;\">\nEn este caso ya nos dicen que \\(a=2\\%=0.02\\) luego \\[t=\\frac{\\ln 2}{0.02}\\approx 34.6574\\mbox{ horas}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>El problema se hace un poco m\u00e1s complejo si \\(a(t)\\) es una funci\u00f3n, pero nosotros no abordaremos este problema. Sin embargo, si trataremos el conocido como modelo log\u00edstico.<\/p>\n<p>Este modelo se basa en la funci\u00f3n log\u00edstica, una funci\u00f3n matem\u00e1tica que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones. En concreto para el crecimiento de una poblaci\u00f3n considera que:<\/p>\n<ul>\n<li>la tasa de reproducci\u00f3n es proporcional a la poblaci\u00f3n existente.<\/li>\n<li>la tasa de reproducci\u00f3n es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.<\/li>\n<\/ul>\n<p>El segundo t\u00e9rmino modela, por tanto, la competici\u00f3n por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.<\/p>\n<p>Si \\(P\\) representa el tama\u00f1o de la poblaci\u00f3n y \\(t\\) representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuaci\u00f3n diferencial:<\/p>\n<p>\\[{\\displaystyle {\\frac {dP}{dt}}=rP\\left(1-{\\frac {P}{K}}\\right)}\\]<\/p>\n<p>donde la constante \\(r\\) define la tasa de crecimiento y \\(K\\) es la capacidad de persistencia. La soluci\u00f3n general a esta ecuaci\u00f3n es una funci\u00f3n log\u00edstica. Con una poblaci\u00f3n inicial \\(P_{0}\\):<\/p>\n<p>\\[{\\displaystyle P(t)={\\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\\left(e^{rt}-1\\right)}}}\\]<\/p>\n<p>donde \\({\\displaystyle \\lim _{t\\to \\infty }P(t)=K.}\\)<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Utilizando un modelo log\u00edstico con capacidad de persistencia \\(K=100\\times 10^6\\), una poblaci\u00f3n de bacterias de \\(5\\times 10^6\\) el primer d\u00eda del ensayo, y una raz\u00f3n de crecimiento del 2% diario, \u00bfcu\u00e1l ser\u00eda la poblaci\u00f3n esperada en una semana?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1e() {\n  var htmlShow1e = document.getElementById(\"html-show1e\");\n  if (htmlShow1e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1e\" style=\"display: none;\">\nSi aplicamos el modelo log\u00edstico, la poblaci\u00f3n vendr\u00e1 dada por la funci\u00f3n \\[P(t)={\\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\\left(e^{rt}-1\\right)}}={\\frac {100 \\cdot 5\\cdot e^{0.02t}}{100 +5\\cdot \\left(e^{0.02t}-1\\right)}}.\\]<br \/>\nLa poblaci\u00f3n esperada en una semana ser\u00e1 \\[P(7)={\\frac {100 \\cdot 5\\cdot e^{0.02\\cdot 7}}{100 +5\\cdot \\left(e^{0.02\\cdot 7}-1\\right)}}\\approx 5.70847726;\\] es decir \\[5.708477\\times 10^6 \\mbox{ bacterias}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En base al ejercicio anterior, \u00bfen qu\u00e9 d\u00eda superaremos los 10 millones de bacter\u00edas?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1f() {\n  var htmlShow1f = document.getElementById(\"html-show1f\");\n  if (htmlShow1f.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1f.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1f.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1f()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1f\" style=\"display: none;\">\nEn este caso, necesitamos que \\[10=P(t)={\\frac {100 \\cdot 5\\cdot e^{0.02\\cdot t}}{100 +5\\cdot \\left(e^{0.02\\cdot t}-1\\right)}}.\\]<br \/>\nAhora, \\[\\frac {100 \\cdot 5\\cdot e^{0.02\\cdot t}}{100 +5 e^{0.02\\cdot t}-5}=\\frac{100}{\\frac {100 +5e^{0.02\\cdot t}-5}{ 5 e^{0.02t}}} =\\frac{100}{\\frac {100-5 }{5 e^{0.02\\cdot t}}+\\frac {5 e^{0.02t}}{ 5 e^{0.02 t}}}=\\] \\[=\\frac{100}{\\frac {100-5 }{5}e^{-0.02 t}+1}, \\] <\/p>\n<p>luego \\[10=P(t)=\\frac{100}{\\frac {100-5 }{ 5}e^{-0.02 t}+1}\\Rightarrow \\] \\[e^{-0.02 t}=\\left(\\frac{100}{10}-1 \\right )\\left ( \\frac { 5}{100-5 } \\right)\\Rightarrow \\] \\[ t=\\left (\\frac{1}{-0.02} \\right)\\ln\\left(\\frac {9\\cdot  5}{95} \\right)\\approx 37.3607 \\mbox{ d\u00edas.}\\] Al cabo de 38 d\u00edas se habr\u00e1n superado los 10 millones de bacterias.\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 9 del libro <em>C\u00e1lculo de una variable<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong>Consideremos que el crecimiento una determinada poblaci\u00f3n se rige por el modelo log\u00edstico \\({\\displaystyle {\\frac {dP}{dt}}=0.08P\\left(1-{\\frac {P}{1000}}\\right)}\\), con \\(P(0)=100\\). \u00bfEn qu\u00e9 momento la poblaci\u00f3n llega a 900? Aproximadamente en \\(t\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>55<\/li>\n<li>46<\/li>\n<li>34<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/2021\/12\/Ejer_ecuacion_diferencial5.html\" width=\"650\" height=\"300\" allow=\"fullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Muchos procesos biol\u00f3gicos ocurren continuamente a trav\u00e9s del tiempo. Algunos ejemplos son el cambio de concentraci\u00f3n de un f\u00e1rmaco en el torrente sangu\u00edneo de un paciente, o el crecimiento de la masa&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-688","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/688","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=688"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/688\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":690,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/688\/revisions\/690"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=688"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=688"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=688"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}