{"id":611,"date":"2025-12-04T09:15:37","date_gmt":"2025-12-04T08:15:37","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=611"},"modified":"2025-11-26T23:17:15","modified_gmt":"2025-11-26T22:17:15","slug":"mathbio-ecuaciones-diferenciales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=611","title":{"rendered":"MathBio: Ecuaciones Diferenciales"},"content":{"rendered":"

Se dice que una ecuaci\u00f3n diferencial (ED) es cualquier ecuaci\u00f3n que contiene las derivadas de una o m\u00e1s variables dependientes con respecto a una o m\u00e1s variables independientes<\/p>\n

Con el objetivo de referirnos a ellas, debemos clasificar las ecuaciones diferenciales
\npor tipo, orden y linealidad.<\/p>\n

Si una ecuaci\u00f3n diferencial contiene \u00fanicamente derivadas ordinarias de una o m\u00e1s variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria (EDO)<\/p>\n

Para nosotros ser\u00e1 habitual encontrarnos una ecuaci\u00f3n diferencial(ED) como una ecuaci\u00f3n del tipo \\[F(x,y,y\u2032,y\u2033,\\ldots,y^{(n)})=0,\\]
\nque relaciona una variable independiente \\(x\\) y una funci\u00f3n \\(y=y(x)\\) junto con una o m\u00e1s de sus derivadas.<\/p>\n

O tambi\u00e9n, \\[\\frac{d^ny}{dx^n}=f(x,y,y\u2032,y\u2033,\\ldots,y^{(n-1)})\\] donde \\(f\\) es una funci\u00f3n continua con valores reales,<\/p>\n

As\u00ed nos centraremos en las EDO de la forma \\[\\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ _\\wedge \\ \\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,y\u2019)\\]<\/p>\n

Consideraremos una soluci\u00f3n de una EDO a toda funci\u00f3n \\(\\phi\\), definida sobre un intervalo \\(I\\) y que posea al menos \\(n\\) derivadas continuas sobre \\(I\\), y que al ser sustituida en una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria de
\n\\(n\\)-\u00e9simo orden reduzca la ecuaci\u00f3n a una identidad, se dice que es una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n sobre el intervalo; es decir, \\[F(x,\\phi(x),\\phi\u2032(x),\\ldots,\\phi^{(n)}(x))=0\\ \\forall x\\in I\\]<\/p>\n

En muchos casos, esa soluci\u00f3n, la expresamos en una relaci\u00f3n \\(G(x,y)=0\\), que denominamos soluci\u00f3n impl\u00edcita, y que nos dice que existe al menos una funci\u00f3n \\(\\phi\\) que satisface tanto a la relaci\u00f3n \\(G(x, \\phi(x)) = 0\\), como la ecuaci\u00f3n diferencial sobre un intervalo \\(I\\)<\/p>\n

EDO de primer orden<\/h2>\n

Las primeras ecuaciones que trataremos son las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden(EDO). Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o m\u00e1s de sus derivadas respecto de tal variable. <\/p>\n

Campo de direcciones<\/h3>\n

Un campo de direcciones es una representaci\u00f3n gr\u00e1fica que nos ayuda a visualizar c\u00f3mo las soluciones de una ecuaci\u00f3n diferencial de la forma:
\n\\[\\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\]
\nse comportan sin resolver expl\u00edcitamente la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

En esencia, el campo de direcciones asocia un peque\u00f1o segmento de l\u00ednea a cada punto \\((x,y)\\) del plano, cuyo pendiente est\u00e1 determinada por el valor de \\(f(x,y)\\). Estas l\u00edneas indican la direcci\u00f3n en la que una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n (es decir, una curva \\(y(x)\\)) se mover\u00eda si pasara por ese punto.<\/p>\n

\u00bfPor qu\u00e9 es importante?<\/h4>\n
    \n
  1. Intuici\u00f3n visual:<\/strong> Nos permite observar c\u00f3mo las soluciones de la ecuaci\u00f3n se comportan globalmente, incluso si no sabemos calcularlas exactamente.<\/li>\n
  2. Predicci\u00f3n del comportamiento:<\/strong> Ayuda a identificar patrones, como puntos de equilibrio, ciclos o trayectorias espec\u00edficas.<\/li>\n
  3. Simplificaci\u00f3n del an\u00e1lisis:<\/strong> A veces, resolver una ecuaci\u00f3n diferencial puede ser complicado o incluso imposible. El campo de direcciones nos proporciona informaci\u00f3n \u00fatil sobre las soluciones sin necesidad de resolverlas.<\/li>\n<\/ol>\n

    \u00bfC\u00f3mo se construye un campo de direcciones?<\/h4>\n
      \n
    • Dada la ecuaci\u00f3n <\/strong>\\(\\frac{dy}{dx} = f(x, y)\\):\n
        \n
      • Para cada punto del plano \\((x, y)\\), calcula la pendiente \\(m = f(x, y)\\).<\/li>\n
      • Dibuja un peque\u00f1o segmento de recta con esa pendiente en el punto \\((x, y)\\).<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Ejemplo sencillo:<\/strong>
        \n Consideremos la ecuaci\u00f3n \\(\\frac{dy}{dx} = y – x\\). <\/p>\n
          \n
        • Si \\((x, y) = (0, 0)\\), entonces \\(f(0, 0) = 0 – 0 = 0\\), y la pendiente es horizontal.<\/li>\n
        • Si \\((x, y) = (1, 2)\\), entonces \\(f(1, 2) = 2 – 1 = 1\\), y la pendiente es 1.<\/li>\n
        • Esto se repite para muchos puntos para construir el campo completo.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
        • Uso de software:<\/strong>
          \n Aunque es posible dibujar el campo de direcciones a mano, normalmente se utiliza software como Maxima, Python, MATLAB o herramientas gr\u00e1ficas en l\u00ednea para generarlos m\u00e1s r\u00e1pido y con mayor precisi\u00f3n. En Maxima, el paquete \u00abplotdf\u00bb permite crear gr\u00e1ficos del campo de direcciones de una ODE unidimensional y de campos de vectores en el plano, dando la posibilidad adicional de elegir soluciones u \u00f3rbitas de forma interactiva. <\/li>\n
            \n

            \"\"<\/p>\n

            Primeras EDO<\/h3>\n

            Las EDO que afrontaremos ser\u00e1n de tres tipos: la de variables separadas, las lineales de primer orden y las de Bernoulli.<\/p>\n

            La EDO m\u00e1s sencilla que podemos plantear es \\[y\u2019=k,\\] donde \\(k\\) es una constante. En este caso la familia de soluciones resulta de \\[y\u2019=k\\to \\frac{dy}{dx}=k\\to dy=kdx\\to \\int dy=\\int kdx\\to y(t)=kt+C.\\] Conociendo un valor inicial \\(y(t_0)=y_0\\), tendremos \\[y(t_0)=k\\ t_0+C\\to C=y_0-kt_0\\to y(t)=kt+(y_0-kt_0)=k(t-t_0)+y_0.\\]<\/p>\n

            Este es un caso particular del de variables separadas. Consideramos una EDO de variables separadas cuando \\[\\frac{dy}{dx}=\\frac{f(x)}{g(y)}.\\]<\/p>\n

            En este caso la soluci\u00f3n est\u00e1 dada por: \\[\\frac{dy}{dx}=\\frac{f(x)}{g(y)}\\to \\int g(y)\\ dy=\\int f(x)\\ dx.\\]<\/p>\n

            Ejercicio:<\/strong> Supongamos que una funci\u00f3n real verifica \\(\\frac{dy}{dt}=e^ty\\) con \\(y(0)=1\\) \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(y(1)\\)?<\/p><\/blockquote>\n