{"id":684,"date":"2025-12-09T11:55:25","date_gmt":"2025-12-09T10:55:25","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=684"},"modified":"2025-12-05T08:57:36","modified_gmt":"2025-12-05T07:57:36","slug":"mathbio-tasa-de-multiplicacion-constate-y-ley-del-enfriamiento-de-newton","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=684","title":{"rendered":"MathBio: Tasa de multiplicaci\u00f3n constate y Ley del enfriamiento de Newton"},"content":{"rendered":"<p>Hoy vamos a tratar dos modelos sencillos: Tasa de multiplicaci\u00f3n constate y Ley del enfriamiento de Newton<\/p>\n<h2>Tasa de multiplicaci\u00f3n constate<\/h2>\n<p>Cuando decimos Tasa de multiplicaci\u00f3n constate, nos estamos refiriendo que \\[\\frac{dy}{dx}=a,\\]<br \/>\nsiendo \\(a\\in\\mathbb{R}\\) constante. En nuestros ejemplos, nos referimos que la velocidad de variaci\u00f3n de una magnitud depende s\u00f3lo del tiempo.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Si el n\u00famero de bacterias contenidas en 1 litro de leche se duplica en 6 horas, y suponiendo que la tasa de multiplicaci\u00f3n es constante, \u00bfen cu\u00e1nto tiempo se har\u00e1 12 veces mayor?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b() {\n  var htmlShow1b = document.getElementById(\"html-show1b\");\n  if (htmlShow1b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Modelizaci\u00f3n de procesos biol\u00f3gicos. Ej.3 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/54mi2hiIPG8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr\/>\n<p>En general, este tipo de ecuaciones diferencias son de la forma \\[\\frac{dy}{dt}=a(t),\\] donde \\(a(t)\\) es una funci\u00f3n real de variable \\(t\\). Su soluci\u00f3n es \\[y(t)=\\int a(t)\\ dt.\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En un experimento de biotecnolog\u00eda, se estudia la concentraci\u00f3n \\( y(t) \\) de un compuesto qu\u00edmico en un medio biol\u00f3gico. Se sabe que la tasa de acumulaci\u00f3n del compuesto con respecto al tiempo sigue la relaci\u00f3n:<br \/>\n\\[y'(t) = \\frac{1}{1+t}.\\] Inicialmente, cuando \\( t = 0 \\), la concentraci\u00f3n del compuesto es de \\( y(0) = 2 \\) unidades. <\/p>\n<ol>\n<li>Encuentra la funci\u00f3n \\( y(t) \\) que describe c\u00f3mo evoluciona la concentraci\u00f3n del compuesto en funci\u00f3n del tiempo. <\/li>\n<li>Calcula la concentraci\u00f3n del compuesto cuando \\( t = 3 \\) horas.<\/li>\n<li>Interpreta el resultado biol\u00f3gico: \u00bfc\u00f3mo var\u00eda la acumulaci\u00f3n del compuesto con el tiempo? \u00bfQu\u00e9 implicaciones tiene para el dise\u00f1o del experimento?<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b2() {\n  var htmlShow1b2 = document.getElementById(\"html-show1b2\");\n  if (htmlShow1b2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b2\" style=\"display: none;\">\nVamos a resolver la ecuaci\u00f3n diferencial. Reescribimos la ecuaci\u00f3n diferencial:<br \/>\n\\[<br \/>\ny'(t) = \\frac{1}{1+t}.<br \/>\n\\]<br \/>\nIntegrando ambos lados con respecto a \\( t \\):<br \/>\n\\[<br \/>\ny(t) = \\int \\frac{1}{1+t} \\, dt = \\ln|1+t| + C,<br \/>\n\\]<br \/>\ndonde \\( C \\) es la constante de integraci\u00f3n.  <\/p>\n<p>Dado que \\( 1 + t > 0 \\) en el contexto del problema, podemos simplificar \\( \\ln|1+t| \\) como \\( \\ln(1+t) \\):<br \/>\n\\[<br \/>\ny(t) = \\ln(1+t) + C.<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>Determinemos la constante de integraci\u00f3n. Usamos la condici\u00f3n inicial \\( y(0) = 2 \\):<br \/>\n\\[<br \/>\n2 = \\ln(1+0) + C \\implies 2 = \\ln(1) + C \\implies C = 2.<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>Por lo tanto, la soluci\u00f3n general es:<br \/>\n\\[<br \/>\ny(t) = \\ln(1+t) + 2.<br \/>\n\\]<br \/>\nYa hemos resuelto el primer apartado.<\/p>\n<p>Para calcular \\( y(3) \\),  sustituimos \\( t = 3 \\) en la soluci\u00f3n:<br \/>\n\\[<br \/>\ny(3) = \\ln(1+3) + 2 = \\ln(4) + 2.<br \/>\n\\]<br \/>\n\\[<br \/>\ny(3) \\approx 1.386 + 2 = 3.386.<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>Solo nos queda la interpretaci\u00f3n: La concentraci\u00f3n del compuesto crece de forma logar\u00edtmica en el tiempo, es decir, inicialmente aumenta m\u00e1s r\u00e1pido, pero a medida que pasa el tiempo, el ritmo de acumulaci\u00f3n disminuye. Esto podr\u00eda indicar que el medio se satura gradualmente con el compuesto, limitando su velocidad de acumulaci\u00f3n.\n<\/p><\/div>\n<hr\/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En 1990 se arrojaron a un lago 1000 ejemplares de cierta especie de peces, de la que previamente no hab\u00eda ninguno. En 1997 se estim\u00f3 que la cantidad de peces de esa especie que hab\u00eda en el lago en aquel momento era de 3000. Suponiendo que la velocidad de crecimiento de la poblaci\u00f3n de peces es constante, calcular la cantidad de peces en los a\u00f1os 2000 y 2010.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b4() {\n  var htmlShow1b4 = document.getElementById(\"html-show1b4\");\n  if (htmlShow1b4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b4\" style=\"display: none;\">\nQue la velocidad de crecimiento de la poblaci\u00f3n sea constante, significa que, si llamamos<br \/>\n\\[<br \/>\np(t) \\equiv \\text{n\u00famero de peces en el instante } t<br \/>\n\\]<br \/>\nse tiene que<br \/>\n\\[<br \/>\np'(t) = k \\quad \\text{(constante)}<br \/>\n\\]<br \/>\nEl valor de esta constante, \\( k \\), no lo conocemos, de momento, pero veremos c\u00f3mo se puede deducir utilizando adecuadamente el resto de la informaci\u00f3n de que disponemos.<br \/>\nLa ecuaci\u00f3n anterior se puede resolver (dejando la constante \\( k \\) como un par\u00e1metro) y se tiene<br \/>\n\\[<br \/>\np(t) = kt + C, \\quad C \\in \\mathbb{R} \\text{ arbitraria}<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>Ahora tenemos dos constantes \u201cdesconocidas\u201d: \\( k \\) y \\( C \\). Pero tambi\u00e9n tenemos dos informaciones que utilizar: sabemos que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\n1. \\quad &#038;p(0) = 1000 \\quad \\text{(inicialmente hab\u00eda 1000 peces)} \\\\<br \/>\n2. \\quad &#038;p(7) = 3000 \\quad \\text{(7 a\u00f1os despu\u00e9s hab\u00eda 3000 peces)}<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>Sustituyendo estos valores, para conocer la constante \\(C\\), se tiene:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\n1000 = p(0) = k \\cdot 0 + C \\implies C = 1000, \\\\<br \/>\n3000 = p(7) = k \\cdot 7 + C = 7k + 1000 \\implies 7k = 2000 \\implies k = \\frac{2000}{7}.<br \/>\n\\end{cases}<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>Con esto ya se tiene la expresi\u00f3n exacta de la funci\u00f3n que nos da el n\u00famero de peces que hay en el lago en cualquier instante \\( t \\):<br \/>\n\\[<br \/>\np(t) = \\frac{2000}{7}t + 1000<br \/>\n\\]  <\/p>\n<p>y, con ella, ya se puede calcular lo que nos piden:<br \/>\n\\[<br \/>\np(10) = \\frac{2000}{7} \\cdot 10 + 1000 = \\frac{27000}{7} \\approx 3857,<br \/>\n\\]<br \/>\n\\[<br \/>\np(20) = \\frac{2000}{7} \\cdot 20 + 1000 = \\frac{47000}{7} \\approx 6714.<br \/>\n\\]\n<\/p><\/div>\n<hr\/>\n<h2>Ley del enfriamiento de Newton<\/h2>\n<p>El pasado d\u00eda comentamos un caso particular del de variables separadas. Consideramos una EDO de variables separadas cuando \\[\\frac{dy}{dx}=\\frac{f(x)}{g(y)}.\\] Pues veamos un ejemplo de este tipo de EDO.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ley del enfriamiento de Newton:<\/strong> La velocidad de enfriamiento de un cuerpo c\u00e1lido cuya temperatura es \\(T\\), en un ambiente m\u00e1s fr\u00edo \\({\\displaystyle T_{m}}\\), es proporcional a la diferencia entre la temperatura instant\u00e1nea del cuerpo y la del ambiente: \\[\\frac{T(t)}{dt}=-k(T-T_m)\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Esta expresi\u00f3n no es muy precisa y se considera tan solo una aproximaci\u00f3n v\u00e1lida para peque\u00f1as diferencias entre \\(T\\) y \\( T_{m}\\). En todo caso, la expresi\u00f3n superior es \u00fatil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial: \\[{\\displaystyle T(t)=T_{{m} }+(T_{ {0} }-T_{ {m} })\\ e^{-kt}}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Un peque\u00f1o matraz con una disoluci\u00f3n, cuya temperatura inicial es de 20\u00ba, se introduce en agua hirviendo, aumentando su temperatura 2\u00ba en un segundo. \u00bfCu\u00e1nto tiempo tarda en alcanzar 98\u00baC? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\nUtilizando la ley de Newton, sabemos que la temperatura inicial, \\(T(0)=T_{0}=20\u00baC\\), la temperatura del medio es \\( T_{m}=100\u00baC\\), y la temperatura en un segundo tras la inmersi\u00f3n es de \\(T(1)=22\u00baC\\). Luego \\[{\\displaystyle T(1)=22=T_{{m} }+(T_{ {0} }-T_{ {m} })\\ e^{-r}}=100+(20-100)e^{-k},\\] esto implica que \\[\\frac{22-100}{20-100}=e^{-k}\\to k=\\ln \\tfrac{80}{78}=0.0253\\] <\/p>\n<p>Ya tenemos la funci\u00f3n de enfriamiento que nos afecta: \\[T(t)=100-80\\ e^{-0.0253t}\\] si queremos alcanzar los 98\u00baC, tendremos \\[98=100-80\\ e^{-0.0253t}\\Rightarrow \\frac{2}{80}=e^{-0.2025t}\\Rightarrow t=\\frac{1}{0.0253}\\ln\\frac{80}{2}=145.8\\]\n<\/p>\n<\/div>\n<hr\/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 7 del libro <em>Biocalculus: Calculus for Life Sciences<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hoy vamos a tratar dos modelos sencillos: Tasa de multiplicaci\u00f3n constate y Ley del enfriamiento de Newton Tasa de multiplicaci\u00f3n constate Cuando decimos Tasa de multiplicaci\u00f3n constate, nos estamos refiriendo que \\[\\frac{dy}{dx}=a,\\]&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-684","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/684","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=684"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/684\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":687,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/684\/revisions\/687"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=684"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=684"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=684"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}