{"id":622,"date":"2025-12-03T08:15:57","date_gmt":"2025-12-03T07:15:57","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=622"},"modified":"2025-12-01T22:28:00","modified_gmt":"2025-12-01T21:28:00","slug":"alg-factorizacion-qr","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=622","title":{"rendered":"ALG: Factorizaci\u00f3n QR"},"content":{"rendered":"

La Factorizaci\u00f3n QR (o Descomposici\u00f3n QR) es un proceso por el cual una matriz \\(A\\) se expresa como el producto de dos matrices especiales: una matriz ortogonal<\/strong> \\(Q\\) y una matriz triangular superior<\/strong> \\(R\\).<\/p>\n

Formalmente, para una matriz \\(A\\) de tama\u00f1o \\(m \\times n\\) (donde asumimos que las columnas de \\(A\\) son linealmente independientes, y usualmente \\(m \\ge n\\)), la descomposici\u00f3n es:<\/p>\n

\\[ A = QR \\]<\/p>\n

La matriz \\(Q\\) es una matriz de tama\u00f1o \\(m \\times n\\) cuyas columnas \\(\\{\\mathbf{q}_1, \\mathbf{q}_2, \\ldots, \\mathbf{q}_n\\}\\) forman un conjunto ortonormal<\/strong>. Esto significa que:<\/p>\n

    \n
  1. Normalidad<\/strong>: Cada columna es un vector unitario, es decir, tiene norma 1:
    \n \\[ \\| \\mathbf{q}_i \\| = 1 \\]<\/li>\n
  2. Ortogonalidad<\/strong>: El producto escalar de cualquier par de columnas distintas es cero:
    \n \\[ \\mathbf{q}_i \\cdot \\mathbf{q}_j = 0 \\quad \\text{si } i \\ne j \\]<\/li>\n<\/ol>\n

    La matriz \\(R\\) es una matriz triangular superior<\/strong> de tama\u00f1o \\(n \\times n\\). Esto quiere decir que todos los elementos situados debajo de su diagonal principal son cero.<\/p>\n

    \\[ R = \\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & \\cdots & r_{1n} \\\\ 0 & r_{22} & \\cdots & r_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & r_{nn} \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n

    Veamos el procedimiento para obtener la factorizaci\u00f3n. Pero antes, refresquemos un concepto, el de componente escalar. Dados dos vectores de \\(\\mathbf{v},\\mathbf{u}\\in\\mathbb{R}^n\\) definimos la componente escalar de \\(\\mathbf{u}\\) sobre \\(\\mathbf{v}\\) como
    \n\\[\\mathbf{comp}_\\mathbf{v}\\mathbf{u}=\\frac{\\mathbf{v}\\bullet\\mathbf{u}}{\\|\\mathbf{v}\\|}\\] <\/p>\n

    En el caso de que \\(\\mathbf{v}\\) sea normal, entonces <\/p>\n

    \\[\\mathbf{comp}_\\mathbf{v}\\mathbf{u}=\\mathbf{v}\\bullet\\mathbf{u}\\] <\/p>\n

    Recordemos que la proyecci\u00f3n de \\(\\mathbf{u}\\) sobre \\(\\mathbf{v}\\) es
    \n\\[
    \n\\mathbf{proy}_\\mathbf{v}\\mathbf{u}=(\\mathbf{v}\\bullet\\mathbf{u})\\cdot \\mathbf{v}
    \n\\]
    \ncuando \\(\\|\\mathbf{v}\\|=1\\).<\/p>\n

    Comencemos ahora con el proceso para obtener la factorizaci\u00f3n \\(QR\\). Este proceso toma las columnas de \\(A:[a_{ij}]\\), \\(\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2, \\ldots, \\mathbf{a}_n\\), y las transforma en las columnas ortonormales \\(\\mathbf{q}_1, \\mathbf{q}_2, \\ldots, \\mathbf{q}_n\\) de la matriz \\(Q\\).<\/p>\n

    El vector \\(\\mathbf{a}_k\\) se expresa como una combinaci\u00f3n lineal de los vectores ortonormales \\(\\mathbf{q}_1, \\ldots, \\mathbf{q}_k\\) que abarcan el mismo subespacio que \\(\\mathbf{a}_1, \\ldots, \\mathbf{a}_k\\):<\/p>\n

    \\[ \\mathbf{a}_k = r_{1k} \\mathbf{q}_1 + r_{2k} \\mathbf{q}_2 + \\ldots + r_{kk} \\mathbf{q}_k \\]<\/p>\n

    Donde los coeficientes \\(r_{ik}\\) son las entradas de la matriz \\(R\\).<\/p>\n

    Los elementos \\(r_{ik}\\) se obtienen mediante <\/p>\n

    \\[ r_{ik}=\\mathbf{comp}_{\\mathbf{q}_i}\\mathbf{a}_k= \\mathbf{a}_k \\bullet \\mathbf{q}_i \\]<\/p>\n

    Y dado que \\(R\\) es triangular superior, los coeficientes para \\(i > k\\) son cero:<\/p>\n

    \\[ r_{ik} = 0, \\quad \\text{para } i > k \\]<\/p>\n

    Ejemplo Pr\u00e1ctico de la Factorizaci\u00f3n QR<\/h3>\n

    Consideremos la siguiente matriz \\(A\\). Notar\u00e1s que sus columnas son linealmente independientes, lo cual es un requisito para este tipo de factorizaci\u00f3n (cuando \\(R\\) es invertible).<\/p>\n

    Sea la matriz \\(A\\) de tama\u00f1o \\(3 \\times 2\\):<\/p>\n

    \\[ A = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n

    Sean \\(\\mathbf{a}_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}\\) y \\(\\mathbf{a}_2 = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}\\) sus vectores columna.<\/p>\n<\/h4>\n

    Paso 1: Obtener el primer vector ortonormal \\(\\mathbf{q}_1\\)<\/h4>\n

    Aplicamos Gram-Schmidt al primer vector \\(\\mathbf{a}_1\\):<\/p>\n

      \n
    1. Definimos \\(\\mathbf{v}_1 = \\mathbf{a}_1\\).<\/li>\n
    2. Calculamos la norma de \\(\\mathbf{v}_1\\):
      \n \\[ \\|\\mathbf{v}_1\\| = \\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \\sqrt{2} \\]<\/li>\n
    3. Normalizamos para obtener \\(\\mathbf{q}_1\\):
      \n \\[ \\mathbf{q}_1 = \\frac{\\mathbf{v}_1}{\\|\\mathbf{v}_1\\|} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1\/\\sqrt{2} \\\\ 1\/\\sqrt{2} \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\]<\/li>\n
    4. Obtenemos el primer elemento de la matriz \\(R\\), \\(r_{11}\\).
      \n \\[ r_{11} = \\mathbf{a}_1 \\bullet \\mathbf{q}_1=\\sqrt{2} \\]<\/li>\n<\/ol>\n

      Paso 2: Obtener el segundo vector ortonormal \\(\\mathbf{q}_2\\)<\/h4>\n

      Ortogonalizamos el vector \\(\\mathbf{a}_2\\) respecto a \\(\\mathbf{q}_1\\):<\/p>\n

        \n
      1. Calculamos la componente de \\(\\mathbf{a}_2\\) sobre \\(\\mathbf{q}_1\\). El resultado de este producto escalar es el elemento \\(r_{12}\\) de \\(R\\):
        \n \\[ r_{12} = \\mathbf{a}_2 \\bullet \\mathbf{q}_1 = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}^t \\cdot \\begin{bmatrix} 1\/\\sqrt{2} \\\\ 1\/\\sqrt{2} \\\\ 0 \\end{bmatrix} = 0 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + 1 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + 1 \\cdot 0 = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\]<\/li>\n
      2. Restamos la proyecci\u00f3n de \\(\\mathbf{a}_2\\) sobre \\(\\mathbf{q}_1\\) para obtener el vector ortogonal \\(\\mathbf{v}_2\\):
        \n \\[ \\mathbf{v}_2 = \\mathbf{a}_2 – r_{12} \\mathbf{q}_1 = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} – \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\begin{bmatrix} 1\/\\sqrt{2} \\\\ 1\/\\sqrt{2} \\\\ 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} – \\begin{bmatrix} 1\/2 \\\\ 1\/2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -1\/2 \\\\ 1\/2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\]<\/li>\n
      3. Normalizamos para obtener \\(\\mathbf{q}_2\\). Para ello, calculamos
        \n \\[ \\|\\mathbf{v}_2\\| = \\sqrt{(-1\/2)^2 + (1\/2)^2 + 1^2} = \\sqrt{1\/4 + 1\/4 + 1} = \\sqrt{3\/2}, \\]<\/p>\n

        luego<\/p>\n

        \\[ \\mathbf{q}_2 = \\frac{\\mathbf{v}_2}{\\|\\mathbf{v}_2\\|} = \\frac{1}{\\sqrt{3\/2}} \\begin{bmatrix} -1\/2 \\\\ 1\/2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -1\/\\sqrt{6} \\\\ 1\/\\sqrt{6} \\\\ 2\/\\sqrt{6} \\end{bmatrix} \\]<\/li>\n

      4. Calculamos el elemento \\(r_{22}\\) de \\(R\\):
        \n \\[ r_{22} = \\mathbf{a}_2 \\bullet \\mathbf{q}_2 =\\|\\mathbf{v}_2\\| = \\sqrt{(-1\/2)^2 + (1\/2)^2 + 1^2} = \\sqrt{1\/4 + 1\/4 + 1} = \\sqrt{3\/2} \\]<\/li>\n<\/ol>\n

        Observar, que
        \n \\[
        \n\\begin{align}
        \nr_{ii} &= \\mathbf{a}_i \\bullet \\mathbf{q}_i\\\\
        \n&= \\mathbf{a}_i \\bullet \\frac{\\mathbf{v}_i}{\\|\\mathbf{v}_i\\|}\\\\
        \n&(\\mbox{recordemos que }\\, \\mathbf{v}_i=\\mathbf{a}_i-\\sum_{k=1}^{i-1}r_{ki} \\mathbf{q}_{k},) \\\\
        \n&=\\left( \\mathbf{v}_i + \\sum_{k=1}^{i-1}r_{ki} \\mathbf{q}_{k}\\right) \\bullet \\frac{\\mathbf{v}_i}{\\|\\mathbf{v}_i\\|}\\\\
        \n&=\\frac{1}{\\|\\mathbf{v}_i\\|}\\left( \\mathbf{v}_i \\bullet\\mathbf{v}_i+ \\sum_{k=1}^{i-1}r_{ki} (\\mathbf{q}_{k}\\bullet\\mathbf{v}_i)\\right) \\\\
        \n&(\\mbox{como}\\,\\mathbf{q}_{k}\\bullet\\mathbf{v}_i=0\\,\\forall k)\\\\
        \n&=\\frac{1}{\\|\\mathbf{v}_i\\|}( \\mathbf{v}_i \\bullet\\mathbf{v}_i)\\\\
        \n&=\\|\\mathbf{v}_i\\| \\\\
        \n\\end{align}
        \n\\]<\/p>\n

        Paso 3: Construir las matrices \\(Q\\) y \\(R\\)<\/h4>\n

        La matriz \\(Q\\) est\u00e1 formada por los vectores \\(\\mathbf{q}_1\\) y \\(\\mathbf{q}_2\\):<\/p>\n

        \\[ Q = [\\mathbf{q}_1 \\mid \\mathbf{q}_2] = \\begin{bmatrix} 1\/\\sqrt{2} & -1\/\\sqrt{6} \\\\ 1\/\\sqrt{2} & 1\/\\sqrt{6} \\\\ 0 & 2\/\\sqrt{6} \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n

        La matriz \\(R\\) est\u00e1 formada por los valores \\(r_{ik}\\) que calculamos:<\/p>\n

        \\[ R = \\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\\\ 0 & r_{22} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\sqrt{2} & 1\/\\sqrt{2} \\\\ 0 & \\sqrt{3\/2} \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n<\/h4>\n

        Paso 4: La Factorizaci\u00f3n QR<\/h4>\n

        Hemos descompuesto la matriz \\(A\\) en el producto de \\(Q\\) y \\(R\\):<\/p>\n

        \\[ A = QR \\]<\/p>\n

        \\[ \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1\/\\sqrt{2} & -1\/\\sqrt{6} \\\\ 1\/\\sqrt{2} & 1\/\\sqrt{6} \\\\ 0 & 2\/\\sqrt{6} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\sqrt{2} & 1\/\\sqrt{2} \\\\ 0 & \\sqrt{3\/2} \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n

        \n
        \n

        Ejemplo:<\/strong> Determina la factorizaci\u00f3n QR de la matriz \\(\\begin{bmatrix}1&2\\\\ 2&1\\end{bmatrix}\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n