{"id":67,"date":"2025-09-18T09:25:31","date_gmt":"2025-09-18T07:25:31","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=67"},"modified":"2025-10-31T17:54:20","modified_gmt":"2025-10-31T16:54:20","slug":"mathbio-espacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=67","title":{"rendered":"MathBio: Espacios vectoriales"},"content":{"rendered":"<p>En \u00e1lgebra lineal, un espacio vectorial (o tambi\u00e9n llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vac\u00edo, una operaci\u00f3n interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaci\u00f3n externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface ciertas propiedades.<\/p>\n<p>A los elementos de un espacio vectorial se les llama <strong>vectores<\/strong> y a los elementos del cuerpo se les conoce como <strong>escalares<\/strong>.<\/p>\n<p>Nosotros trabajaremos con el plano, \\(\\mathbb{R}^2=\\{(x,y)|x,y\\in\\mathbb{R}\\}\\), y el espacio eucl\u00eddeo, \\(\\mathbb{R}^3=\\{(x,y,z)|x,y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\). En el plano podemos definir \\[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2),\\quad \\forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\\in\\mathbb{R}^2\\] y \\[\\lambda\\cdot(x_1,x_2)=(\\lambda x_1,\\lambda x_2)\\in\\mathbb{R}^2,\\quad \\forall \\lambda\\in\\mathbb{R},(x_1,x_2)\\in\\mathbb{R}^2.\\]<\/p>\n<p>Para abreviar la notaci\u00f3n se suele poner \\(\\mathbf{x}=(x_1,x_2)\\in\\mathbb{R}^2\\).<\/p>\n<p>Esta definici\u00f3n es extensible a tres o m\u00e1s dimensiones. As\u00ed se puede verificar que <\/p>\n<ol>\n<li>\\((\\mathbb{R}^n,+)\\) es un grupo conmutativo:<\/li>\n<ol>\n<li>\\(+\\) es asociativa:\\(\\forall \\mathbf {v},\\mathbf {u},\\mathbf {w}\\in \\mathbb{R}^n;\\ (\\mathbf {v}+\\mathbf {u})+c=\\mathbf {v}+(\\mathbf {u}+\\mathbf {w})\\)<\/li>\n<li>Existe \\(\\mathbf {e}\\in \\mathbb{R}^n\\), tal que para todo \\(\\mathbf {v}\\in \\mathbb{R}^n\\), es \\(\\mathbf {e}+ \\mathbf {v}=\\mathbf {v}+ \\mathbf {e}=\\mathbf {v}\\)<\/li>\n<li>Para todo \\(\\mathbf {v}\\in \\mathbb{R}^n\\), existe \\(\\mathbf {u}\\in \\mathbb{R}^n\\) tal que  \\(\\mathbf {u}+\\mathbf {v}=\\mathbf {v}+\\mathbf {u}=\\mathbf {e}\\)<\/li>\n<\/ol>\n<li>Existe una aplicaci\u00f3n, \\(\\cdot\\,:\\mathbb{R}\\times \\mathbb{R}^n\\to \\mathbb{R}^n\\),(denominada producto por escalar) que cumple<\/li>\n<ol>\n<li>\\( a\\cdot (b\\cdot \\mathbf {v} )=(ab)\\cdot \\mathbf {v} \\quad \\forall a,b\\in \\mathbb{R}\\;\\forall \\mathbf {v} \\in \\mathbb{R}^n\\)<\/li>\n<li>Si 1 es el elemento neutro para la multiplicaci\u00f3n en \\(\\mathbb{R}\\), entonces, \\(1\\cdot \\mathbf {v} =\\mathbf {v} \\quad \\forall \\mathbf {v} \\in \\mathbb{R}^n\\)<\/li>\n<li>\\(a\\cdot (\\mathbf {v} +\\mathbf {w} )=(a\\cdot \\mathbf {v} )+(a\\cdot \\mathbf {w} )\\quad \\forall a\\in \\mathbb{R}\\;\\forall \\mathbf {v} ,\\mathbf {w} \\in \\mathbb{R}^n\\)<\/li>\n<li>\\((a+b)\\cdot \\mathbf {v} =(a\\cdot \\mathbf {v} )+(b\\cdot \\mathbf {v} )\\quad \\forall a,b\\in \\mathbb{R}\\;\\forall \\mathbf {v} \\in \\mathbb{R}^n\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\mathbf{u}=[2,-1,5,0]\\), \\(\\mathbf{v}=[4,3,1,-1]\\) y \\(\\mathbf{w}=[-6,2,0,3]\\). Si \\(\\mathbf{x}+\\mathbf{v}+3\\mathbf{w}=2\\mathbf{u}\\), \u00bfcu\u00e1nto suman las coordenadas de \\(\\mathbf{x}\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n<strong>Soluci\u00f3n<\/strong>: 8.\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Producto escalar eucl\u00eddeo<\/h2>\n<p>Un producto escalar entre dos vectores de \\(\\mathbb{R}^n\\)  verifica:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\forall\\ \\mathbf{u},\\mathbf{v}\\in \\mathbb{R}^n,\\ \\mathbf{u}\\bullet \\mathbf{v}=\\mathbf{v}\\bullet \\mathbf{u}\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall\\ \\mathbf{u},\\mathbf{v},\\mathbf{w}\\in \\mathbb{R}^n,\\ \\forall\\ \\lambda,\\mu\\in \\mathbb{R},\\ (\\lambda \\mathbf{u}+\\mu \\mathbf{v})\\bullet w=\\lambda(u\\bullet \\mathbf{w})+\\mu(\\mathbf{v}\\bullet \\mathbf{w})\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall\\ \\mathbf{u}\\in \\mathbb{R}^n,\\ \\mathbf{u}\\neq \\vec{0},  \\mathbf{u}\\bullet \\mathbf{u} &gt; 0\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall\\ \\mathbf{u}\\in \\mathbb{R}^n,\\  \\mathbf{u}\\bullet\\mathbf{u} = 0\\Leftrightarrow \\mathbf{u}= \\vec{0}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<blockquote>\n<p><strong>Propiedad:<\/strong> Para todo par de vectores  \\(\\mathbf {v},\\mathbf {u}\\in\\mathbb{R}^n\\), la operaci\u00f3n \\[{\\mathbf {v}}\\bullet \\mathbf {u}=v_1u_1 +v_2u_2+\\ldots + v_nu_n\\]  es un producto escalar.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>A este producto escalar entre vectores se le denomina producto escalar <strong>eucl\u00eddeo<\/strong>.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\mathbf{u}=[1,2]\\), \\(\\mathbf{v}=[2,a]\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(a\\) para que el valor de \\(\\mathbf {u}\\bullet\\mathbf {v}=-4\\)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31a() {\n  var htmlShow31a = document.getElementById(\"html-show31a\");\n  if (htmlShow31a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31a\" style=\"display: none;\">\n<strong>Soluci\u00f3n<\/strong>: Como \\(\\mathbf {u}\\bullet\\mathbf {v}=2+2a=-4\\), se cumple que \\(a=-3\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>El producto escalar nos da pie a definir la norma(eucl\u00eddea) de un vector como la ra\u00edz cuadrada de el producto escalar de un vector por si mismo: \\[||\\mathbf {v}||=\\sqrt{\\mathbf {v}\\bullet\\mathbf {v}}\\]<\/p>\n<p>As\u00ed la norma eucl\u00eddea ser\u00e1: \\[\\|\\mathbf{v}\\|=\\|(v_1,v_2,\\ldots,v_n)\\|=\\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\\ldots + v_n^2}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\mathbf{u}=[-1,3,1]\\), \\(\\mathbf{v}=[2,-1,a]\\), \u00bfcu\u00e1l es el menor valor de \\(a\\) para que \\(\\|\\mathbf {u}-\\mathbf {v}\\|=\\sqrt{29}\\)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31b() {\n  var htmlShow31b = document.getElementById(\"html-show31b\");\n  if (htmlShow31b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31b\" style=\"display: none;\">\n<strong>Soluci\u00f3n<\/strong>: Como \\(\\mathbf {u}-\\mathbf {v}=[-3,4,1-a]\\), es \\(\\|[-3,4,1-a]\\|=\\sqrt{(-3)^2+4^2+(1-a)^2}=\\sqrt{25+(1-a)^2}\\). Adem\u00e1s, sabemos que \\(\\|\\mathbf {u}-\\mathbf {v}\\|=\\sqrt{29}\\), luego \\(\\sqrt{25+(1-a)^2}=\\sqrt{29}\\); es decir, \\({25+(1-a)^2}={29}\\). Lo que implica,  \\({(1-a)^2}={4}\\). De ah\u00ed, podemos deducir f\u00e1cilmente que \\(a=-1\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p>\nLa norma de un vector, denotada como $\\| \\mathbf{v} \\|$, es una funci\u00f3n que asigna a cada vector una longitud o magnitud no negativa. Las tres propiedades principales de la norma son:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>No negatividad<\/strong>: La norma de un vector es siempre mayor o igual a cero.  \\( \\| \\mathbf{v} \\| \\ge 0 \\). La norma es cero si y solo si el vector es el vector nulo. \\(\\| \\mathbf{v} \\| = 0 \\iff \\mathbf{v} = \\mathbf{0} \\)<\/li>\n<li><strong>Homogeneidad escalar<\/strong>: Multiplicar un vector por un escalar (un n\u00famero) $\\alpha$ multiplica su norma por el valor absoluto de ese escalar.<br \/>\n   \\(\\| \\alpha \\mathbf{v} \\| = | \\alpha | \\| \\mathbf{v} \\| \\)<\/li>\n<li><strong>Desigualdad del tri\u00e1ngulo<\/strong>: La norma de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de sus normas. Esta propiedad refleja la idea geom\u00e9trica de que la distancia m\u00e1s corta entre dos puntos es una l\u00ednea recta.<br \/>\n    \\( \\| \\mathbf{v} + \\mathbf{w} \\| \\le \\| \\mathbf{v} \\| + \\| \\mathbf{w} \\| \\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Verifique que $\\| \\mathbf{v} &#8211; 3\\mathbf{w} \\|^2 = 1$ cuando $\\| \\mathbf{v} \\| = 2$, $\\| \\mathbf{w} \\| = 1$, y $\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{w} = 2$.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31bq() {\n  var htmlShow31bq = document.getElementById(\"html-show31bq\");\n  if (htmlShow31bq.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31bq.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31bq.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31bq()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31bq\" style=\"display: none;\">\nSi aplicamos las propiedades anteriores varias veces:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\| \\mathbf{v} &#8211; 3\\mathbf{w} \\|^2 &#038;= (\\mathbf{v} &#8211; 3\\mathbf{w}) \\cdot (\\mathbf{v} &#8211; 3\\mathbf{w}) \\\\<br \/>\n&#038;= \\mathbf{v} \\cdot (\\mathbf{v} &#8211; 3\\mathbf{w}) &#8211; 3\\mathbf{w} \\cdot (\\mathbf{v} &#8211; 3\\mathbf{w}) \\\\<br \/>\n&#038;= \\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{v} &#8211; 3(\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{w}) &#8211; 3(\\mathbf{w} \\cdot \\mathbf{v}) + 9(\\mathbf{w} \\cdot \\mathbf{w}) \\\\<br \/>\n&#038;= \\| \\mathbf{v} \\|^2 &#8211; 6(\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{w}) + 9\\| \\mathbf{w} \\|^2 \\\\<br \/>\n&#038;= 2^2 &#8211; 6(2) + 9(1^2) \\\\<br \/>\n&#038;= 4 &#8211; 12 + 9 \\\\<br \/>\n&#038;= 1<br \/>\n\\end{align*}\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Definici\u00f3n:<\/strong> Un vector se dice <strong>unitario<\/strong> si su norma es 1.<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Propiedad:<\/strong> Para todo vector  \\(\\mathbf {v}\\in\\mathbb{R}^n\\), el vector \\(\\frac{\\mathbf{v}}{\\|\\mathbf {v}\\|}\\)  es <strong>unitario<\/strong>.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Al proceso de obtener un vector unitario que tenga la misma direcci\u00f3n que un vector dado se le conoce como normalizaci\u00f3n del vector, raz\u00f3n por la cual es com\u00fan referirse a un vector unitario como <strong>vector normalizado<\/strong>.<\/p>\n<h2>Distancia<\/h2>\n<p> Se denomina distancia entre dos vectores de \\( \\mathbb{R}^n\\) a \\[dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})=\\|\\mathbf {u}-\\mathbf {v}\\|\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Propiedades:<\/strong> La distancia \\(dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})\\), entre vectores de \\(\\mathbb{R}^n\\) cumple <\/p>\n<ul>\n<li>\\(dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})\\in\\mathbb{R}\\)<\/li>\n<li>\\(dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})\\geq 0\\)<\/li>\n<li>\\(dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})=0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\mathbf {u}=\\mathbf {v}\\)<\/li>\n<li>\\(dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})=dist(\\mathbf {v},\\mathbf {u})\\)<\/li>\n<li>\\({\\displaystyle \\forall \\mathbf{u},\\mathbf{v},\\mathbf{w}\\in \\mathbb{R}^n\\;:\\quad dist(\\mathbf {u},\\mathbf {v})\\leq dist(\\mathbf {u},\\mathbf {w})+dist(\\mathbf {w},\\mathbf {v})}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Definici\u00f3n:<\/strong> Se denomina distancia eucl\u00eddea la que utiliza la norma eucl\u00eddea.<\/p>\n<\/blockquote>\n<h3>Aplicaci\u00f3n<\/h3>\n<p>La <strong>cartograf\u00eda antig\u00e9nica<\/strong> nos permite representar las relaciones de antigenicidad entre cepas virales y antisueros en un espacio tridimensional, lo que posibilita visualizar las diferencias y similitudes inmunol\u00f3gicas entre distintas variantes.<\/p>\n<p>Por ejemplo, a continuaci\u00f3n se muestra una tabla donde se presentan los resultados t\u00edpicos de reactividad de cuatro cepas de virus frente a tres antisueros. <\/p>\n<table border=\"1\">\n<caption>Reactividad antig\u00e9nica de cepas virales<\/caption>\n<thead>\n<tr>\n<th>Cepa \/ Antiserum<\/th>\n<th>Antiserum A<\/th>\n<th>Antiserum B<\/th>\n<th>Antiserum C<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Cepa 1<\/td>\n<td>160<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>10<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Cepa 2<\/td>\n<td>80<\/td>\n<td>80<\/td>\n<td>20<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Cepa 3<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>320<\/td>\n<td>80<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Cepa 4<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>60<\/td>\n<td>160<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>La tabla muestra los t\u00edtulos de neutralizaci\u00f3n (por ejemplo) que cada antiserum tiene frente a cada cepa en la cartograf\u00eda antig\u00e9nica.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Considerando los datos de la tabla anterior como puntos dados en \\( \\mathbb{R}^3\\), \u00bfcu\u00e1l es la distancia eucl\u00eddea entre la Cepa 1 y Cepa 3?.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31bq2() {\n  var htmlShow31bq2 = document.getElementById(\"html-show31bq2\");\n  if (htmlShow31bq2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31bq2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31bq2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31bq2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31bq2\" style=\"display: none;\">\nSi consideramos los datos de la Cepa 1 como \\(P(160,40,10)\\) y los de la Cepa 3 como \\(Q(10,320,80)\\), tendremos<br \/>\n\\[\\|\\vec{QP}\\|=\\sqrt{(10-160)^2+(320-40)^2+(80-10)^2}\\approx 325,27 \\]<\/p>\n<p>Nota: Esta distancia no es la habitual en Cartograf\u00eda Antig\u00e9nica, aqu\u00ed utilizamos la distancia eucl\u00eddea solo como ejemplo de una posible distancia.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h2>Proyecci\u00f3n<\/h2>\n<p>Utilizando el producto escalar podemos definir el coseno de dos vectores: \\(\\vec{v},\\vec{u}\\in\\mathbb{R}^n\\), donde \\(n\\in\\{2,3\\}\\), como \\[\\textbf{cos}(\\mathbf {v},\\mathbf{u})=\\frac{\\mathbf{v}\\bullet\\mathbf{u}}{||\\mathbf{v}||\\cdot ||\\mathbf{u}||}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\mathbf{u}=[-1,-1]\\), \\(\\mathbf{v}=[-2,-1]\\), \u00bfcu\u00e1l es el \u00e1ngulo entre los dos vectores?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\n<strong>Soluci\u00f3n<\/strong>: \\(\\theta=\\textbf{arccos}\\left(\\frac{3}{\\sqrt{2\\cdot 5}}\\right)\\approx 18.43\u00ba\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Otro vector que podemos definir es la proyecci\u00f3n de un vector sobre otro, como \\[\\textbf{proy}_\\mathbf{v}(\\mathbf{u})=\\frac{\\mathbf{v}\\bullet\\mathbf{u}}{||\\mathbf{v}||^2}\\mathbf{v}\\]<\/p>\n<p>La componente de \\(\\mathbf{u}\\) en la direcci\u00f3n de \\(\\mathbf{v}\\), vendr\u00e1 dada por \\[\\textbf{comp}_\\mathbf{v}(\\mathbf{u})=\\frac{\\mathbf{v}\\bullet\\mathbf{u}}{||\\mathbf{v}||}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar la componente del vector \\([3,2,1]\\) en la direcci\u00f3n del vector \\([2,-1,0]\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31c() {\n  var htmlShow31c = document.getElementById(\"html-show31c\");\n  if (htmlShow31c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31c\" style=\"display: none;\">\n<strong>Soluci\u00f3n<\/strong>:<br \/>\nPor la definici\u00f3n tendremos: \\[\\textbf{comp}_{[2,-1,0]}([3,2,1])=\\frac{[3,2,1]\\bullet[2,-1,0]}{\\|[2,-1,0]\\|}=\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar la proyecci\u00f3n del vector \\([3,2,1]\\) sobre el vector \\([2,-1,0]\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31d() {\n  var htmlShow31d = document.getElementById(\"html-show31d\");\n  if (htmlShow31d.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31d.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31d.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31d()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31d\" style=\"display: none;\">\n<strong>Soluci\u00f3n<\/strong>:<br \/>\nEs suficiente con ver que \\[\\textbf{proy}_\\mathbf{v}(\\mathbf{u})=\\textbf{comp}_\\mathbf{v}(\\mathbf{u})\\frac{\\mathbf{v}}{||\\mathbf{v}||}.\\]<\/p>\n<p>Luego \\[\\textbf{proy}_{[2,-1,0]}([3,2,1])=\\frac{4}{5}[2,-1,0].\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 4 y 6 de \u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones, 5\u00ba edici\u00f3n. David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(x\\)=(3,0,-1), \u00bfcu\u00e1l de los siguientes vectores cumple que su componente sobre \\(x\\) es 1\/\u221a10?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>(0,0,-1)<\/li>\n<li>(1,1,0)<\/li>\n<li>(-1,2,1)<\/li>\n<li>Ninguno de ellos<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En \u00e1lgebra lineal, un espacio vectorial (o tambi\u00e9n llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vac\u00edo, una operaci\u00f3n interna (llamada suma, definida para los elementos&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-67","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/67","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=67"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/67\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":437,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/67\/revisions\/437"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=67"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=67"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=67"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}